1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Найти полярный момент инерции шара х 2 + у 2 + Z2 ~ R 2 Сплотностью Р == ро(х 2 + у 2 + Z2) относительно его центра.72. Найти момент инерции относительно плоскости Оху однородного (р == 1) тела х 2 + у 2 + Z2 ~ R 2, х 2 + у 2 + Z2 ~ 2Rz.73. Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородных (р == 1) тел:Гл.2482.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы1) х/а + у/Ь + z/c ~ 1, х ~ О, У ~ О, z ~ О, а > О, Ь > О, с > О;2) х 2 /а 2 + у 2 /ь 2 + Z2 /с 2 ~ 1; 3) Jx 2/a 2 + у 2 /Ь2 ~ z/c ~ 1;4) x2/a2+y2/b2+z2/c2 ~ 1, х 2 /а 2 +у 2 /Ь 2 ~ х/а, а> О, Ь> О,с> О;5) (х 2 /а 2 + у 2 /Ь 2 )/2 ~ z/c ~ х/а + у/Ь, а > О, Ь > О, с > о.74.
Найти момент инерции относительно оси Oz однородных (р == 1) тел:1) 2ах /~"Z2' , х 2 + у 2 """~ ах·2) х 2 + у 2 ~ а 2 , х + У + z ~ aV2, z ~ О;3) О ~ z ~ х 2 + у 2 , Ix + yl ~ 1, Ix - yl ~ 1;4) х 2 + у 2 + Z2 ~ 2, z ~ Jx 2 + у 2 ; 5) (х 2 + у 2 + Z2)2 ~ a3z;6) (х/а)2/3 + (у/Ь)2/3 + (Z/C)2/3 ~ 1;7) Jy 2/b2 + Z2 /с 2 ~ х/а ~ 1, а > О, Ь > О, с > о.75. Найти момент инерции тора х == (Ь + а cos ф) cos <р, У == (Ь ++а cos ф) sin <р, z == а sin ф, О < а < Ь, относительно:1) оси Oz; 2) оси Ох.76. Найти момент инерции однородного (р == 1) цилиндра х 2 ++ у 2 ~ R 2 , Izl ~ н относительно прямой х == У == z.77. Пусть начало координат О совпадает с центром масс тела G,ось l проходит через точку О и составляет с осями координат углы (1, j3 И (. Доказать, что момент инерции I z тела относительнооси l равенI z == Iхх cos 2 (1 + Iуу cos 2 j3+ I zz cos 2 r - 2l yz2Ixy cos (1 cos j3 cos j3 cos r - 2Izx cos r cos (1,(29)гдеI xy =111xypdxdydz, I yz =G111yzpdxdydz, I zx =111GzxpdxdydzG(30)-центробежные моменты инерции тела.78.
Найти логарифмический потенциал, еслии,n =={х 2+у2~ а 2 },кроме того:1) JL == const; 2) JL (х; У) == f (Т ), r ==79.Найтиньютонов потенциалром плотности ро80.*)и радиуса2+ у2 .в точкеМо ,создаваемыйR.R1иесли его внутренний и внешний радиусыR2 , R1 < R2 .81. Найти ньютонов потенциал, создаваемый шаром х 2*)шаНайти ньютонов потенциал в точке Мо , создаваемый полымшаром с плотностью ро,естьJхВсюду в задачах этого пункта Ро==const.+у +2Приложения ffpamHblX интегралов§ 9.249+ z2 == R 2 С плотностью р(х; у; z) == Jx 2 + у2 + Z2.82.
Найти ньютонов потенциал в центре основаниярадиусом R, высотой Н и плотностью ро.83. Материальный конус с образующей l и высотой hцилиндра симеет плотность ро. Найти потенциал гравитационного поля конуса:в его вершине;1)2)в центре его основания.84. Найти в точке (О; О, h) ньютонов потенциал полушара х 2+ у2 + z2 ~ R 2, Z ~ О с плотностью ро.+85.
Найти в точке (О; О; h) ньютонов потенциал цилиндра х 2 ++у2 ~ R 2, О ~ Z ~ Н с плотностью ро.86. Найти ньютонов потенциал эллипсоида (х 2 + y2)ja 2 + Z2 jb 2 ==== 1 с плотностью ро в его центре.87. Найти силу притяжения материальной точки МО массы mшаром радиусаRс плотностью ро.Из материального шара радиуса88.Rи плотности ро вырезаншаровой сектор с углом в осевом сечении 2а.
