1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Совокупность всех граничных точек множества Е называют его границей и обозначают дЕ.Множество, которое нельзя представить как объединение двух непустых непересекающихся замкнутых в их объединении множеств,называютсвязным.§ 18.МетрuчеСffuе пространства381Связное открытое множество называют областью.МножествоЕ с Хназываютплотным в метрическомпространстве х, если замыкание Е множества Е совпадает со всем пространством Х:==ЕХ.Метрическое пространство называют сеnарабельным, если в немсуществует счетное плотное множество.3.Полные метрические пространства. Компакты.
Последовательность (Хl;... ; Х n ; ... )точек метрического пространства называют фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого Еи r,n>О> nЕсуществует такой номер n Е , что для всех номеров> nЕnвыполняется неравенство< Е.р(х n ; Х т )Метрическое пространство называют полным, если всякая фундаментальнаяПолноепоследовательностьметрическоееготочекпространствосходитсяХ*кегоназываютжеточке.пополнениемметрического пространства Х, если Х С Х* и Х плотно в Х*.Множество в метрическом пространстве называют ffOMnaffmOM,если из любой последовательности его точек можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к его точке.Если замыкание множества в метрическом пространстве являетсякомпактом, то такое множество называют npeaffOMnaffmHblM.Связный непустой компакт называют ffонтинуумом.ПустьЕ> о.Еподмножество-метрическогопространстваХиМножество А с Х называют Е-сетью для множества Е, еслидля любой точки Х Е Е существует такая точка у Е А, что р(х; у)< Е.Множество метрического пространства Х называют вполне ограниченным, если для него при любом Евует конечная4.>ОВ пространстве Х сущестЕ-сеть.Отображения метрических пространств.
Пусть Х и Уметрические пространства. Отображениеf:Х---+-у называют непрерывным в тОЧffе Ха Е Х, если для любой последовательности точекХ n Е Х, n== 1,2, ... ,такой, чтоlimn---+оо==Ха, имеет место равенствоlimf (Х n) == f (Ха) .limf (Х) == f (Ха) .n---+оов этом случае пишутХnх---+хоЭто определение равносильно следующему (см. задачуражениеf:Х---+отобу называют непрерывным в тОЧffе Ха Е Х, еслидля любой окрестностиVность И точки Ха, чтоf(U)---+ уОтображение168):f:Хточкисv.f(xa)существует такая окрестназывают непрерывным отображением(пространства Х в пространство У), если оно непрерывно в каждойточке Х Е Х.382ОтображениеГл.4.Введение в ФУНffциональный анализf:Х---+У называют равномерно непрерывным на Хотображением, если для любого Е>О существует такое бдля всех точек х Е Х, х' Е Х, дЛЯ которых р(х'; х)неравенство p(f(x'); f(x)) < Е.Последовательность отображений fn: Х ---+ У, nют равномерно сходящейся к отображениюЕ>ОХf:< б,---+ У,Отображениеет такое числоf:Х---+<qОq,f:если для любогоP(fn(x); f(x)) <<1,fnЕ.> nЕчто для любых точек х Е Х,p(f(x);f(y))Х---+ У~и всехУ Е Хqp(x;y).является биекцией и отображениетак же, как и обратное ему отображениеми, то отображениеназываХ называют сжимающим, если существувыполняется неравенствоЕсли отображениеО, чтовыполняется== 1,2, ...
,существует такой номер n Е , что для всех номеровточек х Е Х выполняется неравенство>f-1f,являются непрерывны,называют гомеоморфным отображением пространства Х на пространство У.ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.Доказать, что множество В(Е) всех ограниченныхна некотором множестве Е функций, принимающих действительныезначения, является метрическим пространством с метрикойр(х;у)== sup Ix(t) - y(t)l.(1)tEEА Из формулыДокажем свойство(1) сразу следуют свойства 1) и 2) расстояния.3).
