1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Пользуясь тем, что== 1г при а> о, доказать, чтоsinax dxх2о+СХ)J==cos ах - cos Ьх dxх1Г(Ь - а)22О12.Jе-ах+СХ)Пользуясь тем, чтоdx =~ при а > О, доказать, чтоо+СХ)Jе-ах-е-ЬхЬ- - - - - dxх== ln - ,аа> о,Ь> о.О13.Используя интеграл Эйлера-ПуассонаJe-(ах +2!JХ)dх=j"fе!J2/ ,(19),доказать, что:+СХ)а>О;а21)-СХ)-СХ)а> о;-СХ)-СХ)Jе-(х +а /х )+СХ)5)222v; е-dx =2а ,а > О.о14.Пользуясь тем, чтоЗ8ТЬ, что+СХ)JО23*2е-ах х2ndx==(2n - 1)!!n2 + а1nffа 'nЕN.Гл.356Интегралы, зависящие от nара.метра.
Интеграл Фурье3.Вычислить интегралJ+СХ)15. 1)о.(15-19).+СХ)2a~ dx, а > О; 2)Slnl+хJ2- cos fЗх- - - 2 - - - dx, а> О;е-аххо+СХ)Jcosax(1 + х2)2 dx;о+СХ)6)J ах + 2Ьхах + с dх,2cosа > О, ас - ь 2 > о.-СХ)J+СХ)16. 1)sin axxcos fЗх dx, а> О, (J > О;оJе-ах fЗх d:, а > О; 3) Jхе- sinf3xdx, а > О;4) J х е- cos 2ах dx, n Е N; 5) J е-ахfЗх ~~, а > О;J ах) lal ~17.J ах) lal ~ 2) J ах) а ~+СХ)+СХ)2)sinах22оо+СХ)+СХ)2nх2sinо2о1226)ху!l - х 2О1.dx,ln(l -1221)о2.
/1Х'У1221·dxln(l --х 2'"""оln(l у!1 - х 21.dx'"""+СХ)а>О,(J>O; 4)J1Jn/218.1)ln(l+acosx) dx, lal~l; 2)cos хо+СХ)3)JоJn/222х2а>О,х 2 у!х 2-1'arctg(atgx) dx, а>О;tg хоln(l + а х ) 1n(1 + jЗ2 х 2) dx,arctg ах dx·(J>O;§ 15.Дифференцирование и интегрирование по nара.метру+СХ)4)JJ (е-ln(l+ а?хх2з) arctg fЗх357dx, а>О, (J>O;о+СХ)5)/а2 х2- е-(32/ х 2) dx, аfЗi=- О;о+СХ)6)ln(lJ+ а?х2) ln(l+ jЗ2 х 2)-----4-----dх,а> О,(J>о.хО+СХ)J sin(ax19. 1)+ 2Ьх + с) dx, а > О;2-СХ)+СХ)J cos х cos 2ах dx ;2оо+СХ)4)J sin х cos 2ах dx;2о+СХ)5)е-ахJcos ах -Ье- хcos fЗххdx, а> О,Ь> о.О+СХ)20.Доказать, что функцияи дифференцируема наF(a) ==R.JSlnx1+(x+a)2- - - - - dxнепрерывнаод21.
Доказать, что если а==> О, д > О, тоlimХ---++СХ)vx Je-Vn / a .axt2dt ==-д+СХ)22.при аДоказать, что интеграл Дирихле l(а)1: о==Jsinxax dx имеетопроизводную, однако ее нельзя найти с помощью правилаЛейбница.23.нияВыяснить, допустима ли перестановка порядка интегрировав следующих случаях:+СХ)1)+СХ)J Jdy12Jdx J(х + у)3 dy.+СХ)2у -хх 2 + у2 dx; 2)1lо(х)=~у-хО124. Используя представлениеJlia 10 (х) формулой1бесселевой ФУНJliЦИИ нулевого nоряд7Г/2J cos(xsinB)dB,оГл.358Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурье3.Jе-ах lо(х)+СХ)доказать, что==dx1Vl +аОМногочлены25.Но(х)2чебышева-Эр.мumа==Нn(х)1,а> о.,определяютсяdn2(_l)n е Х dx n (е-2),nеслиmmХЕформуламиN.Доказать, чтоеслина26.