Найти силу, с которойэтотсекторпритягиваетточкумассыт,расположеннуюв еговершине.89. Для материального шара с плотностью1) точка вне шара притягивается шаром ср== f(r)доказать, что:такой же силой, как иточечной массой, равной массе шара и помещенной в его центре;на точку внутри шара наружный шаровой слой не оказывает2)никакого действия;3)потенциал в точке вне шара таков же, как и от точечной массы,равной массе шара и помещенной в его центр;4)если шар полый, то потенциал шара в полости постоянен.90.Найти силу, с которой цилиндр с плотностью ро, высотой Ни радиусомоснования91.Rпритягивает точку массы т, расположенную в центрецилиндра.Найти силу, с которой конус с плотностью ро, высотой Н ирадиусом основанияRпритягивает точку массы т, расположеннуюв вершине конуса.m с ко2ординатами (O;O;h) материальным кругом {х +у2 ~ R , Z == О},92.Найти силу притяжения материальной точки массы2по которому равномерно распределена масса с поверхностной плотностью93.ро.Найти силу притяжения материальной точки массыдинатами (О; О;h)mс коорматериальной плоскостью, по которой равномернораспределена масса с поверхностной плотностью ро.94.Расстояние между центрами двух шаров равно а, масса одногошара равна М1 , другого-М2 , плотность каждого шара постоянна.Гл.2502.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыИсходя из формулшарадругим(21), (20)равнасиледоказать, что сила притяжения одногопритяжениямеждудвумяматериальнымиточками, помещенными в центры шаров и имеющими массы М1иМ2 соответственно.
Найти эту силу.Считая Землю жидким шаром со средней плотностью РО95.радиусомнайти давление в нем как функцию расстоянияR,rидоцентра.Тонкая пластинка имеет форму кругового кольца с центром в96.точке0(0; О)и радиусамипластинки равна с== Ixyl,R1иR2 , R1 < R2 .Удельная теплоемкостьплотность РО постоянна.
Найти количествотепла, полученного пластинкой при ее нагревании от температуры Т1дО температуры Т2 .97.На тонкой пластинке, имеющей форму параболического сегмента с основанием 2а и высотойраспределен электрический заh,==ряд с поверхностной плотностью а2х+ У.Найти полный зарядпластинки.98. Горизонтальный уровень жидкости совпадает сOyz, ось ОХ направлена вниз, в глубь жидкости.плоскостьюПлотностьжидкости Ро.
Показать, что сила давления жидкости на вертикальную пластину [2, расположенную в плоскости Оху, равнаро11 xdxdy,Qа ее точка приложения находится на глубинемулыh11х dx dy 11х=Q99.100.(31)dx dy.QвокругосиOzспостоянной1равнаI zzопределяемой из форПоказать, что кинетическая энергия твердого телащающегосягде2h,угловойскоростью2Wk == "2 I zz ш ,-G,враш,(32)осевой момент инерции тела.Пусть телоGвращается вокруг осиOzс постоянной угловой скоростью ш.Главный BeJlimOp сил инерции (центробежных сил)F== (Fx ; F y ; F z )определяют по формулам1F x = ИJ 2xpdV = ИJ 2 M yz ,F y = ИJ 2 M zx ,F z = о.(33)GГлавный момент ММх=ИJ 21==(Мх ; Му ;yzpdV = ИJ 2 I yz ,GM z ) этих сил -Му=ИJ 2 I zx ,по формуламM z = о.(34)§ 9.Приложения ffpamHblX интеграловМатериальная пластина закреплена на осинее с постоянной угловой скоростью ш.осьl,l251и вращается вокругКак следует расположитьчтобы силы инерции (центробежные силы) не оказывали нанее никакого действия?Пусть101.тонкая однородная треугольная пластина масG -сы М с катетами а и Ь, вращающаяся вокруг осиOz,содержащейкатет Ь.
В какой точке следует поместить точечную массу и какойвеличины, чтобы, присоединив ее к пластинке, устранить реакции вточках закрепления оси вращения?ОТВЕТЫ4. 1) 8/3; 2) 16v'i5/3; 3) 2(р + q)vГтЩ/3; 4) (6п + 8)/3;5) (6п - 16) /3; 6) зvГз/4; 7) (п + 6vГз) /24; 8) а 2 /3; 9) па 2 .5. 1) 2Ь: h ln а + h; 2Ь; 2) h; о.+ 2) (ьаа2- а ) /4; 2) (3vГз - п )а 2 /3; 3) зv!3а 2 /4;4) аЬ + (а 2 - Ь 2 ) arctg (а/Ь); 5) 3па 2 /4; 6) па 2 /4; 7) 5па 2 /16.7. 1) 3п /2; 2) (9п + 12vГз) /4.6. 1) (п22321ГаЬ1ГаЬ ( а8.
