1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Пусть Ги векторное полеРаботой поляFF-кусочно гладкая ориентированная кривая вQнепрерывно на Г.вдоль Г называют интегралА=JF(r) dr.Г(29)Криволинейные интегралы§ 10.259ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПримерВычислить криволинейный интеграл1.[=J(х + у)ds,ггдеГграница треугольника-А(l; О), В(l;1).11, 12,А ПустьОА1з-+усоответственно.задается уравнениемформуле(8)10.1)с вершинами0(0; О),уралы от функции хи(рис.хкриволинейные интегпо отрезкам АВ,ВОТакАВ== 1,как отрезокО ~ У ~1 -----------ВСто по1,получаемА1J(у + 1) dy[1 =о~.=1Рис.х10.1оОтрезки ВО и ОА задаются соответственно уравнениямиО ~ х ~1, и уО, О ~ х ~==J2х v2 dx1v2,=Jх dx[3 =оХ,~.=о1 == 11Следовательно,у==1.
По формуле (7) находим1[2 =у+ yI2.у=х 2АПри м е р12.+ 12 + 1з ==2+Вычислить криволинейныйинтеграл[=Jydx +xdyгпо кривой Г с началомА(l; 1), если (рис. 10.2):1) Г - отрезок ОА;о1Рис.0(0; О)2) Г - дуга параболы у == х 2 ;3) Г - дуга окружности радиуса 1центром в точке (1; О).х10.2А 1) Так как отрезок ОА задается уравнением уто, применяя формулы (17) и (18), находим1[=Если Г==Х, О ~ х ~с1,1Jxdx + Jxdxо2)и концом=1.одуга параболы, то-1 1 1у dx = х 2 dx,х dy = 2х 2 dx, [= зх 2 dx = 1.3)JJJJJгогооТак как уравнение дуги окружности можно записать в видех17*== 1 + cos t,У== sin t,Гл.260где2.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыменяется от 7г до 7г /2, то по формулеt7r /2(16) получаем7r /2I = / sin t( - sin t) dt +/7r+ cos t) cos t dt =(17r7r/2(cos t= /При м е р3.+ cos 2t) dt =1.
•Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интегралI = / x 2ydx - ху2 dy,Gгде Г -окружность х 2+ у2 == R 2 ,пробегаемая против хода часовойстрелки.А Воспользуемся формулойр = х 2 у,-ху2,Q =Тогда(19), где~~I = - / / (х 2=_у2,+ у2) dxdy,Dгдекруг радиусаD -ным координатам,с центром в точке (О; О). Переходя к поляр-Rполучаем27r1 == -//Rdcp rоПри м е р37г R 4dr == - -2-.Ао4. Пользуясь формулой (20), найти площадь В, ограниченную астроидойх== а cos 3 t,А Применяя формулыУ== а sin 3 t,(20) и (16), получаем27rS = ~ / (x(t)y' (t) - y(t)x' (t)) dt =о3а== 8227r/оПри м е р5.О ~ t ~ 27Г.3; / (cos t sin t + sin t cos t) dt2 27rО427r2sin 2tdt == 3а16224/2=237Га А(1 - cos4t) dt == -8-·оПоказать, что криволинейный интегралI = /(зх 2 У + у) dx + (х 3 + х) dy,АВгде А(l;лить-2),этотЬ(2;3), не зависит от пути интегрирования, и вычисинтеграл.Криволинейные интегралы§ 10.А Так как функции Р == 3х 2 у + у,рывны В RQ261== х 3 + х, дР и aQ непредхдуИ выполняется условие (25), то интеграл не зависит от2пути интегрирования и выражается формулойФункцию и(х;у) можно найти по формуле(23).(24).
Заметим,однако,что подынтегральное выражение является полным дифференциалом,так какdy) + (у dx + х dy) ==== d(x y) + d(xy) == d(x 3 y + ху) == du.Следовательно, u == х 3 у + ху, И по формуле (23) находим1 == и(В) - и(А) == 30 - (-4) == 34. А(зх 2+ у) dx + (х + х) dy ==3+х(3х 2 у dx33ЗАДАЧИВычислить1.криволинейныйинтегралпервого родапоплоской кривой г:Jds, Г отрезок с концами (о; о) и2) J(2х + у) ds, Гломаная АВОА, где А(l; о), В(О;о);3) J(х + у) ds, Гграница треугольника с вершинами (о; о);1)-(1; 2);г-2), 0(0;г-G(1; о) и (о; 1);J5) Jг V4)dsу-х,Готрезок с концами (о; -2) и-(4; о);ГdsX2+ у2 + 4,Г-отрезок с концами (о; о) и(1; 2).Jху ds, если:2.
