1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 47
Текст из файла (страница 47)
1)==х+ у2,sвыделяемая условием z ~ 1.11 V X2 +y2dS; где S -6.1) II(x 2 + y2 )dS; 2)sческой поверхности z== Vx 2 + у2, выделяемая условием z ~11 (х у2 22)ssчасть конической поверхности zвнутри цилиндра х+ у2 ==2SJj (х3)==2х.11 f(x; У; z) dS; 2) 11 f(X~~;8.
1)часть кони-sII(x y + y z+zx)dS;7.1)S -часть параболоида z ==2)s22871.+y 2z 2 + Z2 X2) dS; гдеVх + у2,2расположеннаяz) ;S2+ у2 + z2)-З/2dSj(x;y;z);Sгде jх2Z2+ Ь4 + 4 ' S - эллипсоид(х 2 + у2 + (z - a)2)-n/2dS, n Е==4а119.у2сх22ау2+ Ь2 +N, S -Z22с==1.сфера х 2+ у2 +S+ Z2 == R 2 .s-10.ха==часть конической поверхности== u cos v SlП а,у==.uSlПV.zSlП а,сопst, а Е (О; 7г /2), выделяемая условиями11 z dS, S -11.== u cos а,uЕ [О;1],v1], v Е [О; 27Г].поверхностьsх12.s-ll f (r)dS,sплоскость х13.== u SlП V,гдеSZ== V,UЕ [О;r=vx 2 +y2+ z 2,Е [О; 27Г].f(r)={12 r,r ,~1,r ~ 1,0+ у + z == а.11 f(r; z) dS, где rсфера х 214.у== u cos V,=т2В-непрерывная функция, S -сфе-j(r;z)=={ о,'rr~z,z,vx 2 + у2,~+ у2 + Z2 == R 2 .Доказать формулу Пуассона111 f(ax+by+cz)dS=2Jr 1f(Vasгде j(t),Itl2+b2 +c2t)dt,-1~Va 2 + Ь 2 + с 2 ,-Гл.288ра х 2Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.+ у2 + Z2 ==1.15. Определить массу, распределенную:1) по поверхности куба О ~ х ~ а, О ~ У ~ а, О ~ z ~ а с по-== Poxyz;2) по сфере х + у2 + Z2 == R 2 С плотностью:а) Р == poV X2 + у2, б) Р == ро(х 2 + у2);верхностной плотностью р23) по части эллиптического параболоида х 2плотностью Р==+ у2 ==2z, z ~ 1 сPoZ;4) по части гиперболического параболоида х 2 - у2 == 2z, вырезаемой цилиндром х 2 + у2 == 1, с плотностью Р == Ро Izl, Ро == const.16.
Определить статический момент относительно плоскости z ==== О однородной (Р == Ро == const) поверхности:1) х + у + z == а, х ~ О, У ~ О, z ~ О; 2) х 2 + у2 + Z2 == R 2, Z ~ о.17. Определить аппликату центра масс полусферы х 2 + у2 + Z2 ==== R 2 , Z ~ О с поверхностной плотностью:1) Р == Ро; 2) Р == Povx 2 + у2; 3) Р == ро(х 2 + у2), Ро == const.18. Определить координаты центра масс однородных поверхностей:+ у2 + Z2 == R 2,1) х 2Х ~ О, У ~ О, z ~ О;== VR2 - х 2 - у2, Х ~ О, У ~ О, х + у ~ R;3) z == vx 2 + у2, х 2 + у2 ~ х; 4) z == 2 - (х 2 + у2)/2,5) х == u cos V, у == u sin v, z == v, u Е [О; 1], v Е [О; 1Г] .2) zВычислить19.