1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 44
Текст из файла (страница 44)
j Jx 2 + у2 dx+ у(ху + ln(x + Jx 2 + у2)) dx, Гокруж-Гность х 2+ у == R 2.255. j (х+ у)2 dx - (х - у)2 dy, Г-граница области, образовангной отрезком АВ, где А(l; 1), В(2; 6), и дугой параболы у+ Ьх + с,==ах 2+проходящей через точки А, В, 0(0; О).Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой Г с началом в точке А и концом в точке В56.
j х dy(56-68).+ у dx, А( -1; 3), В(2; 2).г57. jxdx+ydy, А(-I;О), В(-3;4).г58. j(x+Y)dx+(x-у)dУ, А(2;-I), В(I;О).г59. j2x y dx+x 2 dy, А(О;О), В(-2;-I).г60. j (х 4+ 4 ху 3) dx + (6х 2 у 2- 5 у 4) dy, А( -2; -1), В(О; 3).+ 2ху - у2) dx + (х 2- 2ху - у2) dy,г61. j (х 2г62. j (зх 2 - 2ху+ у2) dx + (2ху - х 2А(О; -3).- 3 у 2) dy,Г63. jА(3; О),А( -1; 2), В(l;ЛХ + y)(dx + dy), f(t) --2).непрерывная функция, А(О; О),гВ(Ха; Уа).64. j ср(х) dx+ ф(у) dy,cp(t) , ф(t) -непрерывные функции,гА(Хl;Уl)' В(Х2;У2).65. jexcosydx-еХsiпуdу, А(О;О), В(ХО;Уо).гКриволинейные интегралы§ 10.JхJ66.dx+ у2 dy -269А( -1; О; 2), В(О; 1; -2).z3 dz,Г67.А(2;-1;0), В(1;2;3).yzdx+xzdy+xydz,Г68._x_d--;x==+==y==d==y==+====z==d_z , А Е В1, В Е В2, где В1 ГJx 2 + у2 + Z2Jсфера х 2+ у2 +Найти функцию и по заданному полному дифференциалу этойфункции(69-77).69.
du70. du====+ у2 dy.х 2 dx- 5 у 3 е Х) dx + (2хе 2У - 15 у 2 е Х) dy.Y [(l+x+y)dx+(l-x-y)dy].(е 2У71. du==e x -2х(1 - е У )72 · du == (l+х 2) 2 dx73. du+(е2)l+х2+ 1 dy.== dx + dy + dz. 74. du == yzdx + xzdy + xydz .х+у+z1 + х 2 у 2 Z275. du == (х 2 - 2yz) dx76. du==+ (у2- 2xz) dy+ (Z2(1-.!. + Jl)dx+(Хz + ~)dYzуу2- 2ху) dz.хуdz.Z277. du== (x+y-z)dx+(x+y-z)dy+(x+y+z)dz.х278.+ у2 + Z2 + 2хуКакому условию должна удовлетворятьфункцияF(x;y),дифференцируемаячтобы криволинейный интегралJF(x;у)(у dx + х dy)ГАВне зависел от пути интегрирования Г АВ?79.
Исходя из определения длины s спрямляемой кривой== {r(t),a ~ t ~ Ь}, данного в [1, § 24, п. 2], доказать, что есликусочно гладкая кривая, то в R3ьs =J J ~: (t)ds =IГьI dt =аJ)( dxdtьJ JI ~:ds =Г+ (d Y ) 2 + (dz) 2 dtdtdt'Г==-(31)аа в R2s =2Гаь(t) I dt =Jа(32)Гл.2702.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы80.
Доказать, что:1) если плоская криваямой функции у== f(x),Г-график непрерывно дифференцируеа ~ х ~ Ь, тоьs =J)1 + (f'(х))2dx;(33)а2)если плоская кривая Г задана в полярных координатах уравнением r == Т(<р), а ~ <р ~ Ь, где функция Т(<р) непрерывно дифференцируема на [а; Ь], тоs =JJ(:~ ) +2r 2 d'P.(34)а81. Найти длину дуги плоской кривой *):1) ау2==х3, 0~x~5a; 2) y==1-1ncosx, 0~X~7Г/4;3) у == а ch (х / а), О ~ х ~ ха; 4) r == а sin 3 ( <р / 3) ;5) r == а(l + cos <р); 6) х == et sin t, у == et cos t, О ~ t ~ 27Г;7) х == <р + sin <р, у == 1 - cos <р, l<pl ~ 7Г;8) х 2 / а 2 + у2/Ь 2 == 1, а ~ Ь; 9) х 2 / 3 + у2/3 == а 2 / 3 .82.
