1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Преобразованuе Фурье§ 17.12е-+СХ)F[f] == _1_~ахеixy+е-ixydx ==2о373Л+СХ)Л2 а2-ах-К еcos ху dx ==-ка 2 +у 2 •1==оТаким образом,(13)2) Применяя формулы (10) и (13), находимF[x2e-1xl] == -{F[e- 1xl ]}" == _ ({2 1 )" = 2 {2 1- 3 у 2У1 + у2У(1 + у2)3:;Используя формулу3):;•получаем(9),F [!] = (i у) З F [ 1 ~ х 2] ,гдеF[11+х2+100 e- ixy~1 + х2] __1_-dx =-СХ)(2 +1CX)e iXY + e- ixyУ:;2О=dx1 + х2{2 +IOOcOSXY dxу:;1 +х 2о(см. § 15, формула (15)). Следовательно, F[j]= -ifiГ e-1yl=У"2/"f уЗe- 1yl .
•ЗАДАЧИПредставить функцию1 1) f( ) - {1,•х о,еслиIxlIxlесли2) f(x) == { 1 - Ixl/a,о,f(x)интегралом Фурье< т,> т;если~ а,IxlIxlесли> а;3) f (х) == sign (х - а) - sign (х 4) f(x) == 1/(х 2 + а 2 ), а 1: о.2. 1) f(x) === { cos х, если4) f(x)==о,3. 1) f(x)3) f(x) ==о,IxlIxlеслие- х ;2) f(x) =4) f(x) =={Si~,X, :~~: I~I ~;:~ 7г /2,Ixle- a1xl sin jJx, а2> а;> 7г /2;если Ixl ~ 27Гn/Ш,если{sinWx,==Ь), Ьх 2 : а 2 ' а # О;3) f(x)(1-4).> 27Гn/Ш,>хе- ХО; 2) f(x)2•n Е N,==W>о.e- a1xl cos jJx, а>О;Гл.3743.Интегралы, зависящие от nара.метра.
Интеграл Фурье== {е-оах, если х > 00' а > О;,еслих < ;2) f(x) == {e-аХоSi,ПWХ, если х > О, а > О;еслих < О;4. 1) f(x)3) f(x) == {SiПо,Х,5.если О < х < пn,если х < О или х > пn, nПредставить интегралом Фурье функциюнечетным образом на интервал1) f()х2) f(x)6.=={SlПХ,(-00; О),ЕN.f(x),продолжив ееf(x),продолжив ееесли:если О ~ х ~ п,О,еслих> п;== { 2 - 3х, если О ~ х ~ 2/3,О,если х > 2/3.Представить интегралом Фурье функциючетным образом на интервал(-00; О),если:> О;2) f(x) == {1, если О ~ х ~ 1,О,еслих > 1.1) f(x) ==е-ах, х ~ О, аНайти преобразование Фурье функцииf(x) (7-9).если Ixl ~ 1,если Ixl > 1;iX2) f(x) == {e , если Ixl ~п,О,если Ixl > п;3) f(x) == {coOS,x, если Ixl ~ п,если Ixl > п;7.
1) f(x) == {1,О,4) f()х =={SlПХ,О,5) f(x) == {e6)еслиiXО,,еслиIxl ~ п,Ixl > п;если х Е [О;п],еслих ~ [О; п];f (х) == { cos х, е сл и х Е [О; п] ,О,еслих ~ [О; п].8.1) f(x) ==xe- a1xl , а>О; 2) f(x) ==е-3) f(x) = e-x2/2cosax; 4) f(x) = d~2d/2 ;(xe- 1xl );х2d5) f(x) == dx (x 2e- 1xl ); 6) f(x) == dx 2 (xe- 1xl ).9. 1)f (х) == { х siп х, еслиО,еслиIх I~ п,Ixl > п;§ 17.Интеграл Фурье. Преобразованuе ФурьеЛХ) = { ~:2)< Ixl ~ 2,IxlIxl > 21если2~ 1;иесли{ хо,'375Ixl ~ 1,Ixl > 1;Ixl ~ 1Г,ЛХ) = { х ~~sx,Ixl > 1Г;Ixl ~ 1,хf(x) ==1,'1 < Ixl < 2,О,Ixl ~ 2.3) f(x) ==еслиесли24)еслиесли{2 -5)2еслиеслиесли"'"f(y) == F[f(x)].
Доказать,1) F[e iax f(x)] == [(у - а), а Е R;2) F[f(x - а)] == e-iayj(y), а Е R;Пусть10."'""'""'""'"что:3) F[cosax· ЛХ)] = !су - а); f(y + а), а Е R;4) F[sinax·f(x)]= f(y-a)~f(y+a), aER.на11.R иfПусть функциянепрерывна наR,абсолютно интегрируемаудовлетворяет условиюJf(t) dt ---+ охср(х)=при Ixl ---+ +00.оДоказать, чтоz "'"F[<p] == - - f(y),гдеуДоказать,12.11 + х 12имеетчто"'"f(y) == F[f]·преобразованиенепрерывнуюФурьепроизводнуюf (х) ==функциидесятого13. Доказать, что преобразование Фурье функции f(x)порядка.== xe- 1xl3есть бесконечно дифференцируемая функция.14.