Вычислить криволинейный интегралг1)(о;Гграница квадрата с вершинами--1);2) Г -четверть эллипса х 2 / а 2+ у2/Ь ==2(1; о),(о;1), (-1; о),1, лежащая в 1 квадранте;3)(о;Г-граница прямоугольника с вершинами (о; о),(4; о), (4; 2),2).3.ПустьГгладкая кривая, заданная в полярных координа-тах (т; <р) уравнениемr ==р(<р), <рl ~ <р ~ <Р2, а функцияF(x; у)непрерывна на Г.
Доказать, чтоJF(x; у) ds JF(p(ep) cos ер; р(ер) sin ep)Vр2(ер) + (р'(ер))2 dep.<Р2=г<Р1(3О)Гл.262Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.Вычислить криволинейный интеграл по плоской кривой Г4.Jх Г дуга окружности х + у2 == а , у ~ о.J(х + у2)n Г окружность х + у2 == а .Jf(x, у) dx, Г окружность х + у2 == ах, если:2ds,2-(4-11).2г5.2ds,2-2г6.2-г1) f(x; у) == х - у; 2) f(x; у) == Jx 2 + у2.7.Jf(x; у)ds, Г -правый лепесток лемнискаты, заданной в поглярных координатах уравнением т 2==а 2 cos 2ср, если:+ у; 2) f(x; у) == xJx 2 - у2.г - лемниската т 2 == а 2 cos 2ср.1) f(x; у) == хJlylJ(х / + у4/З)10.
Jf(х; у)Г8.ds,г4 З9.астроида х 2 / 3ds, Г -+ у2/3 == а 2 / 3 .гds,арка циклоиды х == a(t - sin t), у == а(l --г- cost), о ~ t ~ 21Г, если:1) f(x;11.у)==у;Jf(x;y)2) f(x;ds, Г -у)==у2.дуга развертки окружностигх== а (cos t + t sin t) ,У== а (sin t - t cos t) ,О ~t~ 21Г,если:1) f(x;y) == х 2 +у2; 2) f(x;y) == Jx 2 +у2.Вычислить криволинейный интеграл по пространственной кривой Г12.(12-18).Jf(x; у; z)ds, Г -гхпервый виток винтовой линии== а cos t , у == а sin t , z == Ы ,если:1) f(x;3) f(x;13.у;у;z) == Z2 j(x 2 + у2); 2) f(x; у; z) == 1j(x 2 + у2z) == х 2 + у2 + Z2.Jf(х; у; z)ds, Г -дуга конической винтовой линиигх== t cos t,У+ Z2);== t sin t,z==t ,о ~если:1) f(x; у; z) == z; 2) f(x; у; z) == Jx 2 + у2+ z.t~ 21Г,Криволинейные интегралы§ 10.JJ2 yJ14.Г -2 + Z2 ds,263окружность х 2 + у2 + Z2 == а 2 , х == у.гчетверть окружности х 2 + у2 + Z2 == а 2 , х == у,xyz ds, Г -15.грасположенная вJ(х + у)16.==1 октанте.четверть окружности х 2ds, Г -+ у2 + Z2 == а 2 , у ==гх, расположенная вJхJ17.21 октанте.ds, Г -окружность х 2 + у2 + Z2 == а 2 , х + у + Z == о.г18.Z ds,Г -дуга кривой х 2+ у2 ==z2,у2 == ах от точкиг(о; о; о) до точки (а; а; aJ2), а> о.Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой Г,пробегаемой в направлении возрастания ее параметра х19.
