1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

е. существует число М>Отакое, чтохIJf(t;a)dtl~Mадля всех х Е [а;4.+(0)КритерийИнтеграл(1)и для всех а Е Е.Коширавномернойсходимостисходится равномерно на множестве Е тогда и толькотогда, когда выполняется условие Коши: для любого счисло дЕ Е (а;интеграла.+(0)такое, что для любых ~' Е [дЕ;>О+(0),существует~" Е [дЕ;+(0)и для всех а Е Е выполняется неравенство('I J f(x; а) dxl < с.еЕсли условие Коши не выполняется, т. е. существует число сотакое, что для любого д Е (а;где ~~ ~ д, ~~' ~ д, такие, что+(0)>Онайдутся числа ад Е Е, ~~ и ~~',Гл.336Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурье3.~~IJf(x; аб) dxl ?: со,(5)~~то интеграл5.не является равномерно сходящимся на множестве Е.(1)Непрерывность равномерно СХОДRщеГОСR интеграла попараметру.

Если функцияf(x;а) непрерывна на множествеa~x<+oo, a~a~a2}D=={(x;a):J f(x; а) dx сходится равномерно по а на+СХ)и если интеграл [(а)=аотрезке [а1; а2], то ФУНJliЦИЯ1 (а)непрерывна на оmреЗJliе [а1; а2].ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИJе-ах dx:+СХ)При м е р 1. Доказать, что интеграло==а) сходится равномерно на множестве Е+(0), гдеЕ 1 == (О; +(0).б) сходится неравномерно на множествеА а) Пусть ~> О,а ~ Ь> о.Ь> О;Так как+JCX) -ах dе[Ь;e-a~х==-а~+СХ)-~bJе-ах dx :::; Т < с для каждого с > ОИ а ?: Ь, то неравенство О <~выполняется при всех а Е Е, если ~ > (l/Ь) ln(l/cb). Обозначим дЕ ==== mаХ(О"Е; О), где О"Е == (2/Ь) ln(l/bc).

Тогда неравенство (2) для дан­ного интеграла справедливо при всех ~ Е [дЕ; +(0) и при всех а Е Е,т.е.интеграл сходитсяравномерно.==б) Для произвольного числа д1/ (1 д). Тогда++JCX)е- ха8 dx== е-~дaдад~8>Овыберем ~д==+СХ)Доказать, что интегрално на множестве Е== (1; +(0).+СХ)А Так как K(~) == supаЕЕJ~==е- 1 . Следовательно, ин­теграл сходится неравномерно на множестве (О;2.ад== (1 + д)е- 1 ~ е- 1 ,т. е. неравенство (3) выполняется при соПри м е р== 1 + д,Jdxха+(0).Асходится неравномер­1dх~ == sup~l-a~l-aаЕЕ а - 1limа---+1+0 а -1== +00,§ 14.Равномерная сходимость несобственных интеграловто условиекаждом а(4) не выполняется, и поэтому> 1, сходится неравномерно наПри м е ринтеграл, сходящийся примножестве Е.+~JОАJоsinax2 dx, Е1+х1) Так как+~1l+х2dxАДоказать равномерную сходимость интеграла l(а)3.на множестве Е, если:1) l(а) ==337IJ - / dx,+~l(а)== R; 2)==cxln хЕх5 4==[О;2].3sin ах I2:(1l+хl+х2' для всех а Е R интегралсходится, то по признаку Вейерштрасса данный интег­рал сходится равномерно на множествеR.2) Если а Е [0;2], х Е [3;+(0), то 0:( lnCXx:( ln 2 x, и поэтомуО ,/'::::::....ln cx хх5+~Из сходимости интегралаJln 2 х/ 4 ~-/-.'- х5 4ln2хследует равномерная сходи--/- dxх5 43мость данного интеграла на множестве Е.А.+~При М е р4.

Доказать, что интеграл 1 (а)==SlnaxJхоравномерно по а на множестве Е==[Ь;+(0), где Ьdxсходится> о.Jsinatdt; тогдахА Пусть F(x;a)=оF( х·, а ) ==и IF(x;го, l/хcos ах - 1а2/Ь дЛЯ всех х Е [О; +(0) и для всех а ~ Ь. Кроме то­О при х ---+ +00, причем функция l/х не зависит от а. Поa)1 :(---+признакуДирихлена множестве [Ь;При м е р5.данныйгде Ь+(0),интеграл> о.сходитсяравномернопоаАДоказать, что интеграл l(а) сходится неравномернона множестве Е, если:1) I(а) =+~JеJах2dx, Е = (0;+00);о2) I(а) =+~SillXO:Xdx, Е = [О; 1].оА 1) Для любого д> О выберем адТогда22Под ред.