Найти длину дуги пространственной кривой:1) x==3t, y==3t 2, z==2t 3, O~t~ 1;2) х == t cos t, У == t sin t, z == t, О ~ t ~ J2;3) х == а(l + cos <р), у == а(<р - sin <р), z == 4а sin(<p/2), О ~ <р ~ 27Г;4) х == t cos t 2, у == t sin t 2, z == t 2, О ~ t ~ J27Г;5) 2рх == z2, 6р 2 у == z3, О ~ Z ~ р;6) х 2 - у2 == 9z 2/8, (х + у)2 == 8(х - у) от точки (О; О; О) дО точкис аппликатой Za == 1/3.83.
Пусть вn - длина витка кривой х == e- kt cos t, у == e- kt sin t,z == e- kt , 27Гn ~ t ~ 27Г(n + l)t, n Е z. Найти отношение вn+l : вn.84. Используя таблицы, найти с погрешностью не более чем 0,1длину дуги кривой х 2 + у2 + Z2 == 1, у2 + Z2 == у.85. Найти массу, распределенную с линейной плотностью р(х; у)по дуге АВ плоской кривой Г, если:1), В(2; 3); р(х; у) == 2х + у;отрезок АВ, А(l; О), В(4; 6); р(х; у) == Vy + 2/х;Г: у == х 2 /2, А(l; 1,5), В(2; 2); р(х; у) == у / х;Г: у2 == Х, А(l; 1), В(4; 2); р(х; у) == у;Г: у == 2х 3 / 2 /3, А(О; О), В( 4; 16/3); р == ks, где s - длина дугиГ1)2)3)4)5)Г -отрезок АВ, А(l;от точки (О; О).86.Найти массу всей кривой уплотностью р*)====ach(x/a), х Е R, с линейной1/у2.Задачи о вычислении для дуг кривых их длин, масс, центров масс, моментов инерции сосредоточены в[2, § 7].Криволинейные интегралы§ 10.87.271Найти массу, распределенную с линейной плотностью р поплоской кривой Г:1) Г: r == av'---co-s-=2-ep; р == kr;3)4)5)6)2) Г: r == а(l+ cos ер);р == kyГr;Г: х == а( t - sin t), у == а(l - cos t), О ~ t ~ 2п; р == у3/2;Г·.
х == а cos 3 t , у == а sin 3 t , О -....;::~ t -....;::~ п/2·, р ==3I1iy.У&'Г: x==ln(1+t 2), y==2arctgt-t, O~t~ 1; р==уе- Х ;Г: х 2 /а 2 +у2/Ь 2 ==1, x~O, y~O; а>Ь; р==у;7) Г: х 2 / 3+ у2/3== а 2 / 3 ; р == Ixyl;8) Г: х 2 + у2 == ах; р == J х 2 + у2.88. Найти массу, распределеннуюс линейной плотностью р попространственной кривой Г:1) Г: x==cost, y==sint, z==t, 0~t~2п; P==(X 2 +y2+ Z2)-1;2) Г: x==at, y==at 2/2, z==аt 3 /з, O~t~l; p==J2y/a;3) Г: х == tcost, У == tsint, z == t, О ~ t ~ 2п; р == V"'-~-2-+-y-2-+-Z-2;4) Г·. х == aetcost , у == aetsint " z == ae t -00 < t -....;::~ о·, Р == kz·,235) Г - дуга кривой у == х / YI2, z == х /3 с началом А(О; О; О) иконцом В(4; 8у12; 64/3); р == kJx 2 + у2;6) Г - дуга кривой у2 - 4х 2 == Зz 2 , у2 == Х, Z ~ О, с началомА(О; О; О) и концом В(1/4; 1/2; О); р == z;7) Г == {х 2 + у2 + Z2 == а 2 , х + у + z == а}, р == х 2 .89.
