1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Найти работу поля F вдоль контура Г, если:1) F == (yz; zx; ху); Г - ломаная ABCD с вершинами А(l; 1; 1),В(2; 1; 1), С(2; 3; 1), D(2; 3; 4);2) F == (х + z;x; -у); Г - замкнутая ломаная АВСА с вершинами А(l; О; О), В(О; 1; О), С(О; О; 1);3) F == (ху; yz; xz); Г - замкнутая ломаная ABCDA с вершинами А(l; 1; -1), В( -1; 1; 1), С( -1; -1; -1), D(l; -1; 1);4) F == (x 2 jy;yjx;cosz); Г - виток винтовой линии х == acost,у == а sin t, z == Ы от точки (а; О; О) дО точки (О; О; 21ГЬ);5) F == (у; -z;x); Г - кривая х 2 + у2 + 2z 2 == 2а 2 , у == х, ориентированная против часовой стрелки со стороны оси Ох;6) F==(2ху; у2; -х 2 ); Г -дуга кривой х 2+ у2от точки А(а; а; О) дО точки В (ау'2; ау'2; а);7) F == (z;x;y); Г - окружность х 2 + у2 + z2- 2z 2 ==== R 2,Х2а 2 , у== х,+ У + z == R,ориентированная против часовой стрелки со стороны оси О z.118.
Найти работу поля+yj + zk, r == Irl, f(r) -центральных сил F ==непрерывная при r>гладкого контура Г с началомA(Xl;Yl;Zl)+где г == х iО функция, вдольf(r)r,и концомB(X2;Y2;Z2),несодержащего начала координат.119.Доказать, исходя из закона взаимодействия точечных масс,что материальная кривая Г с линейной плотностью p(~; 1]; () притягивает массу т, находящуюся в точке М(х; у; z), с силойF== kmMNJIMNI3Гp(~; 1]; ()dx,N==N(~; 1]; ().(38)Криволинейные интегралы§ 10.120.275Найти напряженность гравитационного поля, создаваемогооднородной материальной прямой с линейной плотностью ро.121.С какой силой масса А1, равномерно распределенная вдольокружности х 2+ у2 == а2== h > О,, zпритягивает точечную массу т,помещенную в начало координат.122.Пусть (р;координаты, определяющие на плоскостиv) -Opvсостояние одного моля идеального газа (давление и объем). Уравнение состояния одного моля такого газа имеет видR == const >О, Т-pv == RT,гдеабсолютная температура.
При переходе из состояния (P1;V1) в состояние (P2;V2) по кривой Г количество получаемого (или отдаваемого) тепла газом определяют по формулеJ~Q =pdv+~vdp,(39)ггде Cv== const,r== const,Ср==Cv+ R.Кривую, задаваемую уравнениемpv' ==г де== Ср / Cv , называют адиабатой (а процесс изменениясостояния вдоль этой кривой адиабатичеСJliИМ).1)Найти тепло, получаемое газом в изотермическом процессе, т. е.вдоль кривой pv ==состояние (Р2; V2) .2)RT == const,при переходе из состояния (Р1;V1)ВДоказать, что в адиабатическом процессе газ не получает и неотдает тепло.Пусть pv' == С 1 , pv'ими отрезок изотермы pv3)== С2 - две адиабаты, Г(Т) - отсекаемый== RT, Q(T) - количество тепла, получа-емое газом на Г(Т). Доказать, что ДЛЯ всех изотерм4)Qr.;)= const.ЦИJliЛОМ Карно называют замкнутый контур, образованный двумя адиабатами и двумя изотермамиpv == RT1Иpv == RT2 ,Т2> Т1 .Пусть этот контур ориентирован от точки с наибольшим давлениемpv == RT2 .