моментыплоскостей однородной (Р==инерцииРо== const)+ у + z == 1, х ~ О, У ~ О, zz == h Vх 2 + у2, х 2 + у2 ~ т 2 .r1) х2)относительнокоординатныхповерхности:~ О;Вычислить момент инерции однородной (Р20.z ~ О;==Ро== const)поверхности:1) х 22) хz ==2+ у2 == 2az, z ~ а,/ а + у2 / а == z2 /Ь222относительно оси Oz;, О ~ Z ~ Ь, относительно прямой у==О,Ь.Найти21.1)х2) хвеличину силы,== а cos ер,== rcosep,плотностиРоуу== а sin ер,== rsinep,притягиваетzzс которой== z,== Т,точкуоднороднаяповерхность:ер Е [О; 21Г], Z Е [О; Н];ер Е [О; 21Г],массыт,rЕ [а;Ь], а> О;помещеннуювначалекоординат.22.Найти величину силы, с которой однородная сфера радиусаи плотности23.Р==РоОпределитьпритягивает точку массыэлектрическийзаряд,Rт.распределенныйсплот-§ 11.ностью Р== PolzlПоверхностные интегралы289по поверхности:1) х / а 2 + у2 / а 2 - Z2 / с 2 == О, Iz I ~ с;2) Z2 - х 2 - у2 == а 2 , Izl ~ aV2.224.Найти потенциал в точке Мо(Хо; уо;простого слоя (п.zo)1),распределенного:1) на сфере х 2 + у2 + Z2 == R 2 С постоянной плотностью JLo;2) на сфере х 2 + у2 + Z2 == Rr с постоянной плотностью JLl И насфере х 2 + у2 + Z2 == Rr с постоянной плотностью JL2, R 1 < R 2 .25.
Найти в точке (О; О; z) потенциал простого слоя, распределенного с плотностьюJL:+ у2 ==1) на боковой поверхности цилиндра х 2JL==Z~ Н,JLO;2) на сфере х 2+ у2 + Z2 == R 2 ,Вычислить интегралы26.z == о.27.11 (х112JL==2JLoz .(26-43).+ у2) dx dy,нижняя сторона круга х 2 + у2 ~ 4,S -s(2z - х) dy dz+ (х + 2z) dz dx + 3z dx dy,s+ 4у + z == 4,сторона треугольника х2)11xzdxdy;28.1)sУ ~ О,29.zSверхняя-х ~ О, У ~ О, z ~ о.11yzdydz+zxdzdx+xydxdy;sвнутренняя сторона поверхности тетраэдрах+у +z~1,S-х ~ О,~ о.11 Л(х)dуdz +sпрерывные функции,12(y)dzdx + 1з(z)dхdу,S -30. 1)11уdz dx; 2)s+ у2 + Z2 == R 2 .где Л, 12, 1з -невнешняя сторона поверхности параллеле-пипеда О ~ х ~ а, О ~ У ~ Ь, О ~х2R2 , О ~11 х2z~ с.dy dz; S -внешняя сторона сферыs31.1) 11(x5 +z)dYdz; 2) 11X2y2ZdxdY;ssS-внутренняясто-+ у2 + Z2 == R 2 , Z ~ о.х 2 dy dz + Z2 dx dy, S - внешняя сторона части сферырона полусферы х 232.х211s+ у2 + Z2 == R 2 ,33.11 х2dy dzХ ~ О, У ~ о.+ у2 dz dx + Z2 dx dy,s19Под ред.
