1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(<Р2 - <Р1) (sin ф2 - sin ф1 )R2. 51. 4п 2 аЬ.56. 1) 2ро; 2) хс == ус == п /4; 3) lхх == lуу == (п 2 /424) (п /4 - 2)ро.32+п -4)ро;657.1) gаЗро; 2) хс == Ба, ус == О;512 51 == 1024 5 . 4) 1376 5525 а Ро, уу175 а Ро,1575 а Ро·58. 1) аЗ /3; 2) ХС == 3а/4, ус == 5а/8; 3) lхх == 3а 5 /20, lуу4) 19а 5 /960.8аа2 sin а60. 1) ХС == 5' ус == -"2; 2) хс == 3а а, ус == О;3) 1хх==81а27а3) хс = 10(6 + ln4) , ус = - 4(6 + ln4); 4) хс = О, ус === а 5 /5;5а""6;5) хс == ус == 4па/9vГз; 6) хс == О; ус == 7а/6; 7) хс == ус == а/5.61. 7п /96.62. 1) ХС == О, ус == 3Ь/7, Zc == 2h/7; 2) ХС == 4/3, ус == Zc == о.Приложения ffpamHblX интегралов§ 9.63.
1) ХС==ус==7) ХС-== 3а/5; 2) хс == 8R/(3n 2 ), ус == Zc == О;== 105R/124; 4) ХС == ус == О, Zc == 5h/6;== 4h/7; 6) ХС == ус == О, Zc == R/3;2_ 4(5а + 3h ) •15(2а 2 + h 2 ) h,Zc3) ХС == Zc == О, ус5) ХС == ус == О, Zc_2_ус - О,Zc64v1248) ХС == 351Г ' ус == О,41Г РО64. aR CX•25365. 47Ге_k== 31Г·22 + 2k + kZckЗаЬсро.== а 4 (2а - sin 2а) /8, lуу == а 4 (2а + sin 2а) /8, 10 == аа 4 /2;442) lхх == lуу == а (1 - 57Г /16), 10 == а (2 - 57Г /8);3) 1 == (а - Ь )с 1 == (аЗ - ЬЗ)с L == (а - Ь )с (с 2 + а 2 + Ь 2 + аЬ).66. 1) lххЗхх4)5)6)7)8)lххlххlхх1 2 ' уу12' о1244lуу == 37Га /128, 10 == 37Га /64;497Га 4 /32, lуу == 217Га 4 /32, 10 == 357Га 4 /16;7ГаЬ 3 /4, lуу == 7Га 3 Ь/4, 10 == 7ГаЬ(а 2 + Ь 2 )/4;'======lхх == lуу == 37Га 4 / (4J2) , 10 == 37Га 4 / (2J2);lхх == lуу == 9а 4 /8, 10 == 9а 4 /4.67. 1) аЬ(а 2 + Ь 2 )/12; 2) 26а 4 /105; 3) 7Га 4 /8.68.
1) vГза 4 /96; 2) vГза 4 /96. 69. 1) 4М R 2 /9; 2) М R 2 /3.70. 1) lхх == аЬс(Ь 2 + с 2 )/3, lуу == аЬс(с 2 + а 2 )/3,lzz==аЬс( а 22) lхх == lуу == nHR (H /3 + R /4), lzz == (n/2)HR ;241г Н R ( 22)1г Н R)3 lхх == lуу == 60 2Н + 3R , lzz == 10 ;4) lхх == lуу == lzz == 47Г R 5 /15.71. 4np oR 7 /7. 72. 597Г R 5 /480.73. 1) lху == аЬс 3 /60, lyz == а 3 Ьс/60, lzx == аЬ 3 с/60;2) lху == 47ГаЬс 3 /15, lyz == 47Га 3 Ьс/15, lzx == 47ГаЬ 3 с/15;3) lху == 7ГаЬс 3 /5, lyz == 7Га 3 Ьс/20, lzx == 7ГаЬ 3 с/20;222З4) 1ху2) /3;4З== 2аЬс (157Г - 16) 1225+Ь,yz== 2а Ьс (1057Г - 92)1575'З1== 2аЬ С(105_272)·157547ГаЬ с/3.zx'5) lху == 77ГаЬс /2, lyz == 47Га Ьс/3, lzx ==5574. 1) 64v12 а 5 . 2) 1Га • 3) 14.