Л.Д.Кудрявцева, Т.3== 1/(1 + д)2,~~== д,~~'== д + 1.Гл.338Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурье3.~~Jе-щх2dx ~ е-щ(t;~)2 (~~~~) =-e- 1 =со,~~т. е. выполняется условиеСледовательно, данный интеграл, схо­(5).дящийся при каждом а Е Е, сходится неравномерно на множестве Е.2)6>Для любогоО выберем ад== 6,~~==7г /(36),~~'==7г /(26).ТогдаЗАДАЧИДоказать, что интеграл l(а)ве Есходится равномерно на множест-(1-5).+СХ)1. 1) l(а)J==dxЕ-,ха[ао;+оо),==ао> 1;12) l(а) ==1JЕ == (О;ао), ао < 1;dX,хао+СХ)J d~ Е == [ао;+оо), ао >4)== J xll~Xxla' Е [0<0; +(0), 0<0 >5) I(o<)Jе- dx, Е [0<0; +(0), 0<0 > О;6) I(o<)Jх е- dx, Е [1; 3].3)l(а)==хxln1;,21/2l(а)1;=о+СХ)ах4==О+СХ)2Ха==1Jе-ах cos2xdx,+СХ)2.

1) I(o<) =Е= [0<0; +(0), 0<0> О;О+СХ)2) I(o<) =JJln 2 х . sin 3х()ах-ldx, Е = [0<0;+(0), 0<0 > 1;2+СХ)3) 1 (а) ==1ln3х2х+0:4dx, Е== R;§ 14.Равномерная сходимость несобственных интегралов+СХ)xdx1+5) 1(00) 1x1n xdx, Е [000; +(0),> О;6) 1(00)= 1 ln(1+x)x·2aIctga:xdx, Е=[-а;а], а>О.4) 1(00) =( ) 4 ' Е = (-оо;а), а> О;х-а1О1a=31-=000о+СХ)о+СХ)13.

1) 1 (0:) ==2) 1(0:) -11cosax4+х2dx, Еха-001х v1 - ах1аarctgх2оdx'R;dx- о {/(Х-1)2(2-Х)3) 1(0:) ====,Е_-(_!. !) .2' 2'Е == [О· 2] ."+СХ),==+(0), 0:0 >15) 1(0:) ==[000; +(0),>1 vx6) 1(0:) ====+(0), 0:0 >1 +4. 1) 1(00)1 Si~X е-ах dx, Е [О; +(0);2) 1(00)1 с;; е-ах dx, Е [О; +(0);3) 1(00)1 (:2 ~:2)2 dx, Е R;cosx dx4) 1(0:) ==Еха[ао;О;1+СХ)cos ах . ln х dх, Е =000О;2+СХ)2.XSlnaxd2х, Е(х1) ln х[ао;+СХ)==о+СХ)==1+СХ)22==2+СХ)4) 1(0:) ==r-:== [0:0; +(0), 0:0 >11 cos(oox dx, Е +(0);1 sin(ooshx)dx, Е= [~;+oo).sin(xaxO) dx, Ео+СХ)5) 1(00) =2о+СХ)6) 1(00) =о22*)= [1;О;о.339340Гл.3.Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурье+СХ)5. 1) I(oo) =JcosxO!dx, Е = [000;+(0), 000> 1;оJ о:+СХ)2) 1(0:)==о2cos(o:х) dx Е ==о:+х а'"+СХ)3) I(oo) =J sin2x· sin :[3· 5]·Е = [о; И;dx,о+СХ)4) 1 (0:) ==sin(0:4x)dx Ех +0:2'== [1· +JJ + х ) е-О!х ЕJxO!eЕ [1; 2].,00 ) .,о+СХ)5) I(oo) =43(005dx,= [1; 4];о+СХ)6) I(oo) =2ХЙdx,=26.

Доказать, что интеграл 1(0:) сходится равномерно на мно­жестве Е 1 и сходится неравномерно на множестве Е2 .1) I (а) =2J(х ~Xl) о!' Е1 1; ~], Е2 1; 1) ;J (х1 l)0!' Е1 [3;+(0), Е2 (1;+00);J (~X_oo)6' Е1 (-00;0], Е2 [0;+(0);Jе-(х-0!)2 Е1 [о; 2], Е2 [о; +(0) ;= [-= [-1+СХ)2) I(oo) =Х==о+СХ)3) I(oo) =4+==о+СХ)4) I( а) =dx,==о+СХ)5) I(oo) =Jх е-О!х24dx, Е1 =[000;+(0), 000> о; Е2=(о; +(0);о+СХ)6) 1(0:) ==Jlna х .-х- SlПХdx,Е1==[О;1],Е2== [1; +(0).1Исследовать интегралжестве Е1(0:) на равномерную сходимость на мно­(7,8).+СХ)7. 1) 1 (0:) ==Jоdx1 +х а,Е ==(1; +00 );§ 14.Равномерная сходимость несобственных интегралов341+СХ)2)[(оо)=JооеJ ,jae-ах dx,Еax2dx,[О; 1];=о+СХ)3) [(оо) =Е===[О·(0;+00);о+СХ)sin х 2dx ' Е1 +х аJ[(оо)J sinoo· е6) 1 (а) == J.!. .-J8.

