1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Из них следует, что11 и(п, \1и) dS - 111 и/).и dV,111 /).и dV11 (п, \1и) dS.2dV =aGG=G(29)aG(3О)§ 12.Сffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ301Потенциальные и соленоидальные поля. Все поля в этом5.пункте считаем непрерывно дифференцируемыми.Поле а в П называют безвихревым, еслиrot а==Овп.Поле а в П называют потенциальным, если существует на П скалярное полеuтакое,чтоа== grad и.(31)Функцию u называют потенциалом поля а.Для потенциальности поля а в П необходимо и достаточно, чтобы его циркуляция по любому кусочно гладкому замкнутому контуруfравнялась нулю:adr==о.гЕсли это условие выполнено, то потенциал поля определяется поформулемJadr + const,и=(32)могде МО -фиксированная точка П, интеграл берется по любой кусочно гладкой кривой, соединяющей МО и М.Условиеrot а==(33)Онеобходимо для потенциальности поля, но, вообще говоря, не достаточно.Если область Подносвязна, то условие(33)достаточно для потенциальности поля.
Говорят, что область Подносвязна, если любой принадлежащий ей кусочно гладкий замкнутый контур можно стянутьв точку этой области так, что во всех промежуточных положенияхпри стягивании контур будет оставаться в П (в этом случае говорят,что любой замкнутый контур гомотоnен тОЧJliе). Например, всякаявыпуклая область односвязна.В односвязной области безвихревое поле потенциально. Поле а в Пназывают соленоидальным, если для любой областигладкой границейт.JGGС П с кусочнопоток поля а через эту границу равен нулю,JJ (а, п) dS = О,е.дСгде n -внешняя нормаль кJG.Для соленоидальности поля необходимо и достаточно, чтобыdi vа==Овп.Векторное поле А называют BeJlimOpHblM потенциалом поляли а(34 )а, ес== rotA.Условие(34)необходимо, но, вообще говоря, не достаточно длясуществования векторного потенциала.Гл.3022.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыnЛюбое гладкое поле а вявляется суммой безвихревого и соленоидального полей (теорема Гельмгольца).ПотенциальноесоленоидальноеполеназываютгаРМО1-luчесlf,UМ(лаnласовым).
В одно связной области поле а, у которогоrot а ==Оdi v а ==иО,гармонично.ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.Пусть скалярное поле и, а также векторные поля аи Ь дифференцируемы на П, спостоянный вектор. Показать, ис-V, что:1) div( иа) == (grad и, а) + u div а, т. е.(V,ua) == (Vu, а) +u(V,a);2) div[a, Ь] == (Ь, rot а) - (а, rot Ь), т. е.(V, [а, Ь]) == (Ь, [V, а]) - (а, [V, Ь]);3) rot[c, а] == с div а - (с, V)a, т. е.[V, [с, а]] == c(V, а) - (с, V)a.А 1) Сначала преобразуем выражение (V, иа) сренциального характера V:пользуя правила действия сt(V, иа) == (V, uа)ЗдесьVtUсоединен операциейВо второма)(3)==(37)учетом диффеtа).(38)tV,не переставляя их:кut(У" и, а).с и, поэтому опускаем метку:(У" Й,а) == (Vu, а) == (gradu, а).слагаемом из (38) выносим скаляр и, переставляя(V, Uи, посколькуVtа)== u(V,соединен операциейку:(V, utа)(9)[а, Ь])V:tс векторома, опускаем мет-== u(V, а) == u div а.Имеем(V,его са),Складывая результаты, получаем равенство2)(36)+ (V, uВ первом слагаемом перенесем скаляр(V,(35)(35).t== (V, [а, Ь]) + (V, [а,tЬ]).Для первого слагаемого воспользуемся формулой циклической перестановкив смешанном произведении(р, [а, Ь])иполучим(V,t[а, Ь])==(Ь, [р, а])==(Ь,[V,tа]).Сffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ§ 12.Здесь303V соединен с а операцией (10), поэтому метку можно опус-тить:(V,t[а, Ь])==(Ь,[V, а]) ==(Ь,rot а).Во втором слагаемом сначала совершим перестановкуtt[a,b]==-[Ь,а],затем преобразуем его, как и первое, и получим(V,t[а, Ь])== -(V,t[Ь,а])==t-(а[V, Ь])Сложив результаты, придем к равенству3) ИмеемПоскольку сt[У" , [с , а]]== const,-(а,==[V, Ь]) == -(a,rotb).(36).t+ [У" , [с, а]].== [V, [с , а]]результат действияVна с есть нуль, поэтому и первое слагаемое равно нулю.
