1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 55
Текст из файла (страница 55)
1) Сходится равномерно; 2) сходится равномерно;3) сходится равномерно; 4) сходится неравномерно;5) сходится равномерно; 6) сходится неравномерно.14. 1) Сходится равномерно; 2) сходится равномерно;3) сходится неравномерно; 4) сходится неравномерно;5) сходится равномерно; 6) сходится равномерно.17.
1) Непрерывна; 2) непрерывна; 3) непрерывна;4) непрерывна; 5) непрерывна;6) непрерывна при а i: ±1; а == -1 и а == 1 - точки разрыва.18. 1) Непрерывна при а i: О; а == О - точка разрыва;2) непрерывна; 3) непрерывна; 4) непрерывна.22. Нет.Гл.3463.Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл ФурьеДифференцирование и интегрирование по параметру§ 15.несобственных интеграловСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Дифференцирование несобственного интеграла по параметру. Если функцииf(x;G=={(x;a):а) и f~(x; а) непрерывны на множествеa~x<+oo,a1~a~a2},+СХ)интеграл I(oo)J f(x; а) dx сходится при каждом а Е [001; 002], а ин-=Jf~(x;oo)dx сходится равномерно по а на отрезке [001;00], тоI'(oo)Jf~(x;oo)dx(1)+СХ)тегралаа+СХ)=апри а1 ~ а ~ а2 (правило Лейбница).2.Интегрирование несобственного интеграла по параметру.
Если функцияf(x; а)G=={(x;a):непрерывна на множествеa~x<+oo,a1~a~a2}+СХ)и интегралJ f(x; а) dxравномерно сходится по а на отрезкеа[а1; а2], то справедлива формулаСХ2+СХ)+СХ)СХ2Jdoo J f(x;oo)dx Jdx Jf(x;oo)doo.=а(2)аЕсли f(x; а) ~ О на множестве G, то равенство (2) остается всиле также и для бесконечного промежутка (а1; (2) в предположении,что внутренние интегралы в равенстве (2) являются непрерывнымифункциями и хотя бы одна из частей равенства (2) имеет смысл.Если функцияf(x;а) непрерывна на множествеG == {(х;а): а ~ хинтегралы< +00,+СХ)J f(x; а) dxс ~ а< +оо},+СХ)J f(x;oo) dooиассходятся равномерно соответственно по а и х на отрезках [c;~] и[а;1}] при каждом фиксированном ~ Е (с; +(0) и 1} Е (а; +(0) и если,кроме того, хотя бы один из повторных интегралов+СХ)+СХ)+СХ)+СХ)Jdoo J If(x; 00)1 dx, Jdx J If(x; 00)1 dooсаас§ 15.Дифференцирование и интегрирование по nара.метру347СХОДИТСЯ, ТО сходятся и равны между собой оба повторных интегралаот функцииf,т.
е.+СХ)+СХ)+СХ)+СХ)Jda J f(x;a)dx Jdx J f(x;a)da.(3)=саасПри вычислении несобственных интегралов часто используютсяуказанные ниже интегралы> О,Если а(4)-(7).то для любогоj3Jе-ахЕRсправедливы формулы+СХ)11 ==cos (3х dx =о:+ (320:2ОJе-ах sin(3xdx(4)'+СХ)12 ===(30:2+ (32(5).ОФормулыможно получить, используя метод интегрирования(4), (5)по частям.Если функцияfнепрерывна на промежутке [О;дого А > О сходится интеграл+(0)и для кажJ f~) dx, то при любых а > О, Ь > О+СХ)Асправедлива формула Фруллани+СХ)f (ах) - f (Ьх) dx == f (О) ln ~ .JJ f~) dx, где 1 х(6)аОЕсли интеграл+СХ)непрерывная на промежуткеА[а;=+(0)функция, расходится, но существует конечный1(+00) и, кроме того, сходится интегралJ+СХ)f(x) -limХ---++СХ)f(x) ==!(+оо) dx, то,Априменив формулу(6)f(x) == f(x) - f( +(0),получим ра-== (f(O) - f( +(0)) ln ~.(7)к функциивенство+СХ)Jf(ax) - f(bx) dxхаОПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.Вычислить интеграл ДирихлеJ+СХ)оSinxax dx.(8)Гл.348Интегралы, зависящие от nара.метра.