Л.Д.Кудрявцева, Т.3S -внешняя сторона сфеГл.290ры (х34.-s+ (У - ь)235.+ (У -а)211Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.+ (z -Ь)211 (х-R2 ,== R 2 .внутренняя сторона полусферы (х - а)2 +Z2 dx dy, S -+ Z2 ==с)2~ о.Zl)Зdу dz, S - внешняя сторона полусферы х 2 + у 2 +S+ Z2 == 2х,36. 1)~ о.Z1111dzdx; 2)sЗ)xdydz;ss11sна части эллипсоида х38.11 (2х222112/Ь 222s2+ Z2 / с ==2S -1,Z~ о.внешняя сторона боковой по11112О<Zодна из~ Н.внутренняя сторона части цилиндрической+ у == т , У ~ О, О ~ Z ~ Т.yz dx dy + zx dy dz + ху dz dx, S - внешняя сторона частиsцилиндра х 222+ у == т , Х ~ О, У ~ О, О ~ Z ~ Н.х 6 dy dz + у4 dz dx + Z2 dx dy, S - нижняя сторона части22sэллиптического параболоида43.YdXzd ; S -~ Х ~ Н.+ у == z2,yz2 dx dz, S -sповерхности х 242.+уZ211dydz; 4)II(y-z)dуdz+(z-х)dzdх+(х- у )dХdу, S -сторон поверхности х 241.аJу +s40./s2+ у2 + Z2) dy dz,sверхности конуса39.11yz dz dx; 2)2+ у / ь + Z2 / с == 1.х З dy dz + уЗ dz dx; S - внешняя сторо-внешняя сторона эллипсоида х 2 / а 237.
1)11 х11 хdy dzZ==х2+у+ у dz dx + z dx dy,sперболического параболоидаZ==х2-2,S у2 ,Z~ 1.верхняя сторона части гиlyl~ х ~ а.С помощью теоремы Гаусса-Остроградского вычислить интегралы(44-48).44.11(1+ 2х) dydz + (2х + Зу) dzdx + (Зу + 4z) dxdy, где В:s1) внешняя сторона поверхности пирам иды х/а+ У/Ь + z/c~ 1,х ~ О, У ~ О, Z ~ О;2) внутренняя сторона поверхностиIx - У + zl + Iy - z + xl +§ 11.Поверхностные интегралы291+ Iz - х + yl == а.45. 11Zdxdy+(5x+y)dydz, где В:sО1) внешняя сторона полной поверхности конуса х 2~ Z ~ 4;+у2~z2,2) внутренняя сторона эллипсоида х 2 /4 + у 2 /9 + Z2 == 1;3) внешняя сторона границы области 1 < х 2 + у 2 + Z2 < 4.1146.где В:x 2 dydz+y 2 dzdx+z 2 dxdy,S1) внутренняя сторона поверхности параллелепипеда О ~ х ~ а,О ~ У ~ Ь, О ~ Z ~ с;+у2) внешняя сторона полной поверхности х 2 / а 22/ь 2 ~Z2 /с2 , О ~~ Z ~ с (конус).1147.где В:x 3 dydz+y 3 dzdx+z 3 dxdy,s1) внешняя сторона поверхности тетраэдра х+У +Z~ а, х ~ о,У ~ о, Z ~ о;2) внутренняя сторона сферы х 21148.+ у + Z2 == R 2 .2x 4 dydz+y 4 dzdx+z 4 dxdy,где В:s1) сфера х 2 + у 2 + Z2 == R 2 ;2) внешняя сторона полной поверхности полушара х 2+ у + Z22~~R2, z~o.Доказать для объема49.ностью В, формулуV =1~11 хVтела, ограниченного гладкой поверхdy dz+ у dz dx + z dx dy 1·sИспользуя формулу из задачи50.49,найти объем тела, ограниченного:1) поверхностью х== ucosv, У == usinv, Z == -u+acosv (и ~ о,а > О) и плоскостями х == о, Z == о;2) поверхностью х == (Ь + а cos и) cos v, У == (Ь + а cos и) sin v; Z ==== а sin и, Ь ~ а > о;3) поверхностью х == а cos u cos v + Ь sin u sin v, У == а cos u sin v - Ь sin u cos v, Z == с sin u и плоскостями Z == С, Z == -с.Вычислить интегралы11 х51.dy dz(51-55).+ у dz dx + z dx dy, гдеS -внешняя сторона поsверхности, образованной вращением вокруг оси Z кривой:1)19*У== 2 - 1Z-11,ZЕ [О; 2];2) х== 1 + sin z,ZЕ [О; 1Г] .Гл.29252.2.