1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 38
Текст из файла (страница 38)
1)JrVp221. 1) О; 2) 0,3; 3) 10п /21; 4) О; 5) о.f(~o)68. 4)J f(x) dx.Х(l)71·1(0;0).75.1) О; 2) -(е - 5е- 1 )/2; 3) 1/9; 4) I sinxl 3 /3; 5) 8п.85.1) 8/15; 2) 2; 3) а 2 (а+l) /2(а + 1); 4) l/(а + l)(а + 2); 5) 2/15;6) п /28 - 16/2205.90. 1) п 2 /4; 2) 1/15; 3) 4/27; 4) 2а 5 /15; 5) 4R 5 /15; 6) 76/3;7) 14а 4 ; 8) 31/30; 9) -(45п - 10)/(6п 2 ).91. 1) 2 ch 1 - 2; 2) О; 3) 135/4; 4) 1/ V2; 5) 255/4; 6) О;7) (ln 2) /6.92.1) п 2 /32; 2) (е - 1)/2; 3) (cos 1 - 1)/3; 4) lncos(1/4);5) (е-1)/2; 6) п/6.93.
1) 8(ь 4 - а 4 ) /3; 2) 20; 3) 7п; 4) (ь 4 - а 4 ) /2; 5) (10 + 3п) /6.94. 1) а 3 /3; 2) 8; 3) а 2 /2; 4) 4п /3 + 41n(2 + vГз).96. 1) паЬ/8; 2) О; 3) 5па 3 /2; 4) па 2 Ь/4; 5) -243/70; 6) О;7) 16/45.1/V2103.1)(arccosr - arcsinr)rf(r) dr;J371"/42) -! J C~S ер 1 (о23)~71"/42/v'ЗJ71"/2Jf (trf(r 2)dr+о94) -82sln 4 ерОsin 2ер )2dcp;2J (; -arccos~)rf(r2)dr;2/v'З2sin 2epg <р) (cos 3 ер +.3Slnер)2d<p;Кратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.5)~-п/6229п/6J f( tg ер) cos 2ер dep + 3 J f ( tg ер) cos ер dep ++ ~ Jf ( tg ер) cos 2ер dep.2-п/4-п/6п/4п/6а7r104.
1) KJr f(r) dr; 2)/2J f(.ct~ ер) dep; 3) 2-21SlnОерJ f ( tg ер) dep;-п7r /4Jп/6/6а4) 2r f(r ) arccos C~) dr;a/V2aV2aV25) ;rf(r) dr - 2rf(r) arccos ~ dr;2J!JJо16)2аcos ;ер f( cos ер) dep.cos еро106. 1) -4/7Г; 2) 7г ln 3; 3) 15а 4 /2; 4) 2а 5 /15; 5) 7г /8; 6) 7г ln 2 а;v'2(b-а)R 3 . 8)2(1-k) R 3 . 9) arcctglkl.3' 3 v 1 + k2'2107. 1) 7Га /16; 2) -1/6; 3) (8 - зvГз)/3; 4) (27Г - зvГз)/2;5) 77Га 3 /16; 6) 2а 3 /9; 7) (457Г + 20) /3.108. 1) Jr(ln 4 - 1) /2; 2) 7г /3; 3) 37Г /8; 4) 16v12/15.109.1) (3vГз - 7Г)/108; 2) 1/24; 3) 7Г/32; 4) 1/5; 5) (2vГз - 9)а 2 /6;7)6) (157Г - 4)а 3 /9.211 о. 1) 7г (1 - е - R ) /4; 3) vГп /2.111.
(7Г ln 2) /4.2пJf(r cos ер, r sin ер) dep.115. 1) ~ J(а -Iul)f(u) du;2) 2: JVcuЧ(u + с) du, с113. 2) fоа-аЕ2-=RVa2+ Ь2 ;-Еь23) Ь-а J f(v) dv· 4) Jf(U)ln25) ~аv'О41 + v1+ 4udu·'2J(1 - 11 - vl)3 f(v) dv.о116. 1) kx - у3) х == и, у == vx;4) x==u(l-v), y==uv; 5) и==ху, v==y-x; 6) у==их 2 , y==vx.==и, у==v;2)у==их, у==v;Гл.230Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.123. 1) 4; 2) 8/45; 3) (4 + ln 3)/2; 4) (е а - 1)/2а; 5) 1/(4п).124. 1) с(Ь - а); 2) 4; 3) 7(е - 1)/6; 4) 135/8; 5) 3/4.125. 1) 2паЬ/3; 2) 2а 5 / 2 /15; 3) 7/60; 4) 8а 2 Ь/105.128.1) ~F(t); 2) 2ttJj(x+y)dxdy.Jx2 + у2Q(t)t129. 1) J f(t;у) dy + J J(x; t) dx; 2) ~оJ f(t; v) dv.-tо132.
