1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Л.Д.Кудрявцева, Т.3Гл.2428)2.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы+ у2)3 + z6 == a 3xyz, а > о.1) (х /а + у2/Ь + z2/ c2)2 == х/р,(х 2р > о;2) (х /а + у2/Ь + z2/ c2)2 == х /а + у2/Ь 2 ;3) х 2 /а 2 + у2/Ь 2 + z2/ c2 == 1, х 2 /а 2 + у2/Ь 2 == z/c, С > о;4) х 2 /а 2 + у2/Ь 2 + z4/ c4 == 1; 5) (х 2 /а 2 + у2/Ь 2 + z2/ c2)2 == xyz/p3,217.2222222р> о.Найти объемы тел, ограниченных поверхностями(18-20)(все па-раметры положительны):18. 1) (х 2 /а 2 + у2/Ь 2 )2 == 2ху/с 2 , Z2 == 2ху, х > о, у > о, z > о;2) (х/а + у/Ь)2 + z2/ c2 == 1, х > о, у > о, z > о;3) х + у == 1, Z2 == ху, Z > о;4) (х / а + у / ь )2 + Z2 / с 2 == 1, (х / а + у / Ь) 2 == Х / а, у > о, z > о;5) х + у == 1, х 3 / 2 + у3/2 == Z, Х > о, у > о, z > о;6) (х/а + у/Ь)2 + z2/ c2 == х/р + y/q, х > о, у > о, z > о;7) (х/а + у/Ь)2 + z2/ c2 == х/р - y/q, х > о, у > о, z > о;8) х 2 /а 2 + у2/Ь 2 + z/c == 1, (х/а)2/3 + (у/Ь)2/3 == 1, z == о,((х/а)2/3 + (у/Ь)2/3 ~ 1);9) х 2 /а 2 + у2/Ь 2 + z2/ c2 == 1, (х 2 /а 2 + у2/Ь 2 )2 == х 2 /а 2 _ у2 /ь 2 ,((х 2 /а 2 + у2 /Ь 2 )2 ~ х 2 /а 2 _ у2/Ь2).19.1) (х 2 /а 2 +у2/Ь 2 )22) (х/а + у/Ь + Z/C)2 ==3) (х/а + у/Ь + Z/C)2 ==4) (х/а + у/Ь + z/c)2 ==5) (х/а + у/Ь + Z/C)2 ==+z4/c4 == z/p;z/p, х > о, у > о, z > о;х/р + y/q, х > о, у > о, z > о;х/р - y/q, х > о, у > о, z > о;х/а + у/Ь - z/p, х > о, у > о, z > о;6) vxтa + VYfЬ + VZТё == 1; 7) (х/а)2/3 + (у/Ь)2/3 + (Z/C)2/38) ((х/а)2/3 + (у/Ь)2/3)3 + (Z/C)2 == 1;== 1;9) vxтa + VYfЬ + VZТё == 1, х > о, у > о, z > о.20.
1) ху == а 2 , ху == 3а 2 , х == 2у, х == 3у, z == х 2 + у2, Z == о;2) у2 == ах, у2 == Ьх, Х ==ру, Х == qy, z == l/ху, z == о, Ь> а, q > р;3) у2 == 2х, у2 == 3х, х 2 == у, х 2 == 2у, z == ху, z == о;4) ху == 1, ху == 4, у2 == х, у2 == 3х, Z2 == ху, Z == о;5) x+y+z == а, x+y+z == 2а, х+у == z, х+у == 2z, у == х,у==3х;6) z == х 2 +у2, Z == 2(х 2 +у2), ху == а 2 , ху == 2а 2 , х == 2у, 2х == у,х> о,7)ух2> о;+ Z2 ==а2 , х2+ Z2 ==Ь2 , х 2- у2 - Z28) x+~+~==lnx/a+y/b+z/cа+~ + ~Ь= 1.сх/а+ у/Ь'==о, Х> о,Ь> а;х==о z==o ~+~==o х+,'ьс'аПриложения ffpamHblX интегралов§ 9.21.Найтиобъемпараллелепипеда,+ Ь 1 у + CI Z == ±d1 ,аl Хсчитая,а2 Х~22.ограниченного+ Ь 2 у + C2 Z == ±d2 ,чтоаlа2аз==Ь1Ь2ЬЗ243СlС2Сзаз хплоскостями+ Ьзу + Сз Z == ±dз ,1: о.Найти объем эллипсоида(аlХпри+ Ь 1 у + CIZ)2 + (а2Х + Ь 2 у + C2Z)2 + (азх + Ьзу + сзz)2 ==условии, что ~ 1: О, где ~ из задачи 21.23.1Найти объем части цилиндра+ Ь 1 у + CIZ)2 + (а2Х + Ь 2 у + C2Z)2 ~ 1,плоскостями азх + Ьзу + СзZ == ±d, при условии,(аlХотсеченнойО, где ~ из задачи1:что ~1:21.24.