Если x,y,z Е В(Е), то для любого t Е Е имеемIx(t) - y(t)1 == I[x(t) - z(t)]поэтомуIx(t) - y(t)1~+ [z(t)~- y(t)]1sup Ix(t) - z(t)1+ sup Iz(t)ЕоткудаПри м е р2.Доказать, что множестводовательностей х==(Х1;- y(t)l·Еозначает, что р(х; у) ~ р(х;(1)- y(t)l,- y(t)l,+ sup Iz(t)ЕЭто В силу формулы+ z(t)Еsup Ix(t) - y(t)1 ~ sup Ix(t) - z(t)1ЕIx(t) - z(t)1... ; х n ; ... )l2z)+ p(z; у).Авсевозможных последействительных чисел, для кото-00рыхLx~< +00, является метрическим пространством с метрикойn=100р ( х; у )def==(2)А Пусть000000LX~ < +00,LY~ < +00,LZ~ < +00.n=1n=1n=1(3)§ 18.МетрuчеСffuе пространстваДля любого натуральногоm383выполняется неравенствотак как оно представляет собой неравенство треугольника в пространствеRmПерейдя к пределу при.m ---+в этом неравенстве,00получим00L(x n - уn)2 ~(4)n=1Положив здесь Zn==О,n == 1,2, ... ,будем иметь~(xn-yn)2 ~ Jf;x;+Jf;y;.Из этого неравенства следует, что определение(2)имеет смысл:если выполняются условия (3), то ряд, стоящий в правой части равенства (2),сходится.
Неравенство (4) является, очевидно, неравенством треугольника для метрики (2). Выполнение же свойств 1) и 2)метрики непосредственно следует из формулы (2). АПример3.Доказать, что множество открыто (замкнуто) тогдаи только тогда, когда его дополнение замкнуто (открыто).А Еслиоткрытое множество метрического пространства Х,G-то никакая точка Х ЕненияF ==ХGне является точкой прикосновения его дополтак как множество\ G,G,будучи открытым, являетсяокрестностью точки Х и не содержит точек множествательно, все точки прикосновения множестваFF.Следовасодержатся в нем, чтои означает его замкнутость.ЕслиF -замкнутое множество,лу замкнутостиFG ==Хи Х Е\ FG,то в ситочка Х не является его точкой прикосновения, апоэтому существует ее окрестность U(х), не пересекающаяся с множествомFи, следовательно, такая, что U(х) Елюбая точка х ЕGG.Таким образом,является внутренней, а это и означает, чтоG -открытое множество.Итак, множествополнениевоFF ==Х\ GGоткрыто тогда и только тогда, когда его дозамкнуто.
Отсюда сразу следует, что множестзамкнуто тогда и только тогда, когда его дополнениеоткрыто.G ==Х\ F(см. пример2).АПри м е р4.Доказать полноту пространстваl2А Пусть последовательность точекх(т)== (x~т); ... ; x~т); ... ),m == 1,2, ... ,является фундаментальной последовательностью в пространствеСледовательно, для произвольно выбранного Е>Оl2.существует такойГл.3844.Введение в ФУНffциональный анализномер n Е , что для всехk, m> nЕвыполняется неравенство00L(x~k) - x~т))2p(x(k); х(т)) ==< Е.(5)n=1Поскольку для каждогоnЕNимеет место неравенство00L(x~k) - x~т))2,n=1то изn числовая последовательность (x~т); ... ; x~т); ... ) является фундаментальной, а поэтомусходится.
Пусть lim x~т) == х n ; покажем, что тогда(5)следует, что для любого фиксированногот---+ооХ == (хl;в самом деле, изи всехk, m(5)> nЕ... ; х n ; ... )Е l2Иlim х(т) == х.т---+ооследует, что для любого фиксированного по ЕNвыполняется неравенствопоL(x~k) - x~т))2< Е.n=1Перейдя здесь к пределу сначала приполучим, что для всехm> nЕk ---+00,а затем при по---+ 00,выполняется неравенство00L(X n-x~т))2 ~ Е.(6)n=1Из х(т) Е l2 следует, что00x~т)2L< +00,(7)n=1а поэтому изJt;x;(6)иполучаем(7)00=L[(x n-x~т))+ x~т)]2n=1~0000L(x n-x~т))2+n=1x~т)2L< +00.n=1l2, а тогда в силу произвольного выбора Е > Оусловия (6) при m > n Е означает, что lim х(т) == х.