Для второго слагаемого воспользуемся формулой преобразования двойного векторного произведения[р, [с, а]](р, а)с==z(р, с )а.-Получим[V,[с, а]]== [V,t[с, а]]== (V,tа)с- (V, с)tа.ПереставивV и с в произведении (V, с)(это будет символ вида (7)), придем ктребуемому результату:[V,[с, а]]== (V, а)с -(с,АV)a.в2. Найти поток поля а ==== у i + z j + х k через поверхность S ==При м е р== {vгx + УГУ + vгz ==уут}, нормаль на которой направлена от начала координат.А Очевидно,div а ==О. Воспользуемся теоремой Гаусса-Остроградского. Рассмотрим областьРис."криволинейныйG -тетраэдр" ОАВС (рис.12.112.1). Часть его границы, лежащую в плоскости Оху, обозначим В1, в плоскостиOyz -В2, В плоскостиВ3. Потоки поля а через В, В1, В2, В3 (нормаль -Ozx внешняя к G)обозначим соответственно П, П 1 , П 2 , П 3 ' По теореме Гаусса-Остр 0градского11111(a,n)dS =aGт.
е. ПdivadV =О,G+ П 1 + П 2 + П 3 == О,а ПВычислим, например, П 3 :ПЗ===11-(П 1+ П 2 + П 3 ),(a,n)dS.5зЗдесь n == (О; -1; О), а == zjнейном треугольнике АОС+ х k.-За параметры на В3 - криволивозьмем х и z. Дуга АС задаетсяГл.304Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.уравнением vгx + vгzУГТ, т. е. х====-(УГТ(vГr-vГz)2rПЗ11 (- z) dx dz 1z dz 1== -ОАСО3.3dx = -;0 .ОТаковы же П 1 и П 2 . Следовательно, ППри м е рvГz)2, О ~ Z ~ Т.
Находим== 3 . r З /30 ==r З /10.АДоказать формулуА По формуле(35),полагая а(27).== Vv,получаем== (Vu, Vv) + u(V, Vv).что (V, Vv) == divgradv == ~v, находим(Vu, Vv) == div(uVv) - u ~v,div(u Vv)Отсюда, учитывая,и, следовательно,111 (Vu, Vv)dV 111 div(uVv)dV - 111 u~vdV.=GПолагая аформулу+G== u V v(23),Gи применяя к первому слагаемому правой частиполучаем(27).А+При м е р 4.
Пусть ( - часть линии пересечения эллипсоида х 2у2/4Z2 == 1 с цилиндром х 2 у2 == 1, лежащая в замкнутой++Рисобласти х?о,z?о (рис.12.2)12.2и ориентированная по возрастаниюординат точек. Найти работу поля а1)вдоль(; 2)вдоль (1 -части== у i + х j + z k:(,лежащей в первом октанте.1) Легко найти, что rot а == о.
Воспользуемся формулой Сток(19). Замкнем ( дугой (' == АС (см. рис. 12.2), лежащей в пересеАсачении эллипсоида с плоскостью Oyz. Контур Г == АВСАчасти S поверхности эллипсоида. По формуле (19)1adr 1(n,rota)1adr + 1adr=sгОтсюдаdS =,"=о.о.-это крайСffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ§ 12.Дугузамкнем отрезком('АС,направленным отчившийся контур служит краем части плоскостиrot а==305А к С.Oyz.ПолуИз того, чтоО, как и выше, получаемJadr+ J adr=O.АС"На отрезке АСа = уi +поэтомуadr ==V; k,dr =оJ adr=O.и(О; dy; О),АСОтсюда следует, что и2)СпособJadr = О, ,Jadr = О."Вычислим работу по1.параметризацию==COS<р,у==SlП <р,из уравнения эллипсоида получаеманепосредственно, используяПолагая('.х('о ~ <р ~ 7г /2,V; siшр. Тогда на "('z =..· уЗ.k== SlП<р 1 + COS <р J + 2SlП <р ,dr = ( - sin 'Р i+ COS 'Р j +V; COS 'Р k ) d'P,поэтому7r/2J J (- sin2 'Р + cos2 'Р + ~ Sin'PCOS'P) d'P=о11."с пособКонтурrвзаимно однозначно=~проектируетсянаось Оу.
Опустим перпендикуляры из точек контура на эту ось. Ониобразуют гладкую поверхность, край которой состоит, кромеиз ломаной С DO Б. Используя формулуJadr+ J adr+ J adr+ J adr=O.лучаем"На ОБ(19) и то, что rot ааCD== xj, dr == i dx,adr ==ОБDOопоэтомуиJ adr=O.ОБАналогично,J а dr О. ПоэтомуJadr = - J adr == J adr.=DO20"Под ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.3CDDC(',==ещеО, поГл.306НаDCа2.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы== i + z k, dr == k dz,поэтому.;3/2J а dr J z dzТаким образом, как и ранее, Jа dr ~==~ОCD=J."ЗАДАЧИ1. Найти поверхность уровня поля и == х 2 - у2 + z2, содержащуюточку: а) (1; 1; 1); б) (1; 2; 1).2.
