1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В частности, момент инерции относительно координатной оси ОХ вычисляют по формулеlхх= 111(y2+ Z2)p(X;y;z)dxdYdz.(13)GФормулы для Iуу иI zz аналогичны (13).По формуле, аналогичной (12), определяют и моменты инерцииплоской фигуры, например,lх11 y2 p(x;y)dxdy.=(14)QМоменты инерции I~y, I~z' I~x относительно координатных плоскостей Оху,Oyz, Ozxцуопределяют по формулам= 111Z2pdxdydz,Gl~z= 111X2pdxdydz,Gl~x=111у2 р dx dy dz.(15)GМомент инерции тела относительно точки Ма(Ха; Уа; za) (полярный момент инерции) определяют по формулеlмо=111 d}.доРdхdуdz,(16)Gгдеd Mo-расстояние от точки (х; у;z)тела до точки Ма .
В частности, если Ма совпадает с началом координат О, то10 =111 (х2+ у2 + Z2)p(X; У; z) dx dy dz.(17)G3.ластиНекоторые приложеНИR к физике. Пусть на плоской обnзадана функцияJ1 (~; 1]) .логарифми чесlf,ИМ потенциалом вточке М(х; у) называют интегралu(х;у)=2~11 J1Ц;ТJ)lпrd~dТJ,Q(18)Гл.236где r==Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.J(~- х)2 + (1] -у)2. Функцию J1 называют плотностью (например, плотность масс, электрического заряда).Пусть на пространственной области G задана функция p(~; 1]; ().Ньютоновым потенциалом в точке М(х; У; z) называют интегралu(х; у; z)= k111 Р(/;;т1];()d~ d"7 d(,(19)Gг де r== J (~ -х) 2+ (1] -У) 2+ (( - z) 2, k == const(далее k== 1 ). Функцию р называют плотностью (например, плотность масс, электрического заряда). Если ралплотность масс, то ньютонов потенци-это потенциал гравитационного поля материального тела-Если ньютонов потенциал и(х; У;z)G.определен в области [2, то говорят также, что в [2 задано поле с ньютоновым потенциалом и(х; У;Напряженностью этого поля в точке М(х; У; z) называют векторE(x;y;z) = k111 1:~3 p(~;"7;()d~d"7d(;z).(20)GздесьN==N(~;1];(), МN==(~-x; 1]-Y;(-Z),IMNI ==J(~- х)2 + (1] -у)2+ (( -Z)2.ДЛЯ нахождения составляющих вектора Е следует брать соответствующие составляющие вектора М N под интегралом.Пусть потенциал определен плотностью p(~;ластиG,заданной на оби пусть в поле с этим потенциалом находится областьс заданной на ней плотностью Р1 (~1;G1 ,1]; (),1]1; (1).G1Силой, действующей наназывают векторF =111 Е(6; "71; (1)Р1 (6; "71; (1)d6 d"71 d(l;(21)Glздесь, как и выше, следует одновременно братьчастях одноименные компонентык ее внутренней точкеР1 (~1 ; 1]1;(xo;Yo;zo)векторов.в левой и правойСтягивая областьG1и изменяя при этом плотность(1) так, чтобы интеграла=111 Р1 (6 ; "71 ; (1)d6 d"71 d(lGlимел постоянное значение, приходим к обобщенным понятиям типа материальной точки Мо(Хо; Уо; zo) с массой m == а или точечного заряда величины q == а и т.
д. В этих случаях формула (30) длясилы упрощается; например, в гравитационном или электростатическомполе соответственно имеемF==тЕ(хо; уо;zo),F== qE(xo; уо; zo).(22)Приложения ffpamHblX интегралов§ 9.237ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.Доказать, что логарифмический потенциал постояненв полости кругового кольца, если его плотность равнаJ-L(r) ,гдеr -расстояние до центра кольца.АR1ПустьR2Ивнутренний и внешний радиусы кольца,-пусть точка М расположена в полости кольца на расстоянии р от его< R1 .центра, О ~ Р3а начало координат возьмем центр кольца, осьОх направим через точку М, тогда ее координаты будут М(р; О).Пусть (~; 1]) -точка кольца. Имеемu(М)2~=11 J-L(r) ln J(~ - р)2 + тр d~ dry,QГ де r==J ~2 + 1]2, n == {RI ~ ~2 + 1]2 ~ R~}.u(М)=R21J-L(r)r dr 1ln Jr 2 + р2 - 2pr cos ер dep.2~7rRl-7rОбозначив внутренний интеграл1ln(r1,преобразуем его:7r1=1ln(a 2 + 1 - 2acosep) dep,7r2+ р2- 2prcosep) dep = 2wlnr +огде ав полярных координатахо==р/т, О ~ а< 1.Согласно результатам примераледний интеграл равен нулю, поэтому1 ==21Гln r7 из § 8, посиR2u(М)1J-L(r)r ln r dr,=Rlт.