1)Jхуdx, Г -(19, 20).дуга синусоиды у == sin х, О ~ х ~ п;г2)J(х - ;)Jх уГdy,дуга параболы у == х 2 ,-1~х~2;г3)кривая у == х 3 , О ~ Х ~ 2;dx, Г -dy -г4)J~ dx + dy, Г-кривая у == ln х,1~ х ~ е;г5)JJ2хуJ2ху dx+хdy, Г -2дуга параболы ух2== 4'о ~ х ~ 2;г6)dx -х 2 dy, Г - дуга параболы у=Л, о:::::; х :::::; 2.гcosydx-sinydy, Г -20.1)отрезок прямой у == -х, -2 ~г~ х ~2)2;J(ху - у2)J(х - 2ху)dx+ х dy, Г-кривая у == 2уГх, О ~ х ~ 1;г3)2dx+ (у2- 2ху) dy, Г -дуга параболы у == х 2 ,Г-1~ х ~4)J(хг~ х ~1;2.2+ у2) dx + (х 2- у2) dy, Г -кривая у == 1 -Ix -11, о ~Гл.2642.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыВычислить криволинейный интеграл по кривой Г, пробегаемой отточки А к точке ВJх21.(21-25).dy - у dx, А(О; О), В(l; 2), если:г1) Г 3) Г -отрезок АВ;2) Г -дуга параболы уломаная АСВ, где С(О;==2х 2 ;1).22.23.24.Jх25.dy, Г -полуокружность х 2+ у2 == а 2 , х ~ О, А(О; -а),гВ(О; а).Вычислить криволинейный интеграл по отрезку АВ, ориен26.тированному в направлении от точки А к точке В:Jх ху А(О; -2), В(l; 3);2) J- 3х+ уЗА(О; О), В(2;3) J(2х у)+ (4х + 5у)А(3; -4), В(l;4) J(4х + 5у)+ (2х у)А(l; -9), В(4; -3);J( Х + У) + ( У + х) А(l; О), В(3;6) J(х + у)+ (х - у)А(О; 1), В(2;З1)dy -dx,г2dxdy,4);г-dxdy,2);гdx-dy,г5)х2+у2dxх2+у2dy,4);гdxdy,3).гВычислить криволинейный интеграл по кривой Г, пробегаемой внаправлении возрастания ее параметра27.
1)Jху2dx, Г -t (27, 28).дуга окружности х == cos t, У == sin t, О ~ t ~г~ 7г /2;2)JхdyгО ~t~ 7г /2;+ у dx, Г-дуга окружности х == R cos t, У == R sin t,Криволинейные интегралы§ 10.2653) !ydx-xdy, Г -эллипс x==acost, y==bsint, 0~t~2n;! у2г4)+ х 2 dy, Гdxверхняя половина эллипса х == а cos t,-гУ== ь sin t.! (2а28. 1)у) dx + (у - а) dy, Г --дуга циклоиды х ==a(t -г- sin t), У2)== а (1 - cos t),!/х5 3ГО ~tО ~ t ~ 21Г;x2dy - y 2dx+ у5/' Г -дуга астроиды х3== а cos 3 t, у == а sin 3 t,~ 1г /2.Вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой Г, пробегаемой так, что ее внутренность остается слева! (х + у2)229.
1)dx, Г -(29, 30).граница прямоугольника, образованг== 1, х == 3, у == 1, у == 5;(х 2 - 2ху) dx + (х - 2у)2 dy, Г - граница прямоугольника,ного прямыми х2)!г== О, х == 2, у == О, У == 1;(зх 2 - у) dx + (1 - 2х) dy, Г - граница треугольника с веробразованного прямыми х3)!гшинами4)(0;0), (1;0), (1;1);! (х2+ у2) dx + (х 2- у2) dy, Г -граница треугольника с вергшинами (О; О),30. 1)! 2(х(1; О),2(О;1).+ у2) dx + (х + у)2 dy, Г-граница треугольника сгвершинами2)!(1;1), (1;3), (2;2);+ dyIxl + lyl'dxг-граница квадрата с вершинами (1; О), (О; 1),г(-1; О), (О; -1);!4)!3)(ХГ+ у) dx + (у х2 + у2'ху2 dx - х 2 у dyх2Г==х) dy+ у2'ГГ--окружность хправый2+ у 2 == R 2 ;лепесток лемнискатыr2а 2 cos 2ср.ВычислитьранственнойкриволинейныйкривойГ,интегралпробегаемойввторогороданаправлениипопроствозрастанияГл.266параметра31.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.t (31-36).! у dx + z dy + х dz,Г -виток винтовой линии х == а cos t,гУ== а sin t,32.Z! (у2==Ы, О ~- Z2) dx~ 21Г.t+ 2yz dy - х 2 dz, Гкривая х == t, У == t 2,-z==г== t3,О ~33.t ~ 1.! yz dx + zJа2 -у2 dy + ху dz, Г -дуга винтовой линиигх== а cos t,У== а sin t, z == at / (21Г ),О ~~ 21Г.t34.