Интеграл Фурье3.А Пусть а> о.Рассмотрим интегралJе-(3Х+СХ)Ф(а;,8)=,8 > о.dx,Sinxax(9)о>При фиксированном j3О интеграл (9) сходится для каждого ао по признаку Дирихле сходимости несобственных интег-1:1ралов, так как функцияафункциянуюsin ах- е-(3Х убывает на промежутке (о; +(0),имеетхпри1:аоC;:S ах ). При а(] sin at dt = 1 -ограниченнуюО интеграл=первообраз-равен ну(9)олю. Кроме того, интегралJе-(3Х cosaxdx,+СХ)К(а;,8) =ополученныйиз(9)дифференцированиемфункции, сходится равномерно поарасса.
Используя правило ЛейбницаФ~ (а;,8)=К( а;,8)на(1)поаподынтегральнойпо признаку ВейерштRи формулу+СХ)Jе-(3Х cos ах dx==002(4),получаем~ fЗ2 •(10)оИнтегрируя на отрезке [о; а] равенствоаФ(а;j3) - Ф(О;j3)== j3Jt2(10),dtнаходим+ (32 ==аaretg (3.оТак как Ф(О; jЗ)== о,ведлива формулат. е.то отсюда следует, что при любомФ( а; jЗ)j3>Оспра== aretg (а/ jЗ),+СХ)Jе-(3х sinaxdх -- are t g (3а.х(11)о>Вычислим интеграл (8), считая, что ао.
Заметим, что при каждом фиксированном а > О интеграл (9) сходится равномерно по j3 наотрезке [о; 1], так как функция sin ах имеет ограниченную перво> О фиксировано), а функция 9 == е-(3Х / х монотонно< О при х > о, j3 ~ о ) и g(x; jЗ) =4 О при х -+ +00 на отобразную (аубывает (g~резке [о; 1]. По признаку Дирихле интеграл (11) сходится равномернопо j3 на отрезке [о; 1]. Из равномерной сходимости интеграла (11) инепрерывности функции е-(3ХSlnах на множествехG =={(х; jЗ): О ~ хследует непрерывность поj3частности, непрерывность по< +00,О ~ j3 ~1}функций Ф(а;j3) на отрезке [о;j3этой функции справа в точке1]j3и, в==о.Дифференцирование и интегрирование по nара.метру§ 15.Это означает, что в интегралеj3 ---+ +0349можно перейти к пределу при(11)под знаком интеграла. Следовательно,J+СХ)·11т(3---++0J+СХ)-(3х sinax dхе==хО1·1т are t g== (3---++0sinax dххОУчитывая, чтоslnax-аj31г2нечетная по а функция, получаемх+СХ)Jsin ах dх== "21Г.slgn а,хRа Е(12).
АоПри м е р2.Вычислить интегралы ЛапласаJ+СХ)1 (а) ==ОА Пусть а> о.cos ах dxи1 + х2К (а) ==sincosax+ х2Так как функция 1(ахJ +~cosда1Оих, а интеграл +СХ)ОJ х + а2х dx.+СХ)х1хнепрерывна при любых а+СХ)) dx2== -J х + ах dxsin1Осходится равномерно по а на отрезке [ао;меняя правило Лейбница (1), получаемl' (а) == -Jх+СХ)где ао+(0),> о,то, приsin а х dx.l+xоСкладывая почленно равенствох22(13)с равенством(13)+СХ)J1г2sinxax dx,гдеа> о,онаходим['(а)+СХ)J(+;..Sln ах _ х Sln ах ) dxО1 + х2х==J+СХ)О.Sln ах dx.x(l + х 2 )Дифференцируя полученное равенство почленно, имеемJ+СХ)1" (а)==оcos a~ dx.l+xТаким образом, функция l(а) удовлетворяет дифференциальномууравнению 1"(а)-l(а)==о, общее решение которого имеет видl(а)==С1 еЗаметим, чтоа+ С2 е-а.(14)+СХ)11 (а) I ~ 1 (О)==JОdx1 + х21г2Гл.350Интегралы, зависящие от nара.метра.