Найти координаты центра масс, распределенных по плоскойкривой Г с линейной плотностью р== 1:1) Г: у == ach(x/a), Ixl ~ а;2) Г: х == а (t - sin t), У == а (1 - cos t), О ~ t ~ 2п;3) Г - дуга окружности r == R, lepl ~ ера ~ п;4) Г - кардиоида r == а(l + cosep);+ у2/3 == а 2 / 3 , у ~== х /3 + х , Х ~ о.5) Г: х 2 / 37) Г: у290. НайтиО; 6) Г: vгx + УГУ ==Va;32координаты центра масс, распределенных с линейнойплотностью р по дуге винтовой линии х== R cos ер, у == R sin ер, z ==== hер/2п, О ~ ер ~ ера, если:1) р == ра == const; 2) р == Pae-Z/h, считать ера == 2пn, n Е N.91. Найти координаты центра масс однородной кривойх == e- t cos t,у == e- t sin t,О ~92.
Найти координаты центра массти vгx + УГУ + vгz == Va·93. Пусть кусочно гладкая кривая Гких кривыхr i,t<00.однородного края поверхнос-является объединением глад-nГ ==U r i , С массамиi=lmiи радиус-векторами центровГл.272массri, iзать,что2.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы== 1, ... , n.Пустьмасса г, Теm -центр масс Г.
Дока--n==Ге"~ mimi=l(35)ri·94. Найти момент инерции lх окружности х 295. Найти момент инерции lу окружности х 296.ниихR 2; Р == 1.+ у2 == 2Rx;р== 1.Найти моменты инерции lх и lу одной арки циклоидых97.+ у2 ==== а (t + sin t) ,У== а (1 - cos t) ,Найти моменты инерции lх, lу,== а cos t,У== а sin t,lzIt I ~ 1Г,Р== 1.одного витка винтовой лиz == ht / 21Г ,О ~t~ 21Г;98.
Найти момент инерции lх окружности х 2+у + Z == О; Р == 1.+ у299. Найти полярный момент инерции [о =2J(хР== 1.+ z2 == R 2,Х++ у2) ds плоскойгоднородной кривой Г (р== 1)относительно начала координат, если:1) Г: Ixl + lyl == а; 2) Г: х / + у2/З == а 2 / З ;3) Г: х == а (cos t + t sin t), У == а (sin t - t cos t), О ~ t ~ 21Г.100. Пусть G - ограниченная плоская область с кусочно гладкой границей JG, ориентированной так, что область G находится(локально) слева от касательного к JG вектора. Доказать, что площадь J-LG можно вычислять по любой из формул2 ЗS =f х dy= -aG101.f у dx=~aGf х dy - у dx.(36)aGНайти площадь области, ограниченной плоскими кривыми:1) у2 == 4 - х, х == 4, у == 1; 2) у == 2х 2 , Х - у + 1 == О;3) у == 1 - х 2 , Х - у - 1 == О; 4) х == t 2, у == t З , х == 1;5) х == а cos t, у == Ь sin t; 6) х == 12 siп З t, у == 3 соs З t;7) х== а sin 2<р cos 2 <р,У== а cos 2<р cos 2 <р, l<pl~ 1г /2.102.х2Найти площадь области а 2103.Найти площадь области, ограниченной кривыми:+у2Ь2< 1,Ха -1) (у - х)2 +х 2 == 1; 2) (х +у)2 == ах, у == О;3) у2 == х 2 - х 4 ; 4) 9 у 2 == 4х З - х 4 ;5) (х 2 + у2)2 == а 2 (х 2 - у2), Х ~ О; 6) (х 2 + у2)2 ==7) х з + уЗ == х 2 + у2, Х == О, У == о.104.УЬ<vГз-22ах З ;Найти площадь области, ограниченной петлей кривой:1) х == 3t / (1 + t З ), у == 3t 2 / (1 + t З );2) х == acos<p, у == asin2<p, х ~ О; 3) (УГХ + уГу)12 == ху.1§ 10.105.ПустьКриволинейные интегралы273ограниченная область в полуплоскости у ~ О сG -aG,кусочно гладкой границейориентированной так, что областьрасположена (локально) слева от касательного вектора.