Пусть [(у) -преобразование Фурье функции 1/(1 + IxI 5 ).Доказать, что:1) [(у) имеет непрерывную на R производную третьего порядка,2) [(у) == О(1/у5) при У -+15.ма наПусть функцияRf (х)00;3) [(у)непрерывна наи имеет в каждой точке х ЕR== о(1/у5) при У -+R,абсолютно интегрируеконечные односторонние производные. Доказать, что+СХ)J l!(y)1+СХ)2dy =-СХ)J lJ(y)1-СХ)где [(у) == F[f], l(у) == F- [f]·100.2dy,Гл.37616.3.Интегралы, зависящие от nара.метра.
Интеграл ФурьеПусть функцииинтегрируемы наиf9 непрерывны, ограничены и абсолютноДоказать, что:R.1f(t)g(x - t) dt, которую называют сверm-+СХ)1) функция h(x) =-СХ)JliОЙ функцийиf9 и обозначают fабсолютно интегрируема на* g,непрерывна, ограничена иR;2) F[f * g] == F[f] . F[g].17. Найти ср(у), если:1: 2+СХ)1)1<р(у) cosxy dyх=О1+СХ)2)'i.p(y)sinxydy=e- X , х>О.оОТВЕТЫ11+СХ)1. 1) f(x) == ~1гsin ту cos ху dy;Уо+СХ)1 - cosay22) f(x) == -21Гауcosxydy;О3) f(x) =~ +100 sin(y(x - а)) 1гsin(y(x -Ь))dy;Уо+СХ)1e-1а1Усоsхуdу.f(x) == ~ 11Г;ху dy; 2) f(x) == ~ 13) f(x) == - 1dy;4) f(x) =I~Iо+СХ)2.
1)+СХ)sinsin1гl-у1гоsin 1Г; sin ху dy;l-уо+СХ)cos(Jryj2)21гу21-О1+СХ)4) f(x) == 2ш1гsin(2Jrnyjw) sinxydy.Оу2-1 [(у+СХ)3. 1)f (х)cos ху4aj3= --:;-ш2у sin ху_ ,6)2 + 0:2][(у + ,6)2 + 0:2] dy;о2) f(x) =1]1[1(у_,6)2+0:2 + (у +,6)2 +0:2 cosxydy;~ 1e-y cosxydy;а +СХ)7гО+СХ)3) f(x) =2jо4Интеграл Фурье. Преобразованuе Фурье§ 17.377+СХ)11) f(x) == - 1J0:2 +2) f(x) ==14) f(x) = 2~ye-y2 4/sinxydy.о1 +СХ)4.1у21г Оw1г+СХ)(2sin(xy2о: +ш -у2)ш2еро:== arctg - ;у.dy·cosxy+20:YSlnXY+ у2)2 + 4о:2ш2~1г +100 sin(Jrny/2)у2sin(x- 1Гn/2)у_ 1d(0:2 О3) f( ) х -+ ер) dy,'у,еслиnчетное,о1== - 1+СХ)f(x) -- - _2cos(Jrnyj2) cos(x - Jrnj2)y dy,у2 - 11гnеслинечетное.о+СХ)5. 1)f (х)2sin 1ГУ1г1-у2.slnху dy ;о1 2у siп(2уjЗ)f(x) ==1 C~SXY2 dy;2) f(x) == ~+СХ)- 31гsin ху dy.у2О+СХ)6.1)2) f(x) == ~20:1го:+у1го7.1) F[j] =3) F[j] =5) F[f] ==-;-i~(y-1)(1(8 ( 2 ауУ. (2==(2У-;1- З 2sin 1ГУ ;1 _ у26) F[f] == __z_o~2)2; 2) F[j] =у;;: у (1 + у2)3;4) F[j] =•(2(2 sin 2у -у-;уsiny ;у2)2'2 у3+ у2)2i7rУ+ 1) .у2-12Л (у2 ~ 1)2 ;6) F[j] = zy ;;: (1(1-y(e-е- у2 / 2 ;_1_ 1Г(1 - у2) COS 1ГУ + 2у sin 1ГУ .~2) F[j] =dy.У(2 sinJrY ;у-; 1-у= -i+ e- i7rУ );-; у +0:е-(у2+ а 2)/2 chay;5) F[j] = 2z У9.