Пусть VN - объем n-мерного шара радиуса R. Доказать, что:1) существует такое сп > О, что для любого R объем шара VN ==== cnRn;2) V2k + 125.1)2)==(2K)kR 2k + 1 т т _ (2K)k R 2k k N2 (2k + 1)!!' V2k - (2k)!!'Е .Найти объем четырехмерного прямого кругового:цилиндра с радиусом основанияRконуса с радиусом основанияи высотой Н.26.Пусть у==у(х) -Rи высотой Н;непрерывно дифференцируемая на отрезке [а; Ь] функция. Доказать, исходя из формулы(6),что площадь аповерхности, образованной при вращении графика этой функции во-круг осиOz,равнаь(J=21ГJly(x)IV1 + y I2 (X) dxа(см.[2, § 8, (8)]):27.
Найти площадь части сферы х 2внутри конуса х2+ у2 == z2.+ у2 + Z2 == 2а2, заключенной28. Найти площадь поверхности az == ху, х 2 + у2 ~ а 2 .29. Найти площадь части цилиндра х 2 + Z2 == а 2 , заключеннойвнутри цилиндра у2+ Z2 == а2.30. Найти площадь части параболоида ув 1 квадранте и внутри цилиндра х2== х 2 + z2,+ Z2 == 1.х + у2 + Z2 ==расположенной31. Найти площадь части сферы 2а 2 , заключеннойвнутри цилиндра х 2 / а 2 + у2 / ь 2 == 1, Ь ~ а.32. Найти площадь части цилиндра Z == х 2 , отсеченной плоскостями х + у == у'2, х == О, У == о.16*Гл.2442.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы33.
Найти площадь части поверхности z2 == 2ху, отсеченной плоскостями х + у == 1, х == о, у == о.34. Найти площадь части сферы х 2 + у2 + Z2 == а 2 , расположеннойвне цилиндров х 2+ у2 ==±ах.35. Найти площадь части цилиндра х 2 + у2 == ах, расположеннойвнутри шара х 2 + у2 + Z2 ~ а 2 .36. Найти площадь части конуса х 2 + у2 + z2, заключенной внутри цилиндра х 2 + у2 == 1.37. Найти площадь части конуса Z == Jx 2 + у2, заключеннойвнутри цилиндра х 2+ у2 ==2х.== у2 + z2,38. Найти площадь части конуса х 2ностью ау==х .39.
Найти площадь части поверхности 2хной внутри цилиндра у2 + Z2 == 1.40. Найти площадь части цилиндра х 2костями х±отсеченной поверх2Z==о (х+ у2 == а2у2, расположен, отсеченной плос> о).41. Найти площадь части поверхности х 2внутри цилиндра (х 2 + у2)2 == х 2 _ у2.42. Найти плошадь части сферы х 2внутри цилиндра (х 2== Z2 -+ у2)2 == 2а2+ у2 == 2z,+ у2 + Z2 ==заключеннойа 2 , заключеннойху.43. Найти площадь части поверхности х 2 ja - у2 jb == 2z, отсеченной цилиндром х 2 j а 2 + у2 jb 2 == 1 и расположенной при Z > О (а > о,Ь> о).44.