Пусть Птело, образованное вращением областиGG-вокруг оси Ох. Доказать,что объем JLП можно вычислять по любой из формулрЛ=-1Гf у2 dx=-21ГaG106.f xydyf 2xydy + у2 dx.= -;aG(37)aGНайти объем тела, образованного при вращении вокруг осиОх области, ограниченной кривыми:1) у == sh х, х == О > О, У == О;2) у == 2 - sin х, О ~ х ~ 21Г, У == О, х == О, х == 21Г;3) у2 - х 2 == 1, Ixl == 1; 4) х == acos 3 t, у == asin 3 t;5) х == sin2t, у == sint, О ~ t ~ 21Г.107*). Найти работу поля F == (Fa; О), Fa == const, вдоль дугипараболы у2108.х от точки (1; О) дО точки (О; 1).Найти работу поля2 3роиды х /109.== 1 -+ у2/3 == аF2 3== (Fa, О), Fa == const,вдоль дуги аст/ , х ~ О, У ~ О, от точки (а; О) дО точки (О; а).Найти работу поляF==1), если:1) Г: у==х; 2) Г: у==х 2 .110.
Найти работу поля F ==(ху; х+ у)(4х5у; 2хвдоль дуги АВ кривой Г,где А(О; О), В(l;вой Г, где А(l;1) Г 2) Г --9),В(3;-3),AQB,где+ у)вдоль дуги АВ кри-если:ломаная АРВ, где Р(l;ломаная--3);Q(3; -9); 3)Г-отрезок АВ.111. Найти работу поля F вдоль дуги АВ кривой1) F==(2xy;-y); Г: у==х 2 -1, А(l;О), В(2;3);Г, если2) F == (3 ху 2; -х - у); Г: у2 == Х + 1, А(О; 1), В(3; 2);3) F == (- у; х ); Г: х == а (t - sin t), У == а (1 - cos t), А (О; О) ,В(21Га; О);4) F == (у; -2х); Г; х + у2 == 1, у ~ О, А(l; О), В( -1; О);5) F == (О; 2х); Г: х == а cos t, у == Ь sin t, у ~ О, А(а; О), В( -а; О).112. Найти работу поля F == (-у;х):1) от точки А(l;О) до точки В(-l;О):а) вдоль ломаной AMNB, где М(l;l); N(-l;l);б) вдоль верхней полуокружности х 2 + у2 == 1;в) вдоль ломаной АРВ, где Р(О; 1);2) от точки (ха - R; Уа) до точки (Ха + R; Уа) вдоль:а) верхней полуокружности (х - Ха)2 + (У - Уа)2 == R 2, У ~ Уа;б) нижней полуокружности (х - Ха)2 + (У - Уа)2 == R 2, У ~ Уа.2*)18Задачи по этой теме включены также в § 12.Под ред.
Л.Д.Кудрявцева, т.3Гл.2742.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы113. Найти работу поля F == -J1rjr 3 , г == (х; у), r == Irl, J1 == const:1) вдоль дуги АВ параболы у == х 2 -1, где А(Хl;Уl)' В(Х2;У2);2)вдоль дуги АВ гладкой кривой Г, не проходящей через началокоординат, где А(Хl;Уl)' В(Х2;У2).114.Найти работу поля12 . ( -у;==Frги АВ кривой Г, где А(l; О), В(О;1),Р(l; 1);1) Г -ломаная АРВ, где2) Г 3) Г -четверть окружности х 2115.==Fесли:+ у2 == 1, х ~ О, У ~ О;х 2 / 3 + у2/3 == 1, х ~ О, У ~ о.четверть астроидыНайти работу полях), т 2 == х 2 + у2, вдоль ду12r(-у;х), т 2 == х 2 +у2, вдоль ориентированной против часовой стрелки окружности:1)х2116.+ у2 ==1; 2) (х - 2)2Найти работу полякривой Г, где1) Г -0(0; О; О),F+ у2 ==1.==== xi + yj + zk,ЛГ, гМ(Ха; уа;винтовая линия х==za), если:tae cos t, У ==вдоль дуги ОМae t sin t, z == ae t ;2) Г - отрезок ОМ.117.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