1) 20; 2) 2/9; 3) о.130. 8( J2 - 1) /3.х1J(х - ()2 J(() d(; 2) ~ J(1 - w2)J(w) dw;~ J(2 - Z2)J(Z) dz + ~ J(2 - Z)2 J(z) dz;135. 1)~Оо13)t2о114) ~J(1-z2)3/2f(z)dz3.о136. 1) аЬс(а 2+ ь + с )/3;- (а + Ь)е 222) с 2 (е а1)(1 - cos Ь)/2;-3) с(ае + Ье).137. 1) о; 2) 3/4; 3) -8. 138. 1) п /2; 2) 28; 3) 1/126.139. 1) 16/3; 2) (81n 2 - 5) /16; 3) 5/12; 4) -4/15; 5) 1/8; 6) 1/48;7) п/6; 8) 1/364; 9) 1/96.144.1) 63п; 2) (пlп2)/4; 3) 31п/15; 4) R 5 /15;5) па 2 R 3/ (3( а 2 + h 2)); 6) П /10.аЬаЬv2145.1) Jr(2-J2)Jr J(r)dr;22) 21Г RзоЗJ f(tg'lj;)соs'lj;&ф.71"/4-71" /4146. 1) п R 2Н (3R 2 + 2Н 2 ) /12; 2) 7п / 4; 3) 16п /3; 4) па 4 /12.148.
1) 4паЬс/5; 2) 4паЬс(а 2 + Ь 2 )/15; 3) п 2 аЬс/4.1г ( 2RoR - R o - R 1n RoR).'149. 1) RoRo +_ R(22)2) 2п (ln R o + R _ 2R). 3) ~ ( 2RRo _ ln R o + R) .Ro - R21Г( (Ro4) (2-0:)RoRo'Ro R6 - R2+ R)4-a - (Ro - R)4-a4-0:(Ro-RoRo - R+ R)з-а -'(Ro - R)з-а)3-а.150.1) (4пlп3)/3; 2) пR 2 h 2 /4; 3) о; 4) 4пR 4 /З; 5) -пR 4 /8;6) (1п 3 - 1)/16; 7) а 4 /10; 8) 59пR 5 /480; 9) (ЗJ2 - 4)/3.151. 1) п /40; 2) 128/525; 3) 8п /5; 4) 7п /96.152. 1) (1п 3) ln 5; 2) 55/72; 3) 27/32;4) ~_~) (~~)h9/2.27(_1vavьаЗ_j3З'Кратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.2315) ~(~ - ~)(Ь8-a8)(~- ~ +j32- a 2+ 21 n (3).232153. 1) 6/5; 2)154.0:2nт23(е41Г- 2).- 1)!!(n -(тт+n+р+3ные числа; О(32l)!!(ро:- 1)!!(т+n+р+1)!!,если т, пир-чет-в остальных случаях.-155.
Г(р + l)r(q + 1)Г(т + l)r(s + 1) .Г(р + q + r + s + 4)157. f (а2; Ь 2 ; С2) - f (al ; Ь 2 ; С2) - f (а2; b1; С2) -+ f (al; b1; С2)159. 4пt 2 f (t).160.f (а2; Ь 2 ; Cl) ++ f (al; Ь 2 ; Cl) + f (а2; b1; Cl) - f (al; b1; Cl).!!1(х; у; t) dx dy.X2+y2~t2161. !!f(x;y;t-x-y)dxdy, гдеЩt)={х;?:О, у;?:О, x+y:::;t}.Q(t)162. f(x;y;z). 164.1) а 4 /4!; 2) аа+4/6(а+4).165. 2) а 4 /24. 166. 2) а 4 /24. 167. 1) а 8 /384; 2) а 6 /40.168.1) 4пНR З /3; 2) 4пНR З (9R 2 +5Н 2 )/45.169. 1) паЗ Н 4 /3; 2) 2па 5 Н 6 /15.170. 1) п 2 а 2 Ь 2 ; 2) п 2 а 2 Ь 2 (а 2 + Ь 2 )/2.175.
