1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пусть f+(x)< о,G k , k == 1,2, ... ,f-(x) == f(x),Доказать, что интеграл! f(x) dx абсолютно сходится тогда и толькопустьGтогда,когда сходятсяинтегралы! f-(x) dx.иG198.(а; Ь)иПусть функции(с;иабсолютно интегрируемы наg(y)соответственно. Доказать, что интеграл отd)на (а; Ь) х (с;f(x)d)сходится иЬ!!(а;Ь) Хf(x)g(y)df(x)g(y) dx dy = ! f(x) dx .
! g(y) dy.а(c;d)с(х)(х)199. 1) Исследовать на сходимость интеграл ! ! е- ХУ sin х dx dy;о2)одоказать, что сходятся повторные интегралы(х)(х)!dy!e-ХУsiпхdхо! dx! e-хУsiпхdу(х)иоо(х)ои имеют одинаковое значение; найти это значение;а3) доказать, что существует пределlimа-++(Х)! ! е-Ь-++(Х) Онайтиэтоттегралов изпредел2).исравнитьегосоЬХУ sin хdx dy,Означениемповторныхин-§ 8.Кратный интеграл Ри.мана и его свойства221Исследовать на сходимость интеграл200. 1)11sin(x00 00о2)+ у2) dx dy;2одоказать, что сходятся повторные интегралы1dx 1sin(x001dy 1sin(x00о002+ у2) dy ио00О+ у2) dx2ои имеют одинаковое значение; найти это значение;а3) доказать, что существует пределlimа---++ооЬ11Ь---++оо Оsin(x 2+ у2) dx dy,Онайти этот предел и сравнить его со значением интегралов из224) найти предел limn---+оо< 21Гn,х> О,+y2)dxdy, где G n == {х +у2<Gn> О},УJ] sin(x2);и сравнить его с пределом из201.
Пусть f(x; у)==(х 23).- y2)j(x 2 + у2)2, Х ~ 1, у ~ 1. Доказать,что:1)сходятся повторные интегралы1dx 1f(x;y)dy+00+001и11dy 1f(x; у) dx;1 1f(x; у) dx dy.+00+0011+00 +002) расходится двойной интеграл1202.1Указать такую неотрицательную функциюf(x;у), определенную на (а; Ь) х (а; Ь), что двойной интеграл11f(x;y)dxdy(а;Ь)х(а;Ь)сходится, а один или оба из повторных интегралов не существуют.Исследовать на сходимость интегралы203.
1)2)J]J] CVG(1dxdy,GX2 + у2)аdxdy+ х + ху + у2)а2.'R2(203, 204).== {х 2 + у2 > 1};3)J](1dxdy+ х + у4)а4.R2)204. 1 J]2 ) J]dxdy(1+ Ixl"')(l + Iуl,в) ;R2dx dyха +уG(3'G == { х>О, У>О, ха+ у (3 > 1} ,а>О,j3>О;Гл.2222.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыdxdy(Ixl + lуl,в)Р ,3) JjG{Ixl + lyl >G ==ax2dxdy4) Jj (1 + х 2 + у2)Р' G =а1},>f3 >О,О;{Iyl < 1};Gdxdy- {2}.5 ) Jj (х + у)р' G - У > 1 + х ,G6)11 (::d~p, G = {у > О, ху > 1}.-G205. Исследовать на сходимость интегралы, считая,ция j непрерывна и О < m ~ Ij(x; y)1 ~ м < +00:1) JjG == {1f(x;y)dxdy .
2) Jj f(x;y)dxdy(х 2 + у2 + 1) а(х 4 + у4) а'R2'что функ2}·<У<,G3) Jjf(x;y)dXd Y , G=={1+x 2 <y<2+x 2 }.(Ixl + у)аGИсследовать на сходимость интегралыSln х COS у206.()x-уРJj(206-210):d dх у.х-у>l207.11 sin(x + у4)11 sin(x + у2)а4dx dy.R2208.2dx dy.x2+y2~1Jjх 2 +у2<13)2)dxdy.209. 1)Jj(1 -(J х 2 + у2)а 'dxdy.х 2 - у2)а '210.1) Jj(х 2Ixl+lyl<l4)х 2 +у2<1JjJj(а-dxdy.- ху + у2)а 'dxdyх)а(х-у)(3.О<у<х<аydxd (3, G=={x>O,ха +уу>О, х а +у(3<l}, а>О, fЗ>О;Gdxdy{2 ) Jj (ха + у,в)р' G = х > О, У > О, х+ у < 1} , а > О,(3 > О, Р > О;Gdx dy (3)' G -- { х3 ) Jj (1 - ха- Х Рf3 > О,GР>О, У>О, ха+ У (3 <1} , а>О,> о.211. Исследовать на сходимость интегралы,ция j непрерывна и О < m ~ Ij(x; y)1 ~ М:считая, что функКратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.11 Ix - у)Jj11)1f(x;О3)ОJjdx dy; 2)YIP223f(x;y)dxdy.(1 - х - у)Р,Ixl+lyl<l(1 -f(x;х2у)-у2)Рdx dy.х 2 +у2<1Пусть212.[а; Ь] х [с;d],функцияа функцияf(x;g(x)у)непрерывнаДокаdсИсследовать на сходимость интегралыdxdyG(х 2 + у2)а '[а; Ь].11~~X~Y;~~Y .ьаJjJjпрямоугольникенепрерывна на отрезкезать, что для р < 1 сходится интеграл213.на2== {2Х + у < 1,(213-217).О< х,О< У < х 2} .G214.dxdy,G=={x>O,х 2 - у2)а(1 -у>О, х+у<l}.G215·11 (1-~~~y2)'"С={yIX+уГу<l}.GJj216.у2(х 2-х2+ у2)2dx dy, если:G1) G =={О3) G == {О< х < у < 1}; 2) G == {1 < х < у < +оо};< х < 1, 1 < у < +оо}.sin(x 2 + у2)" dx dy.11217.218.