1) паЬ; 2) 2с 2 ; 3) 4р2+6) аЬ/70; 7) па 2 /2; 8) а 2 /6.2229. 1) 25. 2) ((3 - а)(Ь - а ). 3) ь4) ~516q2);4)635;а25) 3;2-а ln я..+ 1) (/1 + 1) ,2р ,а 2) (q3 - р3); 5) ~ (Ь - а) (q - р); 6) ~ (Ь 2 - а 2 ) ln ~ ;7) 15 Ь - а9) ~ (Ь 222 (а21 '(Ь 2 -1 (ь-5) ( р31 - q31 ).,8 ) 6455.аЬ,а 2 ) (arctg 2 _ 1г + ~).42510. п/I~I.11. ((Ь 2 - bl)(sh2a2 - sh2al) - (а2 - al)(sin2b 2 - sin2b 1 ))/4.12. 1) п; 2) 2п; 3) 3па 4 /32; 4) 88/105; 5) аЗ /12; 6) 2п R 2a;7) аЬс/3; 8) а 4 /24; 9) 32п /3.13. 1) 2(3п - 4)а З /3; 2) 7/24; 3) 8(аЬ)З/2/3; 4) 2аЬс/27; 5) п /8;6) п /32; 7) 16аЬ 2 /з; 8) 4(2 - J2)а З /3; 9) пас 2 /2.14. 1) п /8; 2) 45п /32; 3) п(l - e- 1 ); 4) п(2 - J2)а З /3; 5) 16а З /9;346) (61Г + 40 - 32у'2)а • 7) 2(/1 - а)(1Г - 2) а2с. 8) 31Га •9'1Г 2'2у'2,9) 31Г(а + Ь)815.
1) паЬ/4; 2) а 2 Ь 2 /(8с); 3) 4а 4 Ьс/(9рЗ); 4) п 2 аЬс/2;5) 5(3 - vГs)паЬс/12; 6) 3паЬс/2J2; 7) 81паЬс/32.16. 1) 8п(2 + J2)/з; 2) паЗ; 3) паЗ /3; 4) п 2 а З /4J2; 5) аЗ /360;Гл.252Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.6) паЗ /60; 7) п 2 а З /6; 8) 2па З /9vГз.17. 1) па 2 Ьс/(3р); 2) п 2 аЬс/4; 3) 5(3 - vГs)паЬс/12; 4) 8паЬс/5;5) а 4 Ь 4 с 4 / (360р9).18.1) паЗЬ З /(12с З ); 2) аЬс/3; 3) п /24; 4) (16 - 3п)аЬс/48; 5) 8/35;226) 1ГаЬс (~ + ~) (а + ь ); 7) 1ГаЬс pq (~) 4; 8) 751ГаЬс;649) 2(3прqр264q2aq+ ЬрР256+ 20 -16J2)abc/9.219. 1) 1Г аЬс ; 2) аЬс4; 3) аЬс (~ + ~) ( а 2 + ь226р4) аЬс (~р608)60р2рq9)7)7а •3 ') ;q2(с60+ р)2'90 '35'аЬс/1680.420.
1)р2q~) -1 (~) 4., 5) аЬс р(5с + 4р). 6) аЬс. 7) 41ГаЬс+паЬс/2;р602) (ln~)я..ln~.3)ар'4'92V2(b~ - аЗ) (2Е ( ~) _к ( ~ ))цИИ Е и К СМ. В задаче49а •434) 14 ln 3· 5)=Ь'З;аЗ864 '{fг2(6)9а •4 '~ ), ФУНК-27, § 13;5аЬс(1/е - 1/3).21.8d 1 d 2 d з /lдl.22.4п/(3IДI).8)23. 2пd/lдl.25. 1) 4пR Н/3; 2) пR Н/3. 27. 2па 2 (2 - J2).28. 2( J2 - 1)па 2 /3.
29. 16а 2 . 30. п(5vГs - 1) /24.31. 8а 2 arcsin(b/a). 32. (5 + зJ21п( J2 + 1))/6. 33. пJ2/4.34.8а 2 . 35.4а 2 . 36.2п. 37. пJ2. 38. па 2 /J2.39. 2п(2J2 - 1) /3. 40. 4а 2 . 41. (20 - 3п) /9.ЗЗ42.2(1Г + 4 - 4J2)a2 •44.~ w(2J2 - 1)аЬ.47. ; (J2 - 1 )а 2 •43.45.~ (2J2 - l)abarctg Л.~~.2а 2 .46.48. 4w 3 J2/3.49.; ln( е+ e- 1 ).50.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