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы11 х dydz + у2 dzdx + Z2 dxdy, где S:2S1) нижняя сторона полусферы х 2 + у2 + Z2 == R 2 , Z ~ О;2) верхняя сторона части поверхности параболоида х 2 + у2 ++ 2az == а 2 , z /~"о·' ,3) нижняя сторона части конической поверхности х 2 + у2 == z2,О<Z~ Н.53.11 (Z2 - у2) dydz + (хs2- Z2) dz dx+ (у2 - х 2 ) dxdy,+ у2 + Z2 == R 2 ,х 2 у dy dz + ху2 dz dx + xyz dx dy, Sверхняя сторона полусферы х 254.11sчасти сферы х 255.+ у2 + Z2 == R 2 ,Х ~ О, У ~ О,11 х у dy dz - ху2 dz dx + (х22sS -Доказать, что еслиее внешняя нормаль,1-~ о.нижняя сторона~ о.z+ y2)Z dx dy,рона части цилиндрической поверхности х 256.ZSS -+ у2 == R 2 ,внешняя стоО ~z~ Н.замкнутая гладкая поверхность,n -некоторый постоянный вектор, то11cos(l~) dSО.=s57.
Пусть G Е R3ограниченная область с гладкой границей В,-внешняя нормаль к В,n 1)r==(~-x)i+ (Т} -y)jдоказать формулу11 cos(г,n) dS 111 d~ fri= 2S2)+ (( - z)k:d( ;Gвычислить интеграл ГауссаI(х; у; z)=11 cos~:-;n) dS,(х; у; z) f/. s.S58. Доказать, что если G Е R3 - ограниченная область с гладкойграницей В, n - внешняя нормаль В, и(х; у; z) и v(x; у; z) - дваждынепрерывно дифференцируемые в G функции, то.6.и .6.vдuavи v dxdydz =дп дп dS.11111G59.SДоказать, что если и(х; у;ограниченной замкнутой областивнешняя нормаль к В,r==и(х; у; z) == ~41Г(~- х)iz)GUVгармоническая функция вс гладкой границей+ (Т} -y)j+ (( -jJ (и cos(r-;n) + ~Irl дuг2Sдпz) k,) dS.тоВ,n -§ 11.Поверхностные интегралыДоказать, что если и(х; у;60.ри сферырадиусаSR293функция, гармоническая внутz) -с центром в точке (ха; Уа;1147Г ю1u(xo;Yo;zo) =тоza),u(x;y;z)dS.sИспользуя формулу Стокса, вычислить интегралы11у2(61-68).х2у2+ Ь2(x+z)dx+(x-y)dy+xdz, L-эллипс а 261.==1, z==L== С, ориентированный отрицательно относительно вектора (О; О; 1).62.+ Z2 dy + х 2 dz,dxграница треугольника с вершиL -Lнами в точках (а; О; О), (О; а; О),тельно относительно вектора (О;163.
1)ydx(О; О; а), ориентированная положи1; О) .+ zdy + xdz;L2)х dy - у dx1х2+ z dz;+ у2гдеокружность хL -2+ у2 + z 22== R ,LХ+у +z==ра (О; О; 1).64.О,1(у2ориентированная положительно относительно векто-- Z2) dx- х 2 ) dy+ (Z2L+ (х 2Ixl- у2) dz, L -lylкривая пере-Izlсечения поверхности куба~ а,~ а,~ а плоскостью х +уz == 3а/2, ориентированная положительно относительно вектора (1; О; О).+ +65.1(у -z) dx+ (z - х) dy + (х - у) dz, где:Lокружность х 21) L -+ у2 + Z2 == R 2 ,У== х tg ер,ентированная положительно относительно вектораэллипс х2) L -+ у2 == а22, х/а+ z/c == 1,арованный отрицательно относительно вектора66.1уdx - z dy+ х dz,L -ер Е (О; п), ори(1; О; О);> О,с> О,ориенти(1; О; О).кривая х 2 + у2 + 2z 2 == 2а 2 , у-х ==L== О, ориентированная положительно относительно вектора (1; О; О).67.1(у2 +Z2) dxL+ у2+ Z2 ==2ах, х 2+ (Z2 + х 2 ) dy + (х 2 + у2) dz,+ у2 ==2Ьх, z>О, Оположительно относительно вектора (О; О;68.1z 3 dx+ x 3 dy + y 3 dz,L -<ЬL -кривая х 2+<а, ориентированная-у2 + Z2 == а 2 , х + у ==1).кривая 2х 2L==О, ориентированная положительно относительно вектора(1; О; О).Гл.294Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.Вычислить интегралы(69-72),если криваянаправлении возрастания параметраt.кривая х == asint,69.