4) 41Г( 4v12 - 5). 5) 91Га •333135'VI2 '45 '15'22226) 47ГаЬс( а + Ь ) /715; 7) 7ГаЬс(Ь + 4а ) /20.75. 1) 7Г 2 Ьа 2 (4Ь 2 + 3а 2 )/2; 2) 7Г 2 Ьа 2 (4Ь 2 + 5а 2 )/4.76. 2HR 2H(R 2 +78.1)r <а;140 '~H2)/3.Р,;21пrприr=vх2+у2>1, ~(а21па+~(r2-а2)) приГл.2542.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыа2) !f(p)pM(r;p)dp, где M(r;p)=max{lnr,lnp}, r=Jx 2 +y2.о(2 )43 179. з1ГроRТо при то ~ R, 21ГРо R 2 - Т;==при То ::::: R, ТоJ Х5 + У5 + Z5 .41Г (321Г РО ( ЗR 2 - То2 - 2 -:;;Rr )80. 3R 2 - R 13) РО ТО1 при То ~ R 2, 3при2R 1 ~ То ~ R 2, 2про(R§ - Ri) при То < R 1 , То ==81.пR 4 ! при т ~ R, 1г (4R 33r-J 5+ У5 + z5·Xт 3 ) при Т ~ R, т == Jx 2 + у2 + Z2.82.1Гpo(R21n Н+J~2+Н2 +H(VR 2+ H 2_ H )).проh(l-83. 1)h);2+ Z(R -2) KpoR h (h 2 1 R([ + R)n h(l- h)[3h))R == .
/Z2 - h 2,у.2;~o ((h 2 + R 2)3/2 - h 3 + R 3 - ~ hR2) при h ~ R,84.2;~o ((h 2 + R 2)3/2 _ 2h3 - R 3 + ~hR2) при h ::::: R.85. 1Гро((Н - h)JЮ-h 2+ R 2 1n Н -h + Jю + (Н - h)2).VR2 + h 2 - h21ГроаЬ lп (~ +2286.Vb - а 2433аm-пR РО 287.+ (Н - h)2 + hVЮ + h2 - (Н - h)IH - hl-тоJь2а2при То ~R,1).43-проmто при То ~R,где То-рас-стояние от Мо до центра шара.88. пр о Rsiп 2 а.
90. 2про(V~R~2-+-Н----=-2 -R+H).VR2 + Н2 - Н . 92. 2пmро VR2 + h 2 - h .91. 2проmНVR2+H2VR2+h 293.21Гтро.94. kM12M 2 .а95.4КР5 r(R - т).396. (РО(Т2 - Tl)(R~ - Ri))/2. 97. 4ah 2/5.100. 3а ось Z следует взять одну из двух главныхосей инерциипластины.101.Пусть начало координат О совпадает с вершиной прямогоугла, ось Ох направлена по катету длины а, тогда массаmи координаты ее точки нахождения определяются из условий у == О,z == Ь/4,тх==-Ма/З.§ 10.§ 10.Криволинейные интегралы255Криволинейные интегралыСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯКриволинейные интегралы первого рода.
Пусть спрям1.ляемая кривая Г задана уравнениемr == Г(В),гдеs -О ~ s ~ В,(1)переменная длина дуги этой кривой. Тогда, если на кривой Гопределена функцияF,то числоsJF(r(s)) dsоназывают Jliриволинейным интегралом первого рода от функциикривой Г и обозначаютJF(x; у; z) dsили, короче,гFпоJF ds.гТаким образом, по определениюsJF(x; у; z) dx JF(x(s); у(в); z(s)) ds.=гИнтегралосуществует, если функция(2)Свойства криволинейного1)(2)Fнепрерывна на кривой Г.интегралапервого рода.Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой.2)...
,r k ,Если кривая Г есть объединение конечного числа кривых Г 1, ...а функцияFнепрерывна на Г, тоJF(x; у; z) dxk=г3)Li=lJF(x; у; z) ds.(3)riЕсли гладкая кривая Г задана уравнениемr == г( t),а функцияа ~t~ {З,(4)непрерывна на кривой Г, тоF(3JF(x; у; z) ds JF(x(t); y(t); z(t)) J (х' (t))2 + (у' (t))2 + (z' (t))2 dt.=Га(5)Если Ггладкая плоская кривая, заданная уравнением-y==f(x),тоa~x~Ь,(6)ьJF(x; у) dx JF(x; f(x))Jl + (f'(х))2 dx.=Га(7)Гл.256Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.Аналогично,еслигладкаяплоскаякриваяГзаданауравне-ниемх==ср(у),тос ~ у ~ d,dJF(x; у) dx JF(cp(y); y)J1 + (ср'(у))2 dy.(8)=г2.сКриволинейные интегралы второго рода.