Доказать, чтоR, то функцияu (х; t)если функция==Jf (~) е12ay1Гi- (Х - ~) 2 /-СХ)27.limt---++Oи(х;J е-ах+О+СХ)atdxх212ХоJsin(x - а) dx, аХахе- Хt2==+СХ)2о==аt2dt.д2 uдх 2 и началь-=а2dx==JаvкJe-> о;_х 2х~ +а 2dx,а> о;о+СХ)1vкt2sin 2tx dt.tо+СХ)28. Доказать, чтоJе-Ьх2sin 2Ьх dx = е-оЬ2JeоДоказать, что:+СХ)1)2t) == f(x).+СХ)J vx +3) Je- dt2)29.а 2 t) d~Доказать тождество:+СХ)1)(4дuудовлетворяет уравнению теплопроводностиному условию== n.абсолютно интегрируемаf(x)+СХ)#- n,Jое-ах 2cos Ьх 2 dx== 21~2V2а+va2+ Ь2--2--2-'а +Ьа> о;Дифференцирование и интегрирование по nара.метру§ 15.359ОТВЕТЫ1. 1) 0,5 ln ( Ь / а) ; 2) 0,5 ln ( а / Ь) ; 3) 0,5 ln ( Ь / а) ; 4) ln ( (а + 1) / (Ь + 1)).2.1) пlаl/2; 2) п/2; 3) п/4; 4) п/6; 5) п/4; 6) п/4.3.1) (п/4) signa; 2) п/4; 3) 3паlаl/8; 4) 3п/16; 5) 3п/16;6)5п /32.4.1) 5п/32; 2) пааl/2; 3) пlаl/4; 4) (ljJl-lаl)п/2;5) -п(а + jJ)/2; 6) (2 - а)п/4, если а < 2; О, если а ~ 2.~ ln с: ~ ~5.
1)1а ln а ;2));~ ln ( ~ );3)а (ln а -4)1) ;5) (Ia + ,61 ~ la - ,61)1Г ; 6) О.1(а?)о:j36. 1) "2 ln 1 + jЗ2 ; 2) arctg j3 ; 3) arctg л4)1jЗ2 + Л 2'2 ln а 2 + ).29. (-1)тт!.1г2' ln(a + V1 +5);;1г( 2); 6) ,6 (ajJ - ln(l + ajJ)).1Г(2n - 1)!! .2(2n)!! а 2n + 110.о:т+l1го:arctg л-1гI IJrl0:1315.1) 4 (1- е- а); 2) "2 ljJ1 - Jro; 3) -з-'4) : (2Ial- 1 + e- 21 <>1); 5) : (1 + lal)e-I<>I;6)2vac1г-Ь21::1 vас -Ьа ехр {-cosааЬ2}.16. 1) : (sign (а + jJ) + sign (а - jJ)); 2)3)f..40:f1[ е - (32 / ( 4<». 4) (_ 1) nV ;-5) jJarctg1г2' (1 +а - V1 + (7) 2 ln jJ + 0:2jЗ2+ jЗ21г ln1); 2)25));(о:j3 П1 + Jl 2(о:0:2о: )ln j3 .23)2п [(а6)2;+ jJ) ln (а + jJ) -е - <>2) .'а2а<>,6(3;i2a+)2<>ij3 2(,6): ;3) lnо:2 а+1гfЗ; 6) ,6 ln(ajJ + 1);+ а) .2'ln а - jJ ln jJ] ;4) ; [( а 2 - jJ2) ln( а + jJ) - а 2 ln а + jJ2 ln jJ + ajJ]; 5) J7Г'(ljJl - lal) ;[ajJ(a + jJ) + аЗlп а + jJЗl п jJ - (аЗ + jJЗ) ln( а + jJ)].19.