!(y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz, Г -кривая x==asin 2 t,гу==2а sin t cos t,== а cos 2 t,ZО ~ t ~ 1Г.35. !xdx+(x+y)dy+(x+y+z)dz, Г гу== а cos t,36.== а (sin t + cos t),Z! у dx + zdy + xdz,О ~~ 21Г.tГ -кривая х == asint,окружность х == acosacost, у ==г== а cos а sin t,Z== а sin а(а== const).Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой Г37.(37-44).! xdx + ydy + (х + у- 1) dz, Г -отрезок АВ, пробегаемыйгот точки А(l;38! J.г!к точке В(2;3; 4).xdx+ydy+zdzх2от точки А(l;39.1; 1)+ у2 + Z21; 1)-Х-у + 2z,Г-отрезок АВ, пробегаемыйк точке В(4;4;4).x(z - у) dx+ у(х -z) dy+ z(y - х) dz, Г - ломаная АВСА,ггде А(а; О; О), В(О; а; О), С(О; О; а).40.! у2 dx +Z2 dy+ х 2 dz, ГГ+ у2 + Z2 == R 2И цилиндра х 2-линия пересечения сферы х 2+ у2 == Rx(R > О,Z+~ О), пробегаемаяпротив хода часовой стрелки, если смотреть из точки (О; О; О).41.! (у -z) dx+ (z - х) dy + (х - у) dz, Г-окружность х 2 +Г+ у2 + Z2 ==а2 , у== х tg а(О ~ а ~ 1Г), пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной полуоси Ох.§ 10.Криволинейные интегралыJ(у2 - Z2) dx + (Z2 - х ) dy + (х242.г+ у2 + Z2 == 1ти сферы х 22267- у2) dz, Г -граница час(лежащей в 1 октанте), пробегаемая по ходучасовой стрелки, если смотреть из точки (О; О; О).J(у + z) dx + (z + х) dy + (х + у) dz,43.Г+ у2 + Z2 == а2+ у + Z == О,, хГ -окружность х 2 +пробегаемая против хода часовой стрел-ки, если смотреть с положительной полуоси Оу.J(у2 + Z2) dx + (х44.2+ Z2) dy + (х 2 + у2) dz, Г-линия перегсечения поверхностейх2+ у2 + Z2 == 2Rx,х2+ у2 == 2тх,О< r < R,Z ~ О,пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной полуосиOz.Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интегралпо замкнутой кривой Г, пробегаемой так, что ее внутренность остается слева(45-55).J(ху + х + у) dx + (ху + х - у) dy, если:45.г1) Г -эллипс х 2 /а 2+ у2/Ь == 1;2JJ + ГJ(х + у)2 dx - (х46.(2ху - у) dx+хdxY2 ,-2dy, Г -2) Г -окружность х 2х2эллипс а 2+ у2 == ах.у2+ Ь 2 == 1.г47.xd;х+уокружность (х - 1)2 + (у - 1)2 == 1.г48.2+ у2) dy, Г-граница треугольника с вергшинами49.(1; 1), (3; 2), (2; 5).J(у - х ) dx + (х + у2) dy,2гра О< r < R,50.г== R 2 .52.< ер < аО~ п/2, где (т;ер)-полярные координаты.0<< У < sin х.Jе J(еу2х2(cos 2ху dx+ sin 2ху dy, Г-окружность х 2+ у2ГХsiny - у) dxгх2граница кругового сектоJeX[(l-соsу)dх+(siпу-у)dу], Г -граница области< х < п,51.ОГ -+ у2 < ах,у> о.+ (е Х cosy -1) dy,Г -граница областиГл.26853.j2.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыdx - dyх+у, Г -граница квадрата с вершинами (1; О), (О; 1),г(-1;0), (0;-1).54.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
