1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Означает ли это, что данное поле несоленоидальнопритомопределениисоленоидальности,котороепринятов этом параграфе?117. 1)Пусть А 1 И А 2 -зать, что поле Ь2)пусть А-доказать, что А118.==А1 -векторные потенциалы поля а; докаА 2 безвихревое;векторный потенциал поля а, поле Ь безвихревое;+Ь-также векторный потенциал поля а.Проверить соленоидальность поля а и найти его векторныйпотенциал, если:1) а == с, с -постоянный вектор;2) а == 2ух k;§ 12.Сffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ3193) a==zi+xj; 4) a==yi+zj+xk;5) а == 3 у 2 i - 3х 2 j - (у2 + 2х) k; 6) а == ye Z i + ze X j + хе У k.119. Доказать, что если векторное поле а непрерывно дифференцируемо и соленоидально в области G, звездной (см.
задачу 30) относительно точки Мо(Го) Е G, то1А(М)! [a(ro + t(r - ro)),r] tdt=о-один из его векторных потенциалов (го и градиус-векторы то--чек Мо и М).Найти векторный потенциал магнитного поля бесконечного120.прямого проводника постоянного токаводнику, см. задачуростьюv,(ось О z направить по про99).Электрический121.1зарядq,движущийсяспостояннойскосоздает в пространстве (вакууме) в фиксированный момент времени магнитное поле напряженностиН(М) == [qv, г]41ГТ 3где г-'вектор с началом в заряде, а концом в М,r ==Irl.Найти векторный потенциал этого поля.122.Доказать, что векторные линии соленоидального поля либозамкнуты, либо оканчиваются на границе области определения поля.123.Доказать, что поток соленоидального поля через поперечноесечение его векторной трубки одинаков вдоль всей трубки.124.в [2,Пустьа и Ьu -дваждынепрерывно дифференцируемое поледифференцируемые поля в [2,-а==Ь+ grad и.Доказать, что для того, чтобы поле Ь было соленоидальным, необходимои достаточно, чтобы поле125.и== diva.Доказать гармоничность плоского поляа == г / т126.удовлетворяло уравнению д.иu2,г == (х; у),r ==Irl.Доказать гармоничность поля сил тяготения точечной массыполя кулоновых сил точечного заряда.127.Доказать, что потенциал гармонического поля есть функциягармоническая, т.
е. д.и==о.128. Пусть ограниченная область G имеет кусочно гладкую границу JG, функция и, определенная в G, гармонична в G, а grad uнепрерывен в G. Доказать, что:1)!! ~:dS =О, гдеn -нормаль кJG;aG2)если u==О наJG,то u==О вG,т. е. гармоническая функцияоднозначно определяется своими значениямина границе;Гл.3202.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыдu3) если дп==О наJG,то u== const-вт.
е. гармоническаяG,функция определяется с точностью до постоянной значениями своейнормальной производной на границе.129.В условиях задачи128пусть Х Ером Х и радиусом с, лежащий вG.1v=и применив формулу Гринаu(х) = 4~шар с цент-ВзявуЕС,1 l'41Г х - уП Е (Х)G,Yi=-x,(28) к области G \ П Е (Х), доказать, что1(u(У)\7 у Ix ~ yl -Ix ~ yl \7u(у), п(у)) dSy,aGгде нижний символ у указывает переменную точку, п(у)наявнешняя нормальк границе в точке-единичу.130.
Пусть функция u гармонична в окрестности точки Х Е R3 ,SR(X) И f2 R(x) - сфера и шар радиуса R с центром Х, лежащие вэтой окрестности. Доказать теоремы о среднем для гармоническихфункций:1)u(х)111=Ф7Г юu(у) dS;2)u(х)=З47Г ШSR(X)131.QR(X)Из уравнений электростатики(V, Е) ==где Е-111 u(у) dV.Р/со,[V, Е] ==О,поле электрической напряженности, Рделения зарядов, со== const > О,-плотность распревывести заffО1-l Гаусса11 (n,E)dS=~aGО пропорциональности потока напряженности через границу областиG(с внешней нормалью п) и полного зарядаQ,находящегося вэтой области.132.Пусть поле скоростейvдвижущейся сплошной среды потенциально. Доказать, что если среда несжимаема, то потенциалляvuпогармоничен (можно воспользоваться тем, что объемный расходсреды через любую замкнутую поверхность равен нулю).ОТВЕТЫ==1.
а) х 2 - у2 + Z2 == 1; б) х 2 - у2 + Z2 == -2.2. Х - 2 == у - 2 == (z + 2)/2.3. 1) Объединение двух плоскостей (а - СЬ, г)const·,2) плоскость (а, Ь, г) == const.== О,(Ь, г)1: О,С==§ 12.Сffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ3214. {и==2}-отрезоку==z==0, -l~x~l; {u==const>2}эллипсоиды (4х 2 )/(и 2 ) + 4(у2 + Z2)/(u 2 - 4) == 1; шахи == 2V1 + R2.5. Однополостные конусы с вершиной (О; О; О) и осью Oz; шахи ==== cos( 1г /12) == (Jб + VI2) /4, шiп и == sin( 1г /12) == (Jб - VI2) /4.6. 1) (2; 2; 2); 2) (2/3; 2/3; -2/3); 3) (4; 1; 1); 4) (О; О; 1).7. а) ху == 18z 2; б) х == 2 у 2; Z == 1/(3у), у 1: О, у 1: 1; в) (2; 1; 1/3).8.