1) а n + Р / (р + 1); 2) na n+1/2; 3) nа n + Р / (р + 1);n-lр+nn асk4) '"""(-l)kС (n - k)p+nа. 5) П е k - 1 .~n(р+1)(р+2) ... (р+n) ,Ck'k=Ok=l6)а n /2.176. 1) аnn!; 2) а 2n /(2n)!!; 3) an+1/(2 . (n - 1)!).177. 1) а n /n!; 2) na n+1/(n + 1)!; 3) 2nа n + 2 /(n + 2)!;2а n+l/2а n+р4) (n _ 1)!(2n + 1); 5) (n - 1)!(n + р) .178. 2n h 1h 2... h n det(aij)I- 1 . 179. ala2 ... an/n!.l181.
V2m (R) =182. HVn - 1 (R),1Г т R 2m"т.гдеVn -2 т + 1 1Г т R 2m +1V2m +1 (R) =(2 т+ 1)'"..1 (R) из задачи 181.1183. -НVn-1(аН), где Vn-1(R) из задачи 181.n184.~ H 3 Vn _ 1 (R), где Vn - 1 (R) из задачи 181.185. ala2 ... an Vn (l),гдеVn(R)из задачи181.1186. "2 Vn +1 (R), где Vn + 1 (R) из задачи 181.R187.
nVn (1)! r n- 1(1) dr, где Vn(R) из задачи1О188. f(x).199. 1) Не189.(т/n)а n .сходится;2) п /2; 3) п /2.181.Гл.232Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.200.1) Не сходится; 2) к/4; 3) к/4; 4) о.203. 1) Сходится при а > 2, расходится при а ~ 2;2) сходится при а > 1, расходится при а ~ 1;3) сходится при а > 1/2, расходится при а ~ 1/2.204. 1) Сходится, если только а > 1 и j3 > 1; расходитсяв остальных случаях;2) сходится, если 1/ а + 1/ j3 < 1; расходится, если 1/ а + 1/ j3 ~ 1;3) сходится, если р > о, 1/ а + 1/ j3 < р; расходится, если р ~ О илир>о, 1/а+1/fЗ~р;4) сходится при р > 3/2, расходится при р ~ 3/2;5) сходится при р > 3/2, расходится при р ~ 3/2;6) сходится при р > 2, расходится при р ~ 2.205.
1) Сходится при а > 1, расходится при а ~ 1;2) сходится при а > 1/4, расходится при а ~ 1/4;3) сходится при а > 1/2, расходится при а ~ 1/2.206. Расходится при любом р. 207. Расходится.208. Сходится при а < -1, расходится при а ~ -1.209. 1) Сходится при а < 2, расходится при а ~ 2;2) сходится при а < 1, расходится при а ~ 1;3) сходится при а < 1, расходится при а ~ 1;4) сходится, если а < 1 и j3 < 1; расходится при остальныхаи jЗ.210. 1) Сходится при 1/ а + 1/ j3 > 1, расходится при 1/ а + 1/ j3 ~ 1;2) сходится при 1/ а + 1/ j3 > р, расходится при 1/ а + 1/ j3 ~ р;3) сходится при р < 1, расходится при р ~ 1.211. 1) Сходится при р < 1, расходится при р ~ 1;2) сходится при р < 1, расходится при р ~ 1;3) сходится при р < 1, расходится при р ~ 1.213.
Сходится при а < 3/2, расходится при а ~ 3/2.214. Сходится при а < 2, расходится, при а ~ 2.215. Сходится при а < 3, расходится при а ~ 3.216. 1) Не сходится; 2) не сходится; 3) сходится.217. Сходится при любых а. 219. К. 220. к/(р-1), р > 1.l)(р - q), р(З/2)2- Р - 1221. l/(q 222.(р -1)(2 _p)2 P -1 '> q > 1.Р > 1, р #- 2; ln vГз72, р = 2.223.