Пусть Q - полное тепло, полученное гаКарно, а Q2 на изотерме pv == RT2. Доказать, что1] == Q / Q2 определяется по формуле 1] == (Т2 - Т1 ) /Т2 .вдоль изотермызом на циклек. п. д. цикла123.В установившемся стационарном потоке жидкости плотностьи скорость в каждой точке потока не зависят от времени, т. е. р==р(х;у),1)v==== (u(x;y);v(x;y)).Найти количество жидкости, прошедшей за единицу временичерез ограниченную областьGс кусочно гладкой границейJG;получить уравнение для u и v, предполагая, что в области Gжидкость не возникает и не исчезает (т. е. нет ни источников, нистоков) и что жидкость несжимаема.2)124.Найти логарифмический потенциал простого слояU(Х; у)=f M(~; 'fJ)г18*ln( ~ ) ds,(40)Гл.276где Г -2.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы+ 1]2 == 1, ориентированнаях)2 + (1] - у)2, если:окружность ~2-против часовойстрелки, r == J(~1) JL(~; 1]) == JLo == const; 2) JL(~; 1]) == cos тер, т Е N;3) JL(~; 1]) == sin тер, т Е N.Здесь ер - полярный угол точки (~; 1]).125.Вычислить интеграл Гауссаf1=cos~-;n)(41)ds,aGгде JG - кусочно гладкая граница области G, r == М N, М(х; у) Е R2 ,N(~;1]) Е JG, r == J(~ х)2 + (1] - у)2, n - внешняя нормаль к JG,(г,n) - угол между r и п, предполагая, что:-1)М ~126.G; 2) М Е G.Вычислить логаРИфм'ичеСJliИЙ потенциал двойного слояи (х; у)==fv (~; 1] )cos(rn)r 'ds,(42)ггде Г -окружность ~2стрелки, r==+ 1]2 ==(~- Х;1] - у), r==1, ориентированная против часовойJ(~ х)2 + (1] - у)2, n - внешняя-нормаль к Г, если:1) v(~; 1])Jsin тер, т Е N.Здесь ер полярный угол точки (~; 1]).
Рассмотреть случаи2х + у2 > 1 их 2 + у2 < 1.==cos тер, т Е N; 2) v(~; 1])==JОТВЕТЫ1. 1) vгs /2; 2) 3 + 2 VГS; 3) 1 + VI2; 4) - vгs ln 2; 5) ln ( (3 + VГS) /2) .2. 1) О; 2) аЬ(а 2 + аЬ + Ь 2 )/(3(а + Ь)); 3) 24. 4. паЗ /2.5. 2па 2n + 1 . 6. 1) па 2 /2; 2) 2а 2 . 7. 1) a 2v12; 2) 2а З vI2/з.8. 2а 2 (2 - VI2). 9. 4а 7 / З .
10.1) 32а 2 /3; 2) 256а З /15.11. 1) 2п 2 а З (1 + 2п 2 ); 2) ((1 + 4п 2 )З/2 - 1)а 2 /3.12. 1) 8пЬ 2 Vа 2 + Ь2/(3а 2 ); 2) (Va 2 + Ь2/ а Ь) arctg (2пЬ/а);3) 2пVа 2 + Ь2(3а 2 + 4п 2 Ь 2 )/З.13. 1) ((1 + 2п 2 )З/2 - 1)2v12/з; 2) ((1 + 2п 2 )З/2 - 1)4v12/з.14. 2па 2 . 15. а 4 /6.
16. a 2 v12. 17. 2па З /3.18. (100vГз8 - 72 - 171n((25 + 4vГз8)/17))а 2 v12/512.19. 1) п; 2) (14 - 3 ln 4) /3; 3) 8; 4) 3/2; 5) 4; 6) 12/5.20. 1) 2 sin 2; 2) -8/15; 3) -14/15; 4) 4/3.21. 1) О; 2) 2/3; 3) 2. 22. 8/15, 23. -11. 24. (5 - ln 8) /3.25. па 2 /2. 26. 1) 7/12; 2) 56; 3) 8; 4) 6; 5) 12 + ln 5; 6) 4.27. 1) -1/4; 2) О; 3) -2паЬ; 4) -4аЬ 2 /3.28. 1) па 2 ; 2) 3па 4 / З /16.§ 10.29.31.36.41.45.49.55.61.Криволинейные интегралы2771) -48; 2) 4; 3) -1/2; 4) о. 30.1) 4/3; 2) о; 3) -2п; 4) о.-па 2 .32. 1/35. 33.