АИтак, х Евыполнениет---+ооЗАДАЧИ1.Доказать, что для любых трех точек х,пространства)(справедливо неравенствоIp(x; z) -р(у;z)1~ р(х; у).у,zметрическогоМетрuчеСffuе пространства§ 18.2.385Доказать, что для любых четырех точек х, У, и,метричесvкого пространства Х справедливо неравенствоIp(x;u) - p(y;v)1 ~ р(х;у)3.+ p(u;v).Доказать, что нижеуказанные функции являются метрикамина соответствующихмножествах:1) р(х;у) == Ix - yl на множестве всех действительных чисел R,х, У Е R;2) p(z;w)Iz - wl на множестве всех комплексных чисел С,z, w Е С;n3)р(х;у)на множестве точекL(Xi - Yi)2i=lnn-мерногоnпространства R , Х == (Хl; ...
; Х n ), У == (Уl; ... ; Уn) Е R ;4) р(х; У) == sup Ix(t) - y(t)1 на множестве Вс(Е) всех комплексtEEнозначных функций, ограниченных на произвольно заданном мно-жестве Е;5) Р(Х; у) =! Ix(t) - y(t)1 dt на множестве CL (G) всех функций,1Gнепрерывных на замыканиимножестваGсnRGоткрытого измеримого по Жордану;! Ix(t) - y(t)1 dt на множестве CL (R) всех функций,+СХ)6) Р(Х; у) =1-СХ)непрерывных и абсолютно интегрируемых на числовой оси7) р(х;у) =R;![x(t) - y(t)]2 dt на множестве CL 2(G) всех дейстGвительных функций, непрерывных на замыканииримого множестваGсnRGоткрытого изме;! [x(t) - y(t)]2 dtСХ)8)р(х;у)==действительных непрерывных наRна множестве CL 2(R) всехфункций, у которых сходится! [j(t)]2 dt.+СХ)интеграл-СХ)4.тей хДоказать, что множество==(хl;lCX)всевозможных последовательнос...
;х n ; ... ) действительных чисел, для которых sup Ixnl< +00, является метрическим пространством с метрикой== sup Ix n - Ynl, х == (хl; ... ; х n ; ... ), У == (Уl; ... ; уn; ... ) Е lCX).nр(х; у)<==n5.Доказать, что множествоследовательностей х25==(хl;lp, 1~ р< +00,всевозможных по... ; х n ; ... ) действительных чисел, для кото-Под ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.34.Гл.386Введение в ФУНffциональный анализ00рых2:: Ixnl< +00, является метрическим пространством с мет-Pn=1р(х;у)рикой00(2::Ix n - у n I Р )=l/р,n=16.Будут ли образовывать метрические пространства последова...
; х n ; ... ) комплексных чисел с метриками, введенными в задачах 4 и 5 (Хn,Уn Е С,n == 1, ... ,2, ... )?тельности (Х1;7.Доказать, что множествонепрерывных на замыканиимножествакойGсRn,GCLp(G), 1 ~ р < +00,открытого измеримого по Жордануявляется метрическим пространством с метри-JIx(t) - y(t)IP dt) l/ .Является ли метрикой функция р(х; у)JIx(t) - y(t)1 dt нар(х; у)Р= (ЬG8.всех функций,=амножестве всех функций, интегрируемых по Риману на отрезке [а; Ь]?<Пусть (а; Ь) - конечный или бесконечный интервал: -00 ~ аЬ ~ +00. Доказать, что множество CLp(a; Ь) всех непрерывных на9.<Ьинтервале (а; Ь) функций, для которых интегралJIx(t) IP dt сходится,аявляется метрическим пространством с метрикойр(х; у) = (ЬJIx(t) - y(t)IP dt)1/Р.а10.Являетсядействительных2лиметрическимчисел, еслипространствомпод расстояниеммножествомеждухиувсехпонимать sin (x-y)?11.Является ли метрическим пространством множество точекокружности,еслирасстояниеммеждуточкамисчитатьдлинунаименьшей дуги, соединяющей данные точки?12.Является ли метрическим пространством множество всех непрерывно дифференцируемых на отрезке [а; Ь] функций, еслир(х; у)13.тей хшах Ix'(t) - y'(t)l?[а;Ь]Является ли метрическим пространством непустое множество Х, если р(х;у)14.==Будет==функция(Х1;00ли==наО при х==у и р(х;у)множествевсех== 1при хчисловых...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