е. и(М) не зависит от выбора точки М в полости кольца. АПри м е рГравитационное поле создано полым шаром2.ро/т, гдес внутp(N) ==расстояние от центра шара до точки N, ро == const.ренним и внешним радиусами==Gr -R1иR2 ,имеющим плотностьНайти силу, действующую на материальную точку М массы т, удаленную на расстояниеАRот центра шара,R> R2 .Начало системы координат поместим в центр шара, осьOzнаправим через данную точку М. Тогда эта точка имеет координаты М(О; О;R),шарзадастся неравенствамиGR1 ~его плотность равна рПусть N(~; 1]; () -J ~2 + 1]2 + (2 ~ R== ро/т, где r ====~2J ~2 + 1]2 + (2.точка шара, тогдаМN1М NI 22,==(~; 1]; ( -+ 1]2 + (2 + R 2 -R),2(R==т2составляющие вектора силы в соответствии сформулам+ R2-2(R;(22), (20)находим поГл.2382.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыJjJ т(т +~ d~km JjJ1]d~урот(т +== km JjJ (( - d~рот(т +F - kmх-ро2d1]d(R2 _ 2(R)3/2'2d1]d(R2 _ 2(R)3/2'2R) d1]d(R2 _ 2(R)3/2 .GF -GFzGЯсно, что первый и второй интегралы равны нулю, т.
е.Fx== F y ==о.После перехода к сферическим координатам получим1112п п/2F z -- k троR2(rsin8 - R)rcos8dcpd8dr (т 2 + R2 - 2т R sin 8)3/2о -п /2RlR2==27г k тро7r/21 1/2r dr-пRlСовершив во внутреннем интеграле замену т 2найдемR2 (R+r)2F z == Jrkmpo2R21dr 1 ((r2 -R 2 ) t- З / 2-t- 1 / 2 ) dt(rsin8 - R)cos8d8.(т 2 + R2 - 2т R sin 8)3/2+ R2== -2т R sin ()-2Jrkmpo (R 2R22-== t,R 12 ) .Rl (R-r)2Итак,сила направлена от точкину 2Jrkmpo(R§ - Rr)/R2.к центру шара и имеет величи-АЗАДАЧИ1.Пусть множествоGэлементарно относительно осиOz,G == {(х; у; z): (х; у) Е П, ер(х; у) ~ z ~ ф(х; У)},где П -т. е.(23)замкнутое измеримое множество в R2 , функции ер и Фнепрерывны на п.
Доказать, что для объемаGверна формулаV= II(ф(Х;У)-i{J(Х;У))dХdУ.(24)QВ частности, если ф(х; у) ~ о, а ер(х; у)основанием цилиндрического множествакой"), тоV === оG,на П (т. е. П являетсяа график Ф11 ф(х;у)dхdу.-"крыш-(25)Q2.Пусть промежутокмого множества== const,т. е. (х'G==п(х n )сnR,1является проекцией на ось ОХ n измерип(х n ) -сечениеGгиперплоскостью х n(Xl; ... ; Xn-l))=={Х' Е Rn -1:(х'; Х n ) Е G} с Rn -1,==§ 9.Приложения ffpamHblX интегралов239и пусть для любого х n Е 1 множество п(х n ) измеримо в R n Доказать, чтор,СJр,ЩХ n ) dx=1.(25)n.1в частности, дЛЯ R З , обозначая j1GV === V, j1П(Хз) == S(z), имеемJS(z) dz.(26)13. Пусть А и В -такие измеримые множества вR n , что для любого х n их сечения пА(х n ) и ПВ(Х n ) измеримы в Rn - 1 и j1ПА(Х n )== j1П В (х n ).