Найти площадь части поверхности х 2 ja + у2 jbной цилиндром x 2 ja 2 +y2jb 2 == 1 (а> о, Ь> о).45. Найти площадь поверхности (хZ1, х>>о, уо,> о.46. Найти площадь поверхности (хZ+ у)2 + Z ==отсечен== 2z,+ у)2 + 2z 2 == 2а2, х> о,у> о,> о.47. Найти площадь части сферического треугольника х 2 + у2 ++ Z2 + Z2 == а 2 , х > о, у > о, Z > о, х + у < а.48. Найти площадь части конической поверхности Z2 == х 2 + у2,имеющей краем винтовую линию х == Z cos Z, у == Z sin z, О ~ z ~ 21Г,И отрезок образующей.49.Найти площадь части поверхностисеченной плоскостями х== 1и хsin z== sh х sh у,у> о,== 2.50.
Найти площадь части сферы х 2+ у2 + Z2 == R 2,>ограниченнойдвумя параллелями Ф == Ф1, Ф == ф2ф1 И двумя меридианами ерер == ер2ер1, где ер и Фуглы сферических координат.>-от51. Найти площадь поверхности тора х==== ер1,(Ь+асоsф)соsер, у==§ 9.==(Ь+ а cos ф) sin ер,Приложения ffpamHblX интеграловz ==а sin ф, О<а245~ Ь.52. Пусть 10 и lс - моменты инерции относительно начала координат О и центра масс С тела, и пусть d== ICOI, dx == Vy& + Zbрасстояние от С до оси ОХ, М масса тела. Доказать, что:1) 10 == lс + md 2 ;2) lхх == lх,х, + md;, где lх,х, - момент инерции тела относительно оси Сх', параллельной Ох и проходящей через С.53.
Пусть для тела П С R3 площадь S(x) его поперечного сеченияплоскостью х == const является непрерывной функцией х Е [а; Ь], ипусть плотность р тела зависит только от х,р==р(х). Доказать,что для массы тела М, его статического момента Мухинерции l~z верны формулы (см.[2, § 9, (15)-(17)]):ь1) М =и моментаьJВ(х)р(х) dx; 2) M JхВ(х)р(х) dx;Jх В(х)р(х) dx.yzа=аЬ3) l~z =2а54.Пусть тело П получено при вращении вокруг оси Ох фигуры,заданной неравенствамиО ~ Уl(Х) ~ У ~ У2(Х),а ~ х ~ Ь,где Уl (х) И У2 (х) - непрерывные функции, и пусть плотность телазависит только от х, р == р(х). Доказать, что (см.
[2, § 9, (19), (20)]):ьJ(yi(x) - у{(х))р(х) dx;~ lхх + 1г Jх (у§(х) - Yi(x))p(x) dx.1) lхх = ;а2) lуу =ь2а55.дИПусть основанием прямого цилиндра является область площаа "крышка" цилиндра плоская. Пусть НS,-длина лежащеговнутри цилиндра отрезка прямой, проходящей через центр масс основания параллельно образующим.
Доказать, что объем цилиндра равен====SH.56. Для квадрата П == [О; 1г /2] х [О; 1г /2]ро sin(x + у) найти:1) массу; 2) координаты центра масс;с плотностью р(х; у)3)моменты инерции lхх и lуу относительно осей Ох и Оу;4)момент инерции относительно прямой у==х.57. Для круга П == {х 2 +у2 ~ 2ах} с плотностью р(х;у)X2 + у2 найти:1) массу; 2) координаты центра масс;PoV==Гл.2462.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы3) моменты инерции lхх и lуу относительно осей Ох и Оу;4) момент инерции относительно прямой х == а.58. Для треугольника [2плотностью р(х; у)===={х+у ~ а, а ~ х ~ О, а ~ у ~ О} сх найти:1) массу; 2) координаты центра масс;3) моменты инерции относительно осей Ох и Оу;4) момент инерции относительно прямой у == Ус, где ус -ордината центра масс.59.Пусть начало координат О является центром масс плоскойфигурыугол[2, прямаяlпроходит черезОи составляет с осьюОха.Доказать, чтогдеlz == lхх cos 2 а - 2lxy sin а cos а + lуу sin 2 а,момент инерции [2 относительно оси l, lху -lz -ный момент инерции:lху=(27)центробеж11 xyp(x;y)dxdy.(28)Q60.Найти координаты центра масс однородной плоской (р== 1)фигуры:1) y2ja~x~2a-y, а>О;2) х 2 +у2 ~ а 2 , lyl ~ xtga, а Е (0;Kj2);3) y~a2jx, y2j(8a) ~x~2a, а>О; 4) r~a(l+sin<p);5) ограниченной петлей декартова листа х З + уЗ == 3аху;6) ограниченной аркой циклоиды х == a(t + sin t), у == а(l - cos t)и прямой у==2а;7) vгx + УГУ ~ УГа, х ~ О, У ~ о.61.