Написать уравнение нормали в точке (2; 2; -2) к поверхностиуровня поля и == arccos(zjJx 2 +у2), проходящей через эту точку.3. Пусть а и Ь -постоянные векторы, а1: О,Ь1: О, r == (х; у; z).Найти поверхность уровня поля:1) и == (а,г). 2) и == е(а, b,r)(Ь, г),.4. Найти поверхности уровня поля и+J((x - 1)2 + у2 + z3 И шахи на сфере х 2== J(x + 1)2 + у2 + Z2 ++ у2 + Z2 == R 2.5. Найти поверхности уровня поля и == z j J х 2шiпи в шаре (х -1)2 + (у -1)2 + (z - -V2)2 ~ 1.6.Найти+ у2 + Z2И шах и,grad и(Мо ), если:1) и == ху + yz + zx; Мо (l; 1; 1);2) и == ln(x 2 + у2 + Z2); Мо (l; 1; -1);3) u==9(x+y+z)jJX 2 +y2+ Z2; Мо (1;-2;-2);4) и == zex2+y2+z2; МО(О; О; О).7.
В каких точках grad(x + у2 + 18z 3 - 3xyz):а) перпендикулярен оси Oz;б) параллелен оси Oz; в) равен нулю?8. Найти угол между gradu(M1 )arctg(xj(y+x))иgradu(M2 ),если:1) и == (х + у)е Х + У ; М1 (0; О), М2 (1; 1);2) и == arctg (xj(y + z)); М1 (1; 1; О), М2 ( -1; О; 1);3) u==xj(X 2 +y2+ Z2); М1 (1;2;2), М2 (-3;1;0);4) u==zjJX 2 +y2+ Z2; м1 (з;vГз;-2), м2 (vГз;1;2vГз).9. На поверхности уровня поля и == xj(x 2 + у2 + Z2), проходящейчерез точку(1; 1; 1),найти наименьшее значение I grad ul.10.
Найти inf I grad ul и sup I grad ul в области 1ли и == zjJx 2 + у2 + Z2.< z <2, ес§ 12.11.ПустьuиСffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ307дифференцируемые поля, а иv -числа.j3 -Доказать, что:+ v) == grad u + grad v; 2) grad( аи) == а grad и;grad(au + j3v) == agradu + j3gradv;grad( uv) == v grad u + u grad v;1) grad( u3)4)5) grad ( :) = v grad и ~ и grad v, v -::f- О.12. Указать в R3 такие дифференцируемые поля u и v, что векторы \lu и \lv не коллинеарны ни в одной точке (для обычного вектора р векторы ри и pv обязательно коллинеарны).13.
Пусть u - дифференцируемое поле, f(t) - дифференцируемая функция, t Е R. Доказать, чтоgr ad f (и) == f' (и) gr ad и.14.Пустьuиv -цируемая функция,дифференцируемые поля,Е(t;s)R2.f(t;В)дифферен-Доказать, что~{ (u;v)gradu+ ~~ (u;v)gradv.постоянные векторы, r == ix + j у + kz, r == Irl.gradf(u;v) =15.Пусть а и ЬНайтиgrad и,т; 2) u-если:1) u ==== г 2 ; 3) u == 1/ т; 4) u == ln т; 5) u == (а, г) ;6) u == (а, Ь, г); 7) u == (а, г)(Ь, г); 8) u == I[a, r]1 2 .16. Доказать, что grad и(М) перпендикулярен поверхностиуровня поля и, проходящей через точку М.17. Пусть u - непрерывно дифференцируемое поле, ио == и(Мо ),\lu(Mo) 1: О; lo - нормаль в точке Мо к поверхности уровня u == ио.1) Доказать, что существуют такие окрестность точки Мо и числоIclсо > О, что при всех с,< со, в этой окрестности есть только однаточка пересечения М == М(с) нормали lo с поверхностью уровня u ====ио+ с;2) найти длину отрезка М МО с точностью до о(с) при с ---+ о.18. Пусть гl и Г2 - радиус-векторы двух фиксированных точек, r == i х + j у + k z,!r- rj! = Jr--(X--X-j)-2-+-(-у--уз-'2-+-(-Z-+-Z-j)-2 ,)uДоказать, чтоgrad uные углы с векторами== Ir -Гl1+ Ir -j== 1, 2,Г21·в точке с радиус-вектором r составляет равr -гlиr -Г2.Объяснить, используя это,оптическое свойство эллипсоида.19.Пусть функцияf (Т)дифференцируема, r== Irl·Доказать, что \lf(r) == f'(r) ~.r20*== i х + jу+ k z, r ==Гл.3082.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