1)о:2)а(+ j3)а+1г2' ln+ 2 jЗ22'2nd6) -(arcsina)2.18. 1) 1Г _ (arccos 0:)2 . 2) 1г ln(l8~ ln ( 1 + ~2) ;2 + d0: 2n~2);ln(l+1Г( V1 - а 2 -17. 1)4)2: _~,J1i2n 1•f'f sin ( ас+ j32о:arctg:+ j3).ь2+ :);о: - j3-2о: - j3arctg).лл2+ (о: _jЗ)2 .+ 4 ln ).2 + (а + ,6)2 'Гл.3603.Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурье23) J1Г sin (а +:)23. 1) Нет; 2) нет.§ 16.2; 4) J1Г cos ( а +1г4)ь12+ jЗ2"2 ln а2 + 0:2; 5).Эйлеровы и некоторые другие интегралыСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯИнтеграл+СХ)Jxp-1e-Г(р) =X(1)dx,осходящийся при р> О,называют гамма-фУНJliцией, а интегралJx1B(p;q) =1(1-P-X)q-l(2)dx,осходящийся при рИнтегралы>ои(1)и> О,qназывают бета-фУНJliциеЙ.называют также эйлеровыми интегралами(2)второго и первого рода соответственно.Отметим основные формулы для интеграла(1):а) формула nонижения+ 1) == рГ(р),Г(р> О;(3),0<р<1.(4)рб) формула дополнения1гГ(р)Г(l-р)==.SlnJе-1Гр+СХ)Так как Г(l)=dx = 1, то ИЗ формулы (3) следует, чтоХоГ(n+ 1) == n!,n Е N.Связь между бета-функцией и гамма-функцией выражается формулойВ(р· q) ==,r(p)r(q)Г(р+ q),р>О q>О,.(5)ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.Вычислить интеграл Эйлера+СХ)J ;+ х dx, О < а < 1.== J хdx,== J хdx.
Пусть О < х <a-l1=оА Обозначимтогда111о+СХ)a-ll+х12a-ll+х11;§ 1 б.Эйлеровы и Heffomopble другие интегралы361(6)k=OЕслиa-lа Е (О; 1), х Е (О; 1), лх; а) = ; + х' fn(x; а) =n-12) _1)k x "'+k-1,k=OтоIj(x; 0:) - jn(x; 0:)1 ==a 1a 1I x - _ x - (1==Так как1l+хJх -n 1 dx =l+хa n 1x + -+ (_1)n+1 х n ) I ==~ -+ О при n -+то ряд00,l+хn 1~ x -"-2-·можно почленно(6)Оинтегрировать на отрезке [О;сх)[1Jх а+Поэтому1].сх)1== '"" (-1) k~k -1==.!.
+ '"" (-1) .k=Ok=1~ a+kа~ a+kПреобразуя интеграл [2 с помощью подстановки х== -11dtta-1 (1 + 1ft) f2Jполучаемat- dt1+t .О1Интегрируя почленно на отрезке [О;заменой о:== l/t,J==О[2kdx == '"" (-1)Оk=OСХ)k1]ряд, получаемый из ряда(6)на -о:, найдем- 1I = ~(_l)k= ~ (_l)k .~ k+1-a~ a-k2k=Ok=1Следовательно,СХ)I=I1 +I2 +~ + L(-l)k(a:k + a~k)'(7)k=1Воспользуемся известным разложением функции1/ sin z(см.[6])на простые дроби:СХ)_1_sin z== ! + '""(_l)k(~z1z - kJrk=1Полагаяz ==0:1Г, где О< о: < 1,+1Z+ kJr).получаемСХ)1г== .!.+'""(-l)k(sin а1Га~1а- kk=1Из равенств+ а +1 k ) .(8)(7) и (8) следует, что+СХ)JОхa-ll+хdx ==1гSlnа1ГО< о: < 1.А(9)Гл.3623.Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл ФурьеПримерДоказать формулу2.== (1 + t)yА Полагая х(гдеt(5).> О)Jxв формуле(1)+СХ)Г(а)=a1-e- x dx,Ополучаем+СХ)Г(а) == J a-le-(l+t)y d(1 + t)aуу.оПусть а== р + q,где р> О,q> о.Тогда+СХ)Г(р + q) == J yp+q-1e-(1+t)y dy.(l+t)p+qОУмножая обе части этого равенства надо+00,tp -и интегрируя по1Г(р + q) J+СХ)p-l+СХ)dt == J t p- 1 dt J yP+Q-1е-(1+t)у dy.t(l+t)P+QоО-(10)оПреобразуем интеграл в левой части равенствах/(lот Ополучаем+СХ)==t(10),полагаяt ==х); получим+СХ)J1p-ltdt == JX P- 1(1 - X)Q-l dx == В(р· q).(l+t)P+Q,О(11)ОМеняя в правой части равенствапользуя формулу (11), находимпорядок интегрирования и ис(10)Jyp+Q-l е - dy Jt p- e- ty dtJyp+Q-l е - r;r;) dy+СХ)Г(р + q)B(p; q) =+СХ)уо1о=+СХ)у= r(P)r(q),ооткуда следует формулаОбоснованиечастимереперестановки(10) проводится3 § 15.