Пусть гладкаякривая Г задана уравнениемdrds-т==(1).Тогда== (cos а; cos jJ; cos ()(9)единичный вектор касательной к этой кривой. Здесь а,jJ,углы, образованные касательной с координатными осямиr-Ох,ОуQ; R)таи О z соответственно.Пусть на кривой Г определена вектор-функцияF==(Р;кая, что для скалярной функцииFT == (F, т) == Р cos а+ Q cos jJ + Р cos rJF ds. Тогда числогJF ds J(F, Т) dsсуществуетT(10)=Tггназывают Jliриволинейным интегралом второго рода от функциикривой Г и обозначаютFпоJPdx + Qdy + Rdz.гТаким образом, по определениюsJР dx + Q dy + R dz J(Р=ггдеcos а+ Q cos f3 + R cos "() ds,(11 )о(cos а; cos jJ; cos () Формулу (11) можноединичный вектор касательной к кривой Г.записать в векторной форме:sJ(F, dr) J(F (r (s )) , т (s )) ds,=ггде== (dx; dy; dz).Если Q == R == О,(12)оdrто формулу(11)sзаписывают в видеJР dx JР(х(в); У(В); z(s))=гcos оо(в) ds.(13)оАналогично,sJQ dy JQ=гоscos f3 ds,JRdz JRcos"(ds.=го(14)Криволинейные интегралы§ 10.257Свойства криволинейного интеграла1)второго рода.При изменении ориентации кривой на противоположную криволинейный интеграл второго рода меняет знак.2) Если гладкая кривая Г задана уравнением (4),ция F == (Р; Q; R) непрерывна на Г, тоа вектор-функ(3J(F, dr) J(F, r'(t)) dt,(15)=ГилиСУ(3JР dx + Q dy + R dz J[P(x(t); y(t); z(t) )х' (t) +=ГСУ+ Q(x( t); у( t); z( t) )у' (t) + R(x( t); у( t); z( t) )z' (t)] dt.в случае, когда Гем(6),плоская гладкая кривая, заданная уравнени(16)из формулы(16)следует, чтоьJР(х; у) dx JР(х; f(x)) dx,(17)=ГаьJQ(x;y)dy JQ(x;f(x))f'(x)dx.(18)=Г3.ластиаФормула Грина.
Пусть граница Г плоской ограниченной обGсостоит из конечного набора кусочно гладких кривых. Тогда,дРaQ-если функции Р,.мула ГринаQ,ду'дх непрерывны наG, то справедлива фор-JJ(~~ - ~:) dx dy JР dx + Q dy,(19)=ГGгде контурГ ориентирован так, что при его обходе областьGоста-ется слева.Из формулы(19)приQS ===х, Р~==-у получаемJх dy - у dx,(20)Ггде S=JJdx dy -площадь области G, ограниченной контуром ГG(при обходе контура Г область4.Gостается слева).Условия независимости криволинейного интеграла отпути интегрирования. Если функции Р(х; у) ины в плоской областиG,непрерывто криволинейный интегралJ Pdx+QdyГАВ17Q(x; у)Под ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.3(21)Гл.2582.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыне зависит от пути интегрирования Г АВ (кривая Г АВ лежит в области G, А ее начало, В конец) тогда и только тогда, когдавыражение Рфункцииu ==dx+ Q dyявляется полным дифференциалом некоторойи(х;у), т.
е. в областиduG== Р dx + Q dy иливыполняется условиедu == Рдхдu == Q.(22)'дуJ Р dx + Q dy u(В) - u(А).u(х;у)= J Pdx+Qdy,При этом(23)=ГАВЗдесь(24)Г МОМГ МоМгде-некотораякривая с началом в фиксированнойке Мо(Хо;Уо) и концом в точке М(х;у), лежащая в областиточG.Пусть функции Р, Q, ~: и ~~ непрерывны в плоской областиG.Тогда для того чтобы криволинейный интеграл(21)от пути интегрирования, необходимо, а в случае, когдасвязная область, то и достаточно, чтобы в областине зависелG -одновыполнялосьGусловиедРaQ(25)ду5.НекоторыеприложеНИRкриволинейныхинтегралов.Пусть на кусочно гладкой кривой Г распределена масса с линейнойплоскостьюp(x;y;z) (или р(х;у) для плоской кривой).Массу Jliривой вычисляют по формулеJР(Х; у; z) ds,m =(26)ГJliоординаты центра масс -хс=~Jxpds,по формуламус=~ГJypds,Г=J(у2 + z2)pds,lу=ГJ(Z2 + x 2)pds,Jzpds,(27)Гмоменты инерции относительно осей Ох, Оу иlх~Zc =Oz -J(хlz =Гпо формулам2+ y2)pds.Г(28)Пусть на области [2 задана вектор-функцияF(r),гдеr -радиусвектор точки из [2, тогда говорят, что на [2 задано BeJlimOpHOe (силовое) поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