Интеграл Фурье3.---+ +00, а е ---+ +00 при а ---+ +00. Отсюдаследует, что в формуле (14) С 1 == о, И поэтому l(а) == С2 е- а . Полагаякка == О и учитывая, что 1(0) == "2' получаем l(а) == "2 е-а при а > о.Кроме того е-аТак как l(а)---+аО при ачетная функция, то-I(oo) = ; e- 1al ,следует, что 1'(а)(13)Из равенстваК( а ) ---"2(к е -а)'т.е.а Е R.+СХ)х sin ахJ_кХ -== -К(а).
Следовательно,-аа> о,-"2е,d - к1 + х22 е-а(15)О> ,а,ооткуда в силу нечетности функции К(а) следует, что+СХ)Jоxsinax dК.х == slgn а . е -Ial21+х2'а ЕR.(16)АJе-+СХ)При м е р 3. Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона IА Положим хх2dx.о> О (t -== yt, где t=фиксированное число). Тогда+СХ)1==Je-y7t2tdy,откудаJ+СХ)оI .
e- t2 =2e-(y2+ 1)t t dy.(17)оИнтегрируя обе части равенствапо(17)на промежутке [о;t+(0),получаемJ+СХ)I·e- dt =оЛевая часть(18)J Je-+СХ)t2+СХ)dtоравнаt2( Ну 2)t dy.(18)о12. Вычислим правую часть К равенства (18),изменив порядок интегрирования:J Je-+СХ)К=+СХ)dyоt2( Ну 2)tdt.оТак какJte-+СХ)оt2( Ну 2) dt =~Je-+СХ)оt2( Ну 2)2d((~ : ~}t2)2== - 2(1то2е -t (l+у ) I t=+CX)+ у2)t=O1== 2(1+ у2) ,§ 15.Дифференцирование и интегрирование по nара.метруJ+СХ)К ==!2351== 1гdy1 + у24.оСледовательно, 12==К==7г / 4, откуда 1+СХ)! е-х2JП /2, т. е.==v;.dx =(19)оПерестановка порядка интегрирования в равенстве (18) законна,так как подынтегральная функция 9 == te- t2 (1+y2) неотрицательна приt~ О, У ~ О и непрерывна, интегралы от функцииУ, сходятся равномерно по у иg,tвзятые поисоответственно на отрезках [O;~] иt[О; 1}] при любых ~ > О и 1} > О (признак Вейерштрасса), а один изповторных интегралов сходится и равен 7г / 4.
АПри м е р4.Вычислить интеграл Лапласа+СХ)I(oo) =Jе-х2cos2ooxdx.оА Дифференцируя интеграл l(а) по а, получаемJхе-+СХ)I'(oo) = -2х2sin2ooxdx.(20)оПрименение правила Лейбница законно, так как функция е-непрерывна при х ~ О, а ЕR,Х2cos 2ахинтеграл l(а) сходится при каждом а ЕЕ R, а интеграл в правой части (20) сходится равномерно по а на R(признак Вейерштрасса).
Преобразуем равенство (20), применяя метод интегрирования по частям:I'(oo) = е-х2+СХ)sin2ooxl;oo - 200Jе-х2cos2ooxdx.(21)оИз(20)и(21)следует, что ['(оо)=-2ооI(оо) или d:C~)кудаl(а)Полагая а = О и учитывая, что==от-= -2oodoo,2Се-а.Jе-+СХ)I(O) =х2dx =v;(пример3),ополучаем+СХ)Jе-х2cos 2ах dx== 2-J1Ге_а 2.АоПри м е р5.Вычислить интегралы Френеля+СХ)I =J sinx dx2о+СХ)и I1=J cosx dx.2О(22)Гл.3523.Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл ФурьеА Полагая х 2запишем интеграл== t,·1 ==11 -vt-t dt.+СХ)+СХ)SlП2хdХ == -12оt>Пусть1 в следующем виде:sin(23)dи,(24)оО; тогда справедливо равенство-- ~ 1+СХ)~vtУКе-tu2одля получения которого достаточно в интегралезамену переменной по формулеломИз(19).(23)и1e-+СХ)tu2du сделатьоJtu == хи воспользоваться интеграследует, что(24)+СХ)1 sin t dt 1e-J;г1=+СХ)оtu2(25)du.оМеняя порядок интегрирования, получаемJ;г1=+СХ)1du 1eоИспользуя формулу+СХ)tu2sin t dt.онаходим(5),1+СХ)1 == _1УКВычислим интеграл+СХ)11+х4О(26)•(26).