1) F[f]F[j] =; 2)1 - у28. 1) F[j] = -i3) F[j] =у(2 у sin 1Г У ; 4) F[j]Уsinycosxyо(2 sin yу-;1+СХ).378Гл.3.3) F[J] =Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурье{2 2у cos У + (у2 -у4) F[J] = _5) F [!] =-;(2У-;уЗ21[2) sin у ;cos 1[у(l - у4)+ sin 1[У [6у + 2 у 3 (1 - у2)З1[2(у - 2 у 3 + у5)] .'(2 у2 sin 2у + 2 sin у - 2у cos У .У-;уЗ17. 1) <р (у) = е - У, у;:: О; 2) <р (у) =1[(12у+ у2)'у;:: О.ГЛАВА4ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ§ 18.Метрические пространстваСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯМетрика.
Предел последовательности. Множество Х на1.зывают,МетричеСffИ,Мnространство'м,еслинасовокупностиупорядоченных пар (х; у) элементов этого пространства определена такаянеотрицательнаяфункцияр( х; у),называемаярасстОЯ1-lие,М(или'метРИffОЙ) , что:1) р(х; у)2) р(х;у)====о тогда и только тогда, когда х==у, х, у Е Х;р(у;х) для всех х,у Е Х;+р(х;у) ~ p(x;z)p(z;y) для всех х, у, z Е х.Свойства 1)-3) называют также аffсио,Ма,Ми 'метРИffИ, причем аксиому 3) называют аffСИО,МОЙ треугОЛЬ1-lИffа. Элементы метрического3)пространства называюттОЧffа,Ми.Всякое подмножество метрического пространства Х в свою очередьявляетсяметрическимпространствомотносительнометрикипространства Х, и его называют nодnространство'м пространства х.Два метрических пространства Х и Х' называют изо,МетРИЧ1-lЫ,МИ,есливетствиех'междуJ,ихточкамисуществуетвзаимнооднозначноесоотсохраняющее расстояние, т.
е. такое, что если== J(x),у'х Е Х,== J(y),тор(х;у)==У Е Х,х' Е Х',у' Е Х',р(х';у')(такие соответствия также называют изометричными).Последовательность точек (хl; ... ; х n ; ... ) метрического пространства Х называют сходящейся ff его тОЧffе х, если lim р( х n ; х) ==n---+оо==о. В этом случае пишутlimn---+оохn==х или х n---+Х приn ---+00 иговорят, что точка х является nредело'м данной последовательности.Две метрики р и р на множестве Х,МИ, если для любой последовательности (хl;ва Х условиеlimр(хn;х)n---+оокогдаlim р'(хn;х)n---+оо====называют Эffвивале1-lт1-lЫ...
;х n ; ... ) точек множестО выполняется тогда и только тогда,О.Сходимость последовательности точек х n Е В(Е), n == 1,2, ... , впространстве В(Е) ограниченных на некотором множестве Е функ-4.Гл.380Введение в функциональный анализций с метрикой р(х;у)== sup Ix(t) - y(t)1означает равномерную схоtEEдимость на множестве Е последовательности функции х n ,n == 1,2, ...(см. ниже примерДиаметром1).diam Еназывают величинумножества Е метрического пространства ХdiamE == supр(х;у).х,уЕЕМножество, диаметр которого конечен, называют ограниченным.Для всякого множества Е с Х множество Х\ Е называют егодополнением в пространстве Х.В метрическом пространстве Х omJliPblmblM шаром U(х; Е) с центром в точке х Е Х и радиусом Е>О или Е-окрестностью точки хназывают множествоU(Х;Е)Множество точекназывают2.заМJliнутым=={у Е Х: р(у;х)< Е}.{у Е Х: р(у;х) ~ Е}шаром с центромв точкехирадиусомЕ.Окрестности.
Открытые и замкнутые множества. Граница множеств. Связные множества. Пусть Х-метрическоепространство. Точку х Е Х называют внутренней тОЧJliОЙ множества Е с Х, если у нее существует Е-окрестность, содержащаяся в Е.Если каждая точка множества Е с Х внутренняя, то его называютOmJliPblmblM.Всякое открытое множество, содержащее точку х Е Х, называютОJliрестностью этой точки и обозначают U(х).Точку х Е Х называют тОЧJliОЙ nРИJliосновения множества Е с Х,если каждая окрестность этой точки пересекается с множеством Е.Совокупность всех точек прикосновения множества Е с Х называют его заМЫJliанием и обозначают Е. Очевидно, Е с Е.Множество называют заМJliнутым, если оно содержит все свои точкиприкосновения.Если у точки х Е Е с Х существует окрестность, не содержащаяникаких других точек множества Е, кроме самой точки х, то этуточку называют изолированной тОЧJliОЙ множества Е.Точку х Е Х называют предельной тОЧJliОЙ множества Е с Х, есликаждая окрестность точки х содержит по крайней мере одну точкумножества Е, отличную от х.Точку х Е Х называют граничной тОЧJliОЙ множества Е с Х, если в любой ее окрестности существуют точки как принадлежащиемножеству Е, так и не принадлежащие ему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