Доказать, что j1A == j1B (nРИНЦИn Кавальерu).==4 *). Найти площадь области, ограниченной кривыми:1) 4у == х 2 - 4х, х == у + 3; 2) у2 == 10х + 25, у2 == 9 - 6х;3)4)5)6)7)8)+2рхр2, у2 == q2 - 2qx, р > О, q > О;у2 == 4, у2 == 4 - 4х, х < 1;== 2х, у2 == 4х - х 2 , 2х < у2;y==cosx, y==cos2x, 0~x~27Г/3;2х 22 у 2 == 2х1, х 2у2 == 1, х 2у2 ~ 1;у'Х+уГу==уГа, х+у==а; 9) (х+у)2+ х 2==а 2 .у2х2у2==++++++Пусть К' - образ квадрата К == [а; аh] х [Ь; Ьпри отображении u == ер(х; у), v == ф(х; у), пусть S и В'К и К'.5.+ h],->О,площадиkИзобразить множество К', найти отношение В' / S и его пределприh ---+О, если:1) u == ху, v == у / х; а > О, Ь > О;2) u + v == х, v == ху; а == О, Ь == 1, О < h < 1.6. Найти площадь области, ограниченной кривыми(можно ис-пользовать полярные координаты):1) х 2 + у2 == 2ах, х 2 + у2 == 2Ьх, у == х, у == О, Ь > а > О;2) (х 2 + у2)2 == 2а 2 (х 2 - у2), х 2 + у2 == а 2 (Jx 2 + у2 ~ а > О);3) (х 2 + у2 - ах)2 == а 2 (х 2 + у2), х 2 + у2 == ауГзу (область вне кардиоиды, но внутри окружности);4) (х 2 + у2)2 == а 2 х 2 - Ь 2 у 2; 5) (х 2 + у2)З == а 2 (х 4 + у4);6) (х 2 + у2)2 == а(х З - 3 ху 2), а > О; 7) (х 2 + у2)2 == а(х З7.+ уЗ).Найти площадь области, заданной на декартовой плоскости вполярных координатах:1) r8.~1 - sin ер; 2) 3 cos ерНайтиплощадь~rобласти,~2 - cos ер.ограниченнойкривыми(можновоспользоваться обобщенными полярными координатами; см.
задачу119, § 8):*)Большое количество задач о вычислении площадей плоских фигур, объемовтел, площадей поверхностей имеется в[2, § 7].Гл.2401)3)4)5)Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.х 2 /а 2 +у2/Ь 2== 1; 2) (х 2 /а 2 +у2/Ь 2 )2 ==== x/p+y/q, р> О, q> О;у2/ с 2;х /а +у2/Ь(х + у)4 == 6 ху 2 (площадь петли);(х + у)4 == а 2 (х 2 + у2), Х == О, У == О (х222> О, У > О);6) vrxтa + ifi7Ь == 1, х == О, У == О, а > О, Ь > О;7) х + у4 == 2а ху; 8) х з + уЗ == аху (площадь петли).49.2Найти площадь области, ограниченной данными линиями, ис-пользуя подходящую замену координат:1)2)3)4)5)6)7)х====х+ у == а,2у, у2== 2 - у, х == 4 - 2у;х + у == Ь, у == ах, у == (3х, О < а < Ь,3х, 3х2ху==а ,у2 == ах,у2 == ах,ху==а 2 ,х 2 ==ау,ху==Ь ,у2 == Ьх,у2 == Ьхху==Ь 2 ,х 2 ==Ьу,8) ~ + VYfЬа> О,2 З9) х /х==ру, x==qy (х>О), Ь>а>О, q>p;Х == ру, х == qy, Ь > а > О, q > Р > О;х 2 == ру, х 2 == qy, Ь > а > О, q > Р > О;х 2 ==ру, x 2 ==qy, Ь>а>О, q>p>O;х З == ру 2, х З == qу 2, Ь>а>О, q>p>O;+ у2/З == а 2 / З ,(аlХ==если ~аlЬ2-+ Ь 1 у + Сl)2 +Ь2 а l(а2 Х==х, У+ Ь 2 у + С2)2 ==Найти площадь расположенной вми им гиперболамиу к а з а н и е.==У==х2еh2+ajsh2у2eos 2 bjМожно•2Sln1 квадрантеу2bj==aj== 1,1гдевоспользоватьсяфигуры, ограни-и двумя ортогональны-j== 1,2,заменойхО==<аl<а2,ch u cos V,sh u sin v.(24), (25)) (12, 13).12.