Пусть функция JL непрерывна в замыкании G ограниченнойизмеримой области G, N(~; 1]; () Е G, М(х; у; z) Е R3 ,IMNI == V(x - ~)2 + (у - 1])2 + (z - ()2, r == V"--x2-+-y-2-+-Z-2.Доказать, что111 JL(~;1]lfl~1d1]d(=~111 JL(~;ТJ;()d~dТJd(+o(l/r).GGВычислить интегралы219.JjIxldxdy(1R2221.JjJj+ х + у2)22dxdyxPyq(219-228)..220.х2222.ху>l,х>О223.JjJjdxdy(х2+ у2)Р.+у2>1dx dy(х+у)РО<у-х<l,х>ldxdyх4+ у2.224.11О<х<уе-(Х+У) dx dy..Гл.2242.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы11 е-(х +у )11 е-(х +у )1111225.2222cos(x 2 + у2) dx dy.R2226.+ у2) dx dy.sin(x 2R2227.х 2 / а 2 +у2 /Ь 2 >122е-(х +ху+у ) dx dy.228.R2Пусть Е Е229.Вычислить интеграл(-1; 1).22211 хуе-(х /а +2Е:ху/(аЬ)+у /b )dx dy.2R2а(х; у) == Ах 2 + 2Вху + С у 2 + 2DxАС - В 2 > о. Вычислить интеграл230.
ПустьА> о,~==+ 2Еу + F,где11 e-а(Х;У)dх dy.R2Вычислить интегралы(231-239).231.dxdy( х2 + у2 )Р ' р232.ln1Jx2(1 -234. 11х 2 +у2<2у237.dxdy) , ах 2 - у2 аJl - х 2 /а 2 - у2/Ь 2 '11аdx dy.+ у2dxdyG235.< 1.х1о 1оdxdyJx2G={х > О,11236.+ у2dxdy< 1.Ух2у2> о, а 2 + Ь 2 < 1}.у2(2х_х2+у2)2 dx dy.v1XТ<y<l,а> о.J(a-x)(x-y)238. 111nsin(x+y)dxdy, G={x>O,Gо<а<1.у>О, Х+У<1Г}.§ 8.Кратный интеграл Ри.мана и его свойства240. Множество G ограничено отрезкомосиОх[(а 2225+ l)а; (Ь + l)а]2и двумя спиралями, заданными в полярных координатахr == (е'Р + а 2 )а и r == (е'Р + Ь 2 )а, ер ~ О, где О < а 2 << Ь 2 < а 2 + е 2п - 1, а > О:1) найти все а и jЗ, при которых сходится интегралуравнениями/ / (х 2 +y2) f3 dxdy;G2)вычислить интеграл из241.1)при а== 1/6, j3 == 1/2.Вычислить интегралI(~;ТJ)= //e-аJхЧу2 cosx~cosYТJdxdy.R2Указание.Перейти от координат(х;у)и (~;1])к соответствующим полярным координатам (т; ер) и (р; ф).242.Пусть сходится интегралФ(~; ТJ)ср( J х 2 + у2) COS x~ cos yТJ dx dy.= //R2Доказать, что Ф(~; 1])243.fПусть функцияах+ 1]2).Ф( J~2непрерывна на [О; а].
Доказать, чтоа!су) dx dy/ /о о J(a-x)(x-y)=1г / ЛУ) dy,оиспользуя сведение несобственного двойного интеграла к повторному.244.Проверить, что функция ер(у) ==.!..1г/У ~dt удовлетворяy-tоет уравнению А белях/Огдеf 245.cp(y)dyJx-y== f(x),заданная непрерывно дифференцируемая функция.Для Г - ФУНJliЦИИ И В - ФУНJliЦИИ:~Г(а)= /1xe- xa-1dx,В(а; Ь)о= / x a - 1 (1 - x)b- 1 dx,одоказать заJliОН умножения (ЯJliоби)Г(а)Г(Ь)==Г(аиспользуя утверждение из задачиных.15Под ред.