Найти статический момент однородного (р == 1) тела {( х 2+у2) ~ Z ~ 1 - х 2 - у2} относительно плоскости Оху.62.Найти координаты центра масс однородного (р== 1)тела:1) O~bz~h(b-y), a2y~Ьx2, а>О, Ь>О, h>O;2) (у2 + 2z 2)j4 ~ х ~ 2.63. Найти координаты центра масс тела с плотностью р:1) [О; а] х [О; а] х [О; а], р == ро (х + у + z) 2 ;2) х 2 + у2 + Z2 ~ R 2, Х ~ О, Р == Ро! V'--X-:"""2-+-y-:"""2;3) R 2 ~ х 2 + у2 + Z2 ~ 4R 2, У ~ О, Р == Ро (Z2 + х 2 + у2);4) vx 2 +у2 ~ Z ~ h, Р == poz 2;5) х 2+ у2~ Z ~ h, Р== PoVh - z;6) X2+y2+Z2~R2, z~O, P==PO(X 2 +y2+ Z2)-1/2;7) х 2 + у2 - Z2 ~ а 2 , О ~ z ~ h, Р == poz;8) О ~ z ~ х 2 - у2, х 2 + у2 ~ 1, х ~ О, Р == poz.+§ 9.Приложения ffpamHblX интегралов24764. По пространству вне шара х 2 + у2 + Z2 ~ R 2 распределенамасса с плотностью р == ро/т 3 + а , где а > о, r ==х 2 + у2 + z2.JНайти эту массу.65. По пространству вне эллипсоида х 2 / а 2+ у2 / ь + Z2 / с22~ 1распределена масса с плотностьюр == ро ехр( -k Jx 2/a 2 + у2/Ь2+ z2/ c2),k> о.Найти эту массу.Найти момент инерции относительно координатных осей и от-66.носительно начала координат однородной (р== 1)плоской фигуры:х 2 +у2 ~ а 2 , lyl ~ xtga, а Е (0;1Г/2);(х - а)2 + (У - а)2 ~ а 2 , а ~ х ~ о, а ~ У ~ о;х/а + у/с ~ 1, х/Ь + у/с ~ 1, у ~ о, а > Ь > о, с1)2)3)4)6)8)r~ а sin 2<р, О ~ <р ~ 1г /2222; 5) r44~ а (12- sin <р) ;х /а +у /ь ~ 1; 7) х +у == а (х +у 2 );ху==а 2 , ху==2а 2 , х==2у, у==2х (х>О, у>О).67.2> о;2Найти полярный момент инерции относительно начала коор-динат однородной (р== 1)плоской фигуры:1) х/а + у/Ь ~ 1, х ~ о, у ~ о, а > о, Ь > о;2) а 2 ~ у 2 ~ ах ~ о, а > о; 3) r == avcos 2<р.68.Найти момент инерции плоского однородного (р== 1)правильного треугольника со стороной а относительно оси:1)2)содержащей его высоту;проходящей через центр масс треугольника и составляющей сего высотой угол а.69.По шару радиусаRраспределена масса М с плотностью р.Найти момент инерции шара относительно его диаметра, если:1)плотность р в точке пропорциональна расстоянию между этойточкой и центром шара;2)плотность р в точке обратно пропорциональна расстоянию между этой точкой и центром шара.70.Найти моменты инерции относительно координатных осей од-нородных (р== 1)тел:1) [о; а] х [о; Ь] х [о; с]; 2) х 2 + у 2 ~ R 2, О ~ z ~ Н;3) О ~ Rz ~ Н (R- Jx 2 +у 2 ).71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