KV2V2 - 2. 224. 1/2. 225. К /2. 226. К /2.227. каЬ/е. 228.2к/vГз. 229. -ка 2 Ь 2 с/(2(1- с 2 )3/2).221г(AE -2BDE+CD)р230. дехд.- F . 231.1Г/(I-р).232. К /2.233. К /(1 - а).234. каЬ/2.2235. 4.236.240. 1) 2а(jЗК /2.237.+ 1) < 1;ка.1Г238. - 2ln 2.239.ка/ (1-а).Приложения ffpamHblX интегралов§ 9.233~(ln (b+Jb +1)b +Va2+1-Vb2+1).22)(a+v a2 + 1 )a21Га.3241.(а 2 + ~2 + 1]2)3/2248. 1) Сходится при р2) сходится, если l/р+ l/q + 1/т> 3/2,+ l/q +расходится при р ~ 3/2;1/т < 1, расходится, еслиl/р+~ 1.249.
1) Сходится при р < 3/2, расходится при р ~ 3/2;2) сходится при р < 1, расходится при р ~ 1;3) сходится при р < 1, расходится при р ~ 1;4) сходится при р < 1, расходится при р ~ 1.251. 1/(1 - р)(l - q)(l - Т), Р < 1, q < 1, r < 1.252. 47Г /(2р - 3), р> 3/2. 253.
47Г /(3 - 2р), р < 3/2. 254. 7Г З / 2 .255. (е - 2)/2. 256. аlа2 ... аn7Гn/2. 257. (7Г n det(aij))1/2.258.1)Г(р+2);:Г(р+1);2)~гC~);3)4) :B(p+1;Q+1); 5) 2Jrt3-2PB(~;1-p).Геометрические и физические приложеНИR кратных§ 9.интеграловСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯГеометрическиеJ1G(х ЕприложеНИRкратныхизмеримого по Жордану множестваnR )=dx.1р,СGинтегралов. Меравычисляется по формуле(1)Gв R2-это площадь, а в RЗ-объем:11111S =dxdy,(2)dxdydz.(3)GV =GПусть в R задана поверхность S как график непрерывно дифференцируемой на замкнутом измеримом множестве G Е R 2 функцииЗZ== f(x; у),(х; у) Еформуле(J=G.Площадь а такой поверхности вычисляют по111+(aдхl )2 + (al)2дуdx dy.(4)GЕсли поверхностьгдеF -Sзадана неявно уравнениемнепрерывно дифференцируемая функция, иF(x; у; z) ==дРaz(х; у;z)О,1: оГл.2342.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыдля любой точки поверхности, и еслиSвзаимно однозначно проектируется на плоскость Оху в измеримую областьа=//GI~~ ГG,то(дР)2(дР)2( дР)2дх+ ду + az dxdy.1(5)Если поверхность задана параметрически уравнениямих ~у ~x(u;v),z ~ z(u;v)y(u;v),с непрерывно дифференцируемыми функциями на замкнутой измеримой области D С R 2 , то площадь поверхности вычисляют по формулеа= / / VEG- F 2 dudv,(6)Dгде(7)(см.§ 11, (2)).2.
ПриложеНИR кратных интегралов к геометрии масс *).Однойластиизnфизическиххарактеристикплоской(пространственного, материального теламатериальнойG)обявляется плотность - неотрицательная функция р(х; у) (соответственно р(х; у;заданная на Q (на G) и интегрируемая на(на G).nИногда говорят также о массах, распределенных наплотностью р(х; у) (р(х; у; z)).Массой плоской материальной фигурызывают величинуM~njJ p(x;y)dxdy,n(наz)),G)сс плотностью р(х; у) на-(8)Qмассой материального телаМGс плотностью р(х; у;z)величину= / / / p(x;y;z)dxdydz.(9)GЦентром масс теладеленных наG)G(иногда говорятс плотностью р(х; у;-центром масс, распреz) называют точку С с координатамих с = ~///xp(x;y;z)dxdYdZ, Ус= ~///yp(x;y;z)dxdYdz,GGZc =~///zp(x;y;z)dxdYdz.GАналогично определяют центр масс плоской области.*)Большое число задач по этой теме приведено в [2, § 9].(10)Приложения ffpamHblX интегралов§ 9.235Величины== M xG ,M yzM zxМХУ== M yG ,называют статичесlf,ИМИ моментами теланатных плоскостейG== M ZG(11)относительно коордии Оху.Oyz, OzxДля плоской фигуры аналогично определяют статические моменты относительно осей координат.Моментом инерции телаGотносительно осиlназывают вели111 d; р dx dy dz,чинуl! =(12)Gгде dz == dz(x; у; z) - расстояние от точки (х; у; z) тела до оси l, р ==== р(х; у; z) - плотность тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