jXdx+(x+Y)dy+(x+y+z)dz, L Lу== а cos t,== a(sin t + cos t), tZориентирована вLЕ [О; 2п).кривая х == acost, у ==70. jy2Z2dx+X2Z2dY+X2y2dz, L L== а cos 2t,== а cos 3t, tZЕ [О; 2п).71. j(y+z)dx+(z+x)dy+(x+Y)dz, L-кривая x==asin 2 t,Lу== а sin 2t,Z== а cos 2 t, t72. j (х 2 - yz) dxЕ [О; п).+ (у 2 - zx) dy + (Z2 - ху) dz,кривая х ==L -Lу== acost,== asint,Z==ht/(2п), t Е [О; 2п].ОТВЕТЫ1.1) 7J2I/з; 2) п.
2.1) 8пR 4 /З; 2) п(l + V2)/2.3. 1) 4пR 4 ; 2) 40а 4 ; 3) 2vГза 4 ; 4) пr(r 3 + 2r 2 Н + rH 24. (vГз -1)(1п2 + vГз/2). 5.1) О; 2) (125уЬ -1)/420.6.1) п/V2; 2) 2пV2/З. 7.1) 64V2/15; 2) 29пV2/8.8. 1) з4 паЬс ( а129.если а/KR) (Ia -аn-21: О;1)+ Ь12 + с 2 ; 2) 4паЬс; 3) 4п.R1 2 -n - la + RI 2 -n), n #- 2; 2KRа4п R -n, если а2==+ 2Н 3 /3).ln I а + ~ 1, n == 2,а-о.1 о.
(п sin а cos а) /2. 11. п 2 ( v2 + ln (1 + V2)).12. п(а 2 - 3)2/18, если lal ~ vГз; О, если lal > vГз.13. п(8 - 5V2)R 4 /6.15. 1) 3роа 3 /4; 2) а) роп 2 R 3 ; б) 8ропR 4 /З; 3) 2п(1 + 6vГз)ро/15;4) 8(1 + V2)Po/15.16. 1) vГзроа 3 /6; 2) пр о R 3 . 17. 1) R/2; 2) 4R/3п; 3) 3R/8.218. 1)(R.2 ' R.R).2 '2'4) (о· о·"==2)'1Г'307 - 15у'5). 5) (о.2(2у'2 - 1). 1Г).31 О', 31Г ( у'2 + ln (1 + у'2)) , 219. 1) РоvГз/12; 2) lхуVr 2 + h 2 .20. 1) 4п21. 1)(у'2 R· у'2 R· у'2 + 1 R)· 3)4' 4== проrh 2 Z/4,6vГз + 115роа 4 , 2) п роа(3а 22пр о та(!а-==lyz+ 2Ь2)lzx'91Г== проr 3 Z/4, где Z ==va 12+ Ь2va 21+H2 ); 2) прот ln (~).а(!.2' о· ~).'2.§ 12.Сffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ22. 4ПРаmR2 /т 2 , если rr -> R;о, если r< R;2952ПРаm, если r== R;расстояние точки от центра сферы.23.1)24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