1) О; 2) arccos( -1/3); 3) arccos( -8/9); 4) 1г /2.9. 1/9. 10. inf I grad ul == О, sup I grad ul == 1/2.15.1) г/т; 2) 2г; 3) -г/rЗ; 4) г/т 2 ; 5) а; 6) [а, Ь];7) а(Ь, г) + Ь(а, г); 8) 2[а, [г, а]].17. E/lgradu(Mo)l.дu21. 1) -д e rrдu2) -дrer+1 дu+ -r1r-д е'Рер+дuдu-д e z ;z1 дuе'Рcos Ф -дер+ -rд()/'tj/ е'Ф.24.1) cos(r, п) == (г, п)/т; 2) -(г, п)/r З ; 3) (п, а); 4) f'(r)(n, г)/т.25. 2и/т, r == vx 2 + у2 + Z2.26. (gradu,gradv)/Igradvl.27. а) z == О; У == х 2 , Х Е (О; 1]; б) z == l/х, у == х 2 , Х Е (О; 1].28. 1) ху == С; 2) х 2 - у2 == С; 3) у == Сх 2 И Х == О, х 2 + у2 1: О;4) 2х 2 + у2 == С, Х 1: о.29.
1) (ав; Ьв 2 ; св), s > О; 2) (ав; Ьв; с/ в), s > О;3) х 2 - у2 == С1 , х 2 - Z2 == С2 .31.1) х==ав, у==Ь, Z==CS, в>О; 2) х==а, y2+ Z2==b 2;3) х == ав 2 , у == Ьв, Z == С, S > О; 4) х == ав, у == Ь/ в, Z == с, s > О;5) l/х - l/у == С1 , Z == С2 .32. 1) г == вго, s > О; 2) г == го + at, а == (а1; а2; аз);3) г == вго, s > О; 4) г 2 == const, (с, г) == const; 5) г == го + ct;6) х 2 + у2 + Z2 == R 2, Х + у + Z == С;7) х == ав, у == Ьв 2 , Z == св, s > о.33. 1) х == cos t, У == sin t, Z == ct;2) l/х -l/z == 1, l/х + 1/(2 у 2) == 4; 3) у == х, Z2 == 2(х 2 -1).34.
х 2 + у2 == R 2, Z == С (ось О Z совпадает с проводником, а понаправлению - с током).35. х 2 + у2 == 4z 2.36. Четверть тора 8(у2 + z2) == (х 2 + у2 + Z2 + 1)2.38. 1) 3; 2) 4т; 3) 2/т; 4) 2х 2 /(х 2 + у2)З/2; 5) 12 ху 2 + 4х З - 6xz.221дх 22д u2д u+ д у 2 + az 2 •(grad и)2 + и div grad и39 . .6.и40. 1)д uПод ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.3(Vu)2+ и.6.и;Гл.322Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.(Vu,Vv)+uд.v.2) (gradu,gradv)+udivgradv41.1) 6; 2)43.(г,с)/т;3)+ 2 f'(r);5) f"(r)42.1)О;(г,с)Г(г)/т;6)r4) rf'(r) + 3f(r);7)О;8)-2(с,г).~; 2) u(т) = 01 + С2 ; 3) u(т)rr44. div v == О, div w == 2ш.u(т)о.=1 д (.46. dlV а -r.-д ra r)rСr Л - З .1 даер-д .+ -rер1 д (_=aaz .1 даер)47.1 ) dlva - - -д ra r + - -д + -д 'r.rд1r(2)zердаер1д (12) dlV а == 2r -дr r a r + r cos Ф -д+ r cos Ф д()/'Ч" аф cos Фер48.
1)(г, а'(г))/т;(и'(т)(г, а)2)+).и(т)(г, а'))/т.50. 1) О; 2) [г, а]/т; 3) [а, Ь]; 4) и'(т)[г, а]/т; 5) о.51.1) i+j; 2) -~i-j+ ~k.452.53. 1)7г /2;61.1)62.(!r aazдерсо~ф(~а:1 ( ,[_даер.дz'2с;54. 1))3[г, с].2).aar _ aaz.! (~(Taдzдт 'тдтер)_aa r )).дер,- ~(а",соsФ));~(~; - ;r(rаф));][1 д( :;:дт (т а "') -'] )-иг,а+иг,а.1r cos Фaar ))д ер .r63.