АПример3.порядка(1)интегрированиявправойаналогично тому, как это делалось в приДоказать формулыА а) В интегралечастям,(5).и(3)заменяем р на(4).р + 1,а затем, интегрируя пополучаемJxPe-хdх+СХ)Г(р + 1) ==_xPe-хl~(Х)об) Полагая в формулеформулу (9), получаемJх - е-+СХ)+рр1Хdx = рГ(р).о(11) q== 1 -р, где О<Р <1, и используя§ 1 б.Эйлеровы и Heffomopble другие интегралы+СХ)р-lВ(р; 1 - р) == ; ; + хdx =3637гSln(12)1ГрОС другой стороны, из равенстваВ(р; 1 - р)== 1.так как Г(l)При м е рИз равенствнаходим(5)==Г(р)Г(l - р),(12)и(13)(13)следует формула(4).АС помощью эйлеровых интегралов вычислить ин4.теграл:а)1[1 = ;3~dxV----;;;- (х _ 2)2;б)+;СХ)[2 =оlnxvгx (х2 + 1) dx.оА а) Применяя подстановку х/(22t--х==tх)-1- tt +1'Следовательно,получаемdx(х - 2)21-х==--+1'== t,dt21==11;t- 1/ 3(1 - t)1/3 dt._1_2ij2"оИспользуя формулы(2), (5), (3), (4) и учитывая, что Г(2)== 1,находим1 - _1 B(~.
i) __1 г(~)г(~)з' 32ij2"1 -=Г(2)- 2ij2"2~ ~ г(~)г(Л = 6~ siп(:/З)б) Полагая х 2== t,1гполучаем1 ==2+СХ).!. ;1/4t4tоВоспользуемся формулой- 1 ln t dt.+1Из этой формулы следует, что интег(12).рал 12 равен производной от функции+СХ)ер (р) ==p1t t + 1 dt1 ;4ов точке р12== 1/4.== !i (dpСледовательно,1г4 sin 1Гр)Iр=1/4== _ 1Г2COS21Гр I4 sin 1Гр р=1/4ЗАДАЧИ1.Доказать равенство;1) В(т;n)==(n - 1)!(т1г(т+n -- 1)!1)!,mEN, nEN;2== _ 1Г V2. А4Гл.3643.Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурье2) Г(а+n)==(а+n-1)(а+n-2) ... (а+1)а·Г(а), nEN;3) B(p;q) == B(q;p), р> О, q> О; 4) Г(1/2) == vп;5) в2.(!.2 ' !)== 7Г.2'6) ГДоказать, что Г(р)(n + !)==2-(2n - 1)!! .
гп2nv 11 ,nЕ N.бесконечно дифференцируемая функция,причем+СХ)r(mJ(p) =xP - 1 (lпх)m е -х dx./О3.Доказать, чтоГ(а)4.l/аf'..Iприа-+ +0и-+ +00Г(а)при-+ +00.аДоказать формулуСХ)Г(а)=(_l)kk! (k + а)L+СХ)+ / х"-l е -Х dx,k=Oа > о.1Доказать, что функция Г(а) является строго выпуклой вверхна интервале (О; +(0).5.6.Выразить через значения гамма-функции интегралы:+СХ)+СХ)1) / хр - 1 е-"Х dx, р > о, а > о; 2) / е-ха dx, а > о;ОО+СХ)3) / x"e-ХfЗdx,а > -1, (3 > о;О+СХ)4) /е- а / 2х2 dx " а > О n Е N·,_1_х n+ 1О5)1)1 (ln х/а-1x f3 - 1 dx, а+/СХ)> о, (3 > о; 6)О1+СХ)7)d(lnx)P x~' р> -1;/е_e;I)ерх d+СХ)х,р> О ; 8) /-СХ)(1+dxх 2 )а'а>12ОИспользуя эйлеровы интегралы, вычислить интеграл27. 1) /О2dx{/х (2-Х)2; 2) /dx{/(2-х)(1+х)3-123) /2dx-2. 4) /{/(2 + х)3(2 - х) ,dx.О {/х 3 (2 - х)2 '25) / V(2 - х)2(х - 1) dx; 6) /1;О3dx{/х 3 (З- х)3 .(7-12).§ 1 б.128.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