Заметим, что1 (1/х )+СХ)x2dxОdu1 + u421Оdx== -1+(1/х)4О+СХ)dt1+СХ)Оdx1 + х4 •Поэтому21+СХ)О+СХ)dx1+х14оd(x - l/х)(х - 1/х)2 + 2откудаДля обоснования законности перестановки порядка интегрирования в формулевенством11+СХ)-2ое(25)можно воспользоваться (см.11+СХ)-o?tsintdt_-- - vtУКео(23))+СХ)-G'?t·tdtlSlПое- tu2 d_u -при а1: ОраДифференцирование и интегрирование по nара.метру§ 15.-- 1; ;+СХ)V1Г+СХ)duОе1;353+СХ)-t(u 2+0?)._sш t dt - V1ГОdu1 + (u2+ (02)2 •ОПереходя здесь к пределу при а---+О (законность перехода к пределуследует из равномерной сходимости интегралов), получим равенство (26), из которого следует, что+СХ)sinx 2 dx ==;f1Г .V"22-21о(27)Аналогично можно доказать, что+СХ){f.~2;cosx dx =А(28)оЗАДАЧИ1. Пусть алить>>о, Ьо.
Применяя формулу Фруллани (6), вычисинтеграл:+СХ)1) ;cos2+СХ)ах: cos Ьх dx; 2) ;2о3)е- Ьх2_хdx; 4)О;1 ха1_ хnx+СХ)2. 1) ;1-~~sax dx; 2) ;2Ьdx.вычислить интеграл+СХ).2(Sl:X) dx; 3);оsinx ~:cosx dx; 6)2) ;о;Sl: хdx; 5)оSinx~os х dx; 3) ;х -;inx dx.;3(Sinxax) dx;о+СХ)sinx~os4 х dx; 6);о+СХ)Sl:X dx;+СХ)2о+СХ)52о+СХ).(2-4).о+СХ)о;;о+СХ)sinx7 х--dx.о6sin х ~os х dx; 2)о+СХ).;.2 sш ах ~ sш 2ахо+СХ)4) ;о23(12),+СХ).о4. 1)ах: sin Ьх dx;ОИспользуя интеграл Дирихле4) ;2о+;СХ) е- ах2+СХ)sinПод ред.
Л.Д.Кудрявцева, Т.3cosax ~ cos(3x dx;dx·,Гл.354J+СХ)5)Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурье3.cosax +;~sj3x - 2 dx,J sш xx~osaxа > О, (3 > О; 6)а5.2dx.аИспользуя интеграл Дирихлевычислить1).+СХ)(12) или интеграл Фруллани (6),интеграл:JOO sinax;inj3xа > О,dx,(3> О,а -::f- (3;аJ.аsшх ~ sшах dx, а+СХ).2)> О;а3)JOO sin ах :44sinjЗхdx,а > О,(3> О;а > О;5)а+СХ)JJ4)axcosx - sinax dх,2ХJOO sina:~inj3xа+СХ)6)dx;аsin3 х cos ах d3х, а> 3.ха6.С помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл:J> О; 2)JJ е-ах :е- х siплхdх, а> О, > О, л О;4) J е-ах: е- х соsлхdх, а > О,> О;J ахх2 ' 6) J х (х++а х ) х, а > О ,+СХ)+СХ)1 - c;:sax е- f3х dx, (31)sin ах--е-(3хdх,хаjJ> О;а+СХ)(3(33)-::f-а+СХ)(3(3а15)+СХ)2dx·arctgxVl _аln(l222(32)(3d> О.а+СХ)7.Доказать, что если а>JО, тоа8.Используя результат примераn/21)J~tgx+х2)== 1г ln(l + а).2доказать, что:n/2dx== 1г ln 2; 2)2Jа9.7,arctg ах dxх(lПользуясь тем, чтоln sin х dx== - 1г ln 2.2а1Jxa -а1dx =~ при а > О, вычислить ин§ 15.Дифференцирование и интегрирование по nара.метру3551тегралJxa -11nm Х dx, где m Е N.о10.J+СХ)Пользуясь формулой(а2а> О),вычислить ин-о+СХ)dxJтеграл1г2 dx 2Х +аnгдеЕN.оJ+СХ)11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