1) Iх + у I < 7г / 2, z == cos х cos у, z ==3)4)5)6)7)(см. форму-О, Iх - у I < 7г / 2;у2), Z == О;< х + у2 < (n + 1)7Г, Z == sin(x +х + у2 == ах, z == х + у2, Z == О;у == х , У == 1, z == О, z == х + у2;х + у + z == а, 4х + у == а, 4х + 3у == 3а, у == О, z == О, а > О;х + у2 == R 2, Х + у + z == а, х + у + z == -а;х /а + z2/ c2 == 1, у == Ьх/а, у == О, z == О, а > О, Ь > О, с > О22) n7Г(х> а > о.1,Найти объемы тел, ограниченных поверхностямилы8х, Ь1: о.ченной двумя эллипсамиу+ у2/З == Ь 2 / З ,х2/ЗНайти площадь фигуры, ограниченной кривой10.11.< а < (3;== 1, ~ + VYfЬ == 2, х/а == у/Ь, х/а == 9у/Ь,> О;ЬО22222222> О);8) х 2+ у2 == ау,z == ху, z == О (х> О);§ 9.Приложения ffpamHblX интегралов2419) z == 6 - х 2 - у2, Z == J х 2 + у2.13.
1) х 2 + у2 == а 2 , у + z == ±а, у - z == ±а;2) z == ху, z == х + у, х + у == 1, х == О, У == О;3) х == а, у == ь, Z2 == ху, а > О, Ь > О;4) х/а + у/ь + z/c == 1, 3х/а + у/ь + z/c == 1, 3х/а + у/ь - 3z/c ==== 1, у == О, а > О, Ь > О, с > О;5) z == х 2 + у2, Z == Х + у; 6) у2 + Z2 == х, Х == у;7) х 2 /а 2 +Z2/b 2 == 1, х 2 /а 2 +у2/Ь 2 == 1;8) Z2 - х 2 == а 2 , Z2 - у2 == а 2 , z == a-J'i, а > О;9) х 2 Z2 + а 2 у 2 == с 2 х 2 , Х == а, а > о.Найти объемы тел, ограниченных поверхностями (можно восполь-зоваться цилиндрическими координатами)(14, 15).14. 1) (х 2 + у2) 2 == 2ху, z == х + у, z == О (х > О);2) х 2 + у2 == х, х 2 + у2 == 2х, z == х 2 + у2, Z == О;3) х 2 + у2 == 1, z == е-(х + у2 ), z == О;4) X2 +y2==Z2, X2 +y2+ a2==2z 2, а>О (z>O);5) x 2 +y2+ z 2==a 2, x 2 +y2>alxl, а>О;6) х 2 + у2 + Z2 == а 2 , (х 2 + у2)2 == а 2 (х 2 - у2), а > О, Ixl ~ lyl;7) у == xtga, у == хtgfЗ, z == с· COS(nJX 2 + у2/(2а)), z == о,J х 2 + у2 < а, с > О, О ~ а < fЗ ~ 21Г;8) z == х 2 +у2, х 4 +у4 == а 2 (х 2 +у2), z == О;9) х 2 + у2 == 1, х 2 + у2 == 4, z(x + у) == ах + ьу, z == О, х > О У > О,2а> О,Ь> о.15.
1) х 2 /а 2 +у2/Ь 2 == 1, х 2 /а 2 +у2/Ь 2 == 2z, z == О;2) х 2 /а 2 +у2/Ь 2 == 1, cz == ху, z == О, х > О, у> О;3) х 2 /а 2 + у2/Ь 2 == х/р, z/c == Jx 2/a 2 + у2/Ь 2 , Z == О, Р > О;4) (х 2 /а 2 + у2/Ь 2 )2 + z2/ c2 == 1;5) х 2 /а 2 + у2/Ь 2 + z2/ c2 == 1, х 2 /а 2 + у2/Ь 2 == z/c, с > О;6) х 4 /а 4 + у4/Ь 4 == х 2 /а 2 + у2 /ь 2 , х 2 /а 2 + у2/Ь 2 == z/c, z == О, с> О;7) х 2 /а 2 + у2/Ь 2 == z/c, х/а + z/c == 2, а > О, с > о.Найти объемы тел, ограниченных поверхностями (можно исполь-зовать сферические координаты)(16, 17).16.1) X2 +y2+ Z2==4, z==JX 2 +y2 (z<JX 2 +y2);2) х 2 +у2 +Z2 == 2az, z == Jx 2 +у2 (z> Jx 2 +у2);3)4)5)6)7)16(х 2(х 2(х 2(х 2(х 2+ у2 + Z2)2+ у2 + Z2)2+ у2 + z2)2+ у2 + Z2)2+ у2)2 + z4== а 3 х, а > О;== а 2 (х 2 + у2 _ Z2);== axyz, а > О;== az(x 2 + у2), а > О;== a 3 z, а > О;Под ред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