о. 34. о. 35 -па 2 .-па 2 соs 2 а. 37.13. 38. 3vГз. 39. аЗ. 40. -пR З /4.па 2 2 З / 2 sin( п /4- а). 42. -4. 43. о. 44. 2п Rr 2.1) о; 2) -паЗ /8. 46. паЬ. 47. о. 48. -140/3.о. 50. (l - e 7r ) /5. 51. о. 52. па 2 /8. 53. -4. 54. п R 4 /4.-2. 56. 7. 57. 12. 58.
1. 59. -4. 60. -1148/5.ха+Уао.62. 30.Х2J f(t) dt.63.64.аУ2Jcp(t) dt + J'lj;(t) dt.ХlУl65. е ХО COSYa - 1. 66. -1/6. 67. 6. 68. R 2 - R 1 .69. U == (х З + у З )/3 + с. 70. u == хе 2У - 5у З е Х + с.71. u == eX-У(х + у) + с. 72. u == (е У - 1)/(1 + х 2 ) + У + с.73. u == ln Ix + у + zl + с.
74. u == arctg (xyz) + с.75. u == (х З + уЗ + ZЗ)/3 - 2xyz + с. 76. u == х - х/у + xy/z77. u == ln J(x + у)2 + Z2 + arctg (z/(x + у)) + с.78. xF~(x;y)==+ с.yF~(x;y).81. 1) 335а/27; 2) ln(l + J2); 3) а sh (Ха/а); 4) 3па/2; 5) 8а;6) (c 27r - 1)J2; 7) 8; 8) 4аЕ(п /2; Va 2 - Ь2/ а); 9) 6а.82. 1) 5; 2) J2 + ln(J2 + 1); 3) 4па; 4) J27Г(3 + 4п)/3; 5) 7р/6;6) 9J2/16.83. e- 27rk . 84. 4J2Е(п/2; 1/J2) ~ 7,6404.85.1) 5уЬ; 2) 2уТО; 3) (5уЬ - 2J2)/6; 4) (17Щ - 5уЬ)/12;5) 4(63 - 5J5)k/9.86. п/а.87.1) kпа 2 ; 2) пk(2а)З/2; 3) 3J2па 5 / 2 ; 4) а 4 / З ; 5) (п 2 - 81n2)/16;ь26) 2+аЬ.2Е arcslnE, Е==va 2 аЬ2; 7)91Га 3264; 8) 2а ..
f()+ 2 +2у3j7)88.1) у2агсtg2п;2) -За ( ln vГзvГз-2 ) ;З16З3) 4((1 + 2п )З/2 - 1)/3; 4) vГзkа /2; 5) 2644k/15;6) 1/16; 7) 2у'6па З /9.89 1) (о· sh 2 + 2 ). 2) ( . 4а). 3)sin ера . о)· 4) (4а. о).·, 4 sh 1 а ,па, з'ера"5"22(R5) (о· 2а). 6) х==== 7у'2 + Зlп( у'2 + 1) . .!!.... 7) (~. о).с усу'2 + ln( у'2 + 1)16 '45 '90 1) ((Rsincpa)/CPa; R(l- coscpa)/CPa; (СРаh)/(4п));2) (R/(l + 4п 2 ); 2пR/(1 + 4п 2 ); h(l - (n + 1)е- n )/(1 - е- n ))., 5'91. (2/5· 1/5· 1/2).92.х ==сус==z==.!!... 7у'2 + Зlп( у'2 + 1).с24 у'2 + ln( у'2 + 1)ЗЗЗ94. пR .