1) Llu2)2) arccos(3/5).rд (та",) - aa60.:;:1 ( дтдер57. О.2)2Неверно.1 д ( дu):;: дт r дт~ ~ (т 2 дu)т 2 дтдт2+1 д ит2 дер22+д иaz 2 ;2+т21cos 2 Фдuдер2+т21cos Ф~дф(cos Фдu ) .дф64. (О; О; 2ш).68. 1) JrR 2 (a, п); 2) Jrh 3 ; 3) 3JrhR 2 ; 4) 47Г; 5) 4JrR 3 f(R).69. 1) 5/3; 2) 1/4; 3) 2а 4 /3; 4) -27Г; 5) 2у137Г; 6) О; 7) 817Г /8;8) 37Г /16; 9) 457Г; 10) R 4 ; 11) о.70.1) 24а 5 ; 2) О; 3) -7Га 5 /4; 4) 7ГН 3 ; 5) 2R 3 ; 6) R 5 /3; 7) а 2 Ь 2 с 2 /8;8) 167Г / 5; 9) о.71.
4KJdet(aij). 72.1) (24/125)7ГЕ 3 ; 2) 4Е 3 . 84.1) О; 2) 47Г.85. 27Г. 88. 1) О; 2) 27Г.§ 12.Сffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ323Juf(и) du;r290. 1) (r§ - ri) /2; 2) r2 - rl; 3) (r2 - rl) /rl r2; 4)(С,Гl,Г2).5)91.92.94.95.1) (1 + ln 3) /2; 2)4е - 3 - е - 2 ; 3) 15.1) 5; 2) -4/3; 3) о. 93. 1) -па 2 ; 2) 2паЬ.1) 4пvГз/9; 2) о; 3) о; 4) -4п; 5) о; 6) п.1) 2п; 2) о. 96. 2п. 97.
1) 2wп R 2; 2) 2wп R 2 sin а.99.2)а) 41ГI; б) 41ГIsiпа.100.1)~1ГE2;2)vГз1ГЕ 2 .103. 1) да; 2) нет; 3) нет; 4) да. 104. 1) да; 2) нет.105. 2Iarccos(x/Vx 2 +у2).106. 1) ху + yz + zx + С; 2) arctg (xyz) + С; 3) ху + e Z4) r + С; 5) r З /3 + с.+ С;r107.Jtf(t) dt + с.ro112. 1) Потенциально и соленоидально;2) потенциально, несоленоидально.113.1) нет; 2) да; 3) нет; 4) да. 115.
С/rЗ.116.Нет. 118. 1) ~ [с, r] + Ь *); 2) - ху 2 i + Ь; 3) xz i + yzk + Ь;4) -xyi-yzj-xzk+b; 5) -х(х+у2)j+(х З +уЗ)k+Ь;6) -хе У i - ye Z j - ze X k + Ь.120. (-Iln(x 2 + у2)) k + Ь). 121. qv/(4пr).*)21*ь-произвольное безвихревое поле.ГЛАВА3ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ§ 13.Собственные интегралы, зависящие от параметраСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯЕсли при каждом значении а Е Е с R функция f(x; а) интегрируема по Риману как функция от х на отрезке [а; Ь], то интегральI(oo) =! f(x; а) dx(1)аназывают собственным интегралом, зависящим от параметра а.
Наряду с интегралами вида(1)рассматривают интегралы более общеговидаф(о;)Ф(оо)=!f(x; а) dx,(2)<р(о;)зависящие от параметра.1.цияНепрерывностьf(x;интегралапопараметру. Еслифунка) непрерывна в прямоугольникеК=={(х;а): a~x~b, а1 ~a~a2},то интеграл(1)(3)есть непрерывная функция параметра а на отрезке [а1; а2].В частности, если функцияf(x;а) непрерывна в прямоугольнике К и ао Е [а1;а2], тоьlim !f(x; а) dx0;---+0;0ь==!аlim f(x; а) dx,ат.
е. возможен предельный переход под знаком интеграла2.(4)0;---+0;0(1).Интегрирование интегралов, зависящих от параметра.Если функция f(x; а) непрерывна в прямоугольнике (3), то интеграл (1) есть функция, интегрируемая на отрезке [а1; а2], и справедливо равенствоь0;2Ь0;2! (! f(x; а) dx) doo ! (! f(x; а) dOO) dx.=0;1аа0;1(5)§ 13.3.Собственные интегралы, зависящие от nара.метраДифференцированиеметра.
Если функцииf(x;нике(1) -(3),то интегралинтегралов,af(x· а)а) ид~зависящих325отпара-непрерывны в прямоуголь-непрерывно дифференцируемая на отрезке [а1; а2] функция, производную которой можно вычислить поправилу ЛейбницаьJдf ~~ 0:) dx.I' (0:) =(6)аЕсли функцииf(x;af(x· а)а) ид~непрерывны в прямоугольни-ке (3), функции <р(а) и ф(а) дифференцируемы на отрезке [а; а2], аих значения принадлежат отрезку [а; Ь], то интеграл (2) - функция,дифференцируемая на отрезке [а1; а2], причемФ'(о:)=ф(а)J af~~O:) dx.1(~(o:);o:)~'(o:) - 1(ср(о:);о:)ср'(о:) +(7)<р(а)ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИJ(х +7rПри М е р 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