Л.Д.Кудрявцева, Т.3+ Ь)В(а; Ь),198и подходящую замену переменГл.226246.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.Доказать, что интеграл1 1:'<>'где х = (хl; ... ;х n ) ЕRnIxl,+ ... + х;',=Jxi=Jx;' + ... + х;',Ixl>lсходится при а247.>nи расходится при а ~n.Доказать, что интеграл1 1:'<>' где х(хl; ... ; х n ) Е=RnIxl,Ixl<lсходится при а<nи расходится при а ~n.Исследовать на сходимость интегралы, считая, что функция<mпрерывна и ОIfl~~ мfне< +00 (248, 249).248.1) jjj!(x;y;Z)dXdYdZ, G=={x 2 +y2+ z 2>1};(х 2 + у2 + Z2)PG2)111 IxlP~XI~fqd: IzIT'G = {Ixl + lyl + Izl > 1}.G249.1) jjj!(x;y;Z)dXdYdZ, G=={x 2 +y2+ z 2<1};(х 2 + у2 + Z2)PG2) jjj !(x;y;z)dxdydzG ==22-z 2)Р ,(1-х-у{2Х+ у 2 + z 2 < 1}.,G3) jjjG1dXdYdzx-у-zРl'G={Ixl < 1, lyl < 1, Izl < 1, х -1- У + z};4) jjj 1 2 dt 2dx dy2dz 21' G -- {.v / х 2 + у 2 + z 2 < t < Т < +00 } .t-х-у-zРGПусть функция f(x; у; z) непрерывна на кубе Q == [О; а] хх [О; а] х [О; а], функции ср(х) и ф(х) непрерывны на отрезке [О; а].250.Доказать, что при р<1сходится интеграл!(x;y;z)dxdydzjjj (Iy - cp(X)12 + Iz - Ф(х)12)Р .QВычислить интегралы111251.111О252.Оjjj(251-255).dxdydz.xpyqzrО== {х 2 + у2 + Z2 > 1}.(х 2dxdydzG+ у2 + Z2)P ,(хdxdydz,G=={x 2 +y2+ z 2<1}.+ у2 + Z2)pG253.
jjjG2Кратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.111254.222272e-(x +y +z )dx dy dz.R3С={х>О, у>l, z>l, xyz<l}.255. 111x2yeXYZdxdydz,Gn2== (Хl; ... ;Х n )' А(х) ==" X~. Вычислить интеграл256. Пусть Х~ а·i=l1,1 e-А(Х)dх.Rnn257. Пусть ХL== (Хl; ... ; Х n ), А(х) ==aijXiXj -положительноi,j=lопределенная квадратичная форма. Вычислить интеграл1 e-А(Х)dх.Rn258.Выразить через значения Г-функции и В-функции интег-ралы:11(x+ y )P e -Х- dхdу, р>О;11(х + у2)р е -х _ур>00 001)Уоо00 002)2о22dx dy,-1;о111e-(х +у +z )Р00 00 003)2оо22dx dy dz, р> О;о4) 11(x2+y2)P(1-Х2-у2)QdхdУ, р>-l, Q>-l, С={х>G>0, у>О, х 2 +у2<1};5)111(t 2 _:~~Yy~Z_ Z2)P , Р < 1,G={х 2 + у2 + Z2 < t 2 }.GОТВЕТЫ1.
1) аЬ(ра+ qb)/2;4) аЬ(ра 2+ qb 2 ) /3.2. 1) ВТп== -20/n,2)ВТп-~2) а 2 Ь 2 /4; 3) (1 - е ра )(l - eQb)/pq;ВТ п ==sh 2 sh120/n, 1 ==n 2 sh (1/n) sh (1/2n) еВТ == ~п3) ВТп == -8/n, ВТп ==-З/(2n)О;,sh 2 sh 1n 2 sh (1/n) sh (1/2n)8/n, 1 == О;е З /(2n),1 == 4 sh 2 sh 1;4) ВТп == 20(n - 1)(2n - 1)/(зn 2 ), ВТп == 20(n + 1)(2n + 1)/(зn 2 ),1 == 40/3.15*Гл.2283.2)3)4)4.2)3)Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.== 2,168; б) S == 2,270, ~ == 1,084;а) а == -0,217, ~ == 0,5; б) S == -0,125, ~ == 0,25;а) а == 0,251, ~ == 0,158; б) S == О, 231, ~ == 0,079;а) а == 0,402, ~ == 0,198; б) S == 0,364, ~ == 0,099.1) а) а == 0,515, ~ == 0,197; б) S == 0,515, ~ == 0,099;а) а == 0,549, ~ == 0,111; б) S == 0,548, ~ == 0,056;а) а == 0,502, ~ == 0,147; б) S == 0,501, ~ == 0,074.1)== 2,164,а) а~с; 2)1ln (1 + ~ e-VР2+q2);+ q2Vp2 + q21г3) 2 - Vp 2 + q2 (1 _ е-с/1Г); 4) _С_; 5) 8сVр2 + q221Ге91Г5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