95. 3пR . 96. lх == 32а /5, Iу == 8(п 2 - 256/45)а З .97. lх == Iу == V4п 2 а 2 + h 2(3а 2 + 2h 2) /6, lz == V4п 2 а 2 + h 2a 2."Гл.278Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.98. 2па З /3. 99. 1) 8J2а З /3; 2) 3а З ; 3) 2п 2 (2п 2 + l)а З .101. 1) 1/3; 2) 9/8; 3) 9/2; 4) 4/5; 5) паЬ; 6) 27п /2; 7) 3па 2 /8.102. (7п + 3)аЬ/12.103. 1) п; 2) а 2 /6; 3) 4/3; 4) 8п /3; 5) а 2 ; 6) 5па 2 /8;7) (3vГз + 4п) /9vГз.104. 1) 3/2; 2) 4а 2 /3; 3) 1/30.106. 1) п( sh 2а - 2а) /4; 2) 9п 2 ; 3) 8п /3; 4) 32па З /105; 5) п 2 /2.107.
-8/15. 108. -аFо . 109. 1) 4/3; 2) 17/12.110. 1) 22; 2) 106; 3) 64.111. 1) О; 2) 113/3; 3) -6па 2 ; 4) -3п /2; 5) паЬ.112. 1) а) 4; б) п; В) 1; 2) а) -(пR + 2yo)R; б) (пR - 2Yo)R.113. 1)и 2) p,(1/r2 - l/rl), где rj=Vхl + Уl, j= 1,2.114.1),2),3) п/2. 115.1) 2п; 2) о.116. 1) и 2) Л(Х5 + У6 + z6)/2.117. 1) 23; 2) 1/2; 3) -4/3; 4) siп(2пЬ) - па 2 ; 5) 2па 2 ;6) (2J2 - 7 /3)а З ; 7) 2п R 2 / vГз.r2118. !r!(r)dr, rj=vxl+Yl+z], j=1,2.rl120. -х;kpo+у2(х;у;О) (прямая совпадает с осью Oz).121. (О; О; kM mh/ (а 2+ h 2 )З/2).f p(x;y)(v(x;y)dx-u(x;y)dy);123.1)aGJx124. 1) О при r ==1г2) cos пер при r> 1, -nкоординаты точки (х;у));3) ~ sin пер при r125.
1)126. 1)О;пrncos перд~xu) + a~yv)при-2ПJLо ln r при r > 1;cos пер при r < 1 (( т; ер) -n2п.2)тn1г т n sin пер при r> 1,n2)=О.+ у2 < 1,21гnт nnт122. 1) RT ln(Pl /Р2).< 1,r-пr- nполярные< 1.cos перприr> 1 ( (т; ер) -полярные координаты точки (х;у));2)пr nsin перпри§ 11.r< 1,-пr- nsin перприr> 1.Поверхностные интегралыСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.ностьПоверхностныйSинтегралпервогорода. Пустьповерхзадана параметрически:х== x(u;v),у== y(u;v),z == z(u;v),(u;v)ЕD,(1)Поверхностные интегралы§ 11.279причем функции x(u;v), y(u;v), z(u;v) дифференцируемы в измеримой области D. Пусть на этой поверхности задана функция f(x; у; z).11 лх; у;Поверхностный интеграл первого родаz) dSот ФУНКSцииf(x;у;по поверхностиz)Sможет быть определен следующимобразом:11 j(x;y;z)dS= 11 f(x(u;v);y(u;v);z(u;v))V E G-F dudv,2Sгде(2)DЕ = (~:) 2 + (~~) 2 + (~:) 2 ,==F(~:) 2 + (~~) 2 + (~:) 2 ,дх дх + ду ду + az az .дu avдu avдu avG=Если подынтегральная функция в правой части равенства(2)неD (в частности, если функция f непрерывна на В, а(1) непрерывно дифференцируемы в D, то интегралпрерывна вфункции11 лх; у; z) dS заведомо существует.SПоверхностный интеграл может быть определен и как предел соответствующих интегральных сумм (см., например,Если поверхностьz(x; у) -или[4]).задана уравнениемSz == z(x;y),где[3](х;у) Едифференцируемая вDD,(3)функция, то равенство(2)принимает вид11 j(x;y;z)dS= 11 f(x;y;z(x;y))S1+(~;)2 + (~;)2 dxdy.(4)DЧасто поверхностьSне может быть задана в видеее удается разбить на частиSi(3)или(1),нотак, что каждая из частей допускаетпредставление в нужном виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