1) [(оо) -4)l(а)==,+(0) .,1+СХ)5)=а2(нх ) dx, Е = R;2о1sinЕ == (О; 2).dX,ххаО11] .arctg ах_ [ .(1-x 2 )a dx, Е - 0'"2 'о2) l(а) ==Jо Vl x - al dx,1sinax2Е==[О; 1];Е== [!.~].J4) l(а) == J 1: 1Е= [0;1);5) [(оо)J ;~:: Е (О; +(0);[(оо)J ; е- /(2х ) Е +(0).3) [( а) =dxIln(a:x )Ia dx,2 '8'12п-хSlnX аdx,О+СХ)dx,==о+СХ)6)2а=dx,= [1;1JЛХ)+СХ)9. Пусть интегралdxсходится. Доказать, что на мно-ажестве [О;+(0)равномерно сходятся интегралыJе-ах f(x) dx+СХ)+СХ)иаJе-ах2f(x) dx.о+СХ)10.

Доказать, что если интегралJ f(x) dxсходится, а функ-ацияg(x, а) монотонна по х на множестве D==[а;+(0)для каждо-Гл.3423.Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурьего а Е Е и равномерно ограничена на множествеG=={(x;a): xED, аЕЕ},т.

е. существует число М> О такое, что Ig(x;a)1~ м для всех (х; а) ЕJ f(x)g(x; а) dx сходится равномерно по а на мно11. Доказать, что интеграл J f(x; a)g(x; а) dx сходится равно+СХ)Е G, то интегралжестве Е.а+СХ)амерно по а на множестве Е, если функцияf(x;а) интегрируема по хJ f(x; а) dx сходит-+СХ)на отрезке [а; А] дЛЯ любого А > а и интегралася равномерно относительно а на множестве Е, а функцияg(x; а)равномерно ограничена на множествеG=={(x;a): a~x<+oo, аЕЕ}.12.Пустьфункцияf (х)>ке [О; а] для любого аинтегрируемапоРиманунаотрез­О, и пусть существует число ао такое, чтоАфункция F(A)=Jе-аох f(x)оdx ограничена на множестве [О; +(0).+СХ)Доказать, что интегралJе-ах f(x) dx сходится равномерно наомножестве [ао13.+д;+(0),Пусть функциягде дf(x)>о.определена на промежутке [О;тегрируема по Риману на отрезке [О; А] дЛЯ любого А>Jе-+(0),ин­О, и пусть+СХ)существует число ао такое, что сходится интеграл+СХ)Доказать, что интегралмножестве [ао; +(0).14.Jе-ах f(x) dx сходится равномерно наоИсследовать на равномерную сходимость на множестве Е ин­+СХ)1) I(a) =JJJsin(a?x)~arctg(ax)dx,Е = {а:1+СХ)l(а)==1+СХ)3)dx.Отеграл l(а):2)аох f(x)l(а)==Оcos 2хvxln(eX - х) dx,хаЕdx4+а 2 х 2 'Е== R·,==(2; 3);lal~1};§ 14.Равномерная сходимость несобственных интегралов343JО ln(l+xЕ=={а: -оо<а<-!};Jx+Vx5) [(а)J cosx arctg (ах) dx, Е R;6) l(а) == J! sin ! .

2Е == (-00; 1].4)+СХ)l(а)==a)dx,2+СХ)2==•О1хах dx,хО15.Доказать равенство:J + == 1· 2) lim J vxх + == о·lim J е-ха dx == 1; 4) lim J а sin х еdx ==2'limarctg ах dx == 1Г ; 6) lim J а sin х еdx == о.2v+СХ)+СХ)1) limdxn---+СХ)хnО1cosа---++СХ)'1+СХ)3)а---++СХ)+СХ)а---++СХ)О1dxа2 х2'а2х221О+СХ)5)16.2а---++СХ)х2 -x2а---++О1Доказать, что функцияа2х2Онепрерывна на множестве Е,F(a)если:Jе-(х-а)2 dx, Е R;J d Е == R·,J sin(ax dx, Е +(0);+СХ)1) F(a) ==О+СХ)2) F(a) ==cosax1+х 2х,О+СХ)23) F(a) == [1;)О14) F(a)==.JJ sin ;SlnX~ dx,Е==[о; 1);О+СХ)5) F(a) =Jlnxdx, Е = R.1Исследовать функциюF(a)на непрерывность на множестве Е(17,18).+СХ)==17. 1) F(a)Jxdx2 + ха'Е== (2; +(0);ОJ Si~X е-ах dx,+СХ)2) F(a) =ОЕ=[О; +(0);Гл.3443.Интегралы, зависящие от nара.метра.

Интеграл Фурье1) () == J(х4) F(a) ==Jln х3 F а_dx, Е+40:)2== R;О+СХ)cosx~ dx,Е==(О;+(0);15) F(a) ==JK . d~ ,Е = [О; 1);хSlnОJ SШ(l: а )х+СХ)6) F(a) =.2dx,Е= R.О+СХ)Jае-18. 1) F(a) =dx, Е = R;а2хОJ е-ах cosxJ I~ I+СХ)2) F(a) =dx, Е = [О; +(0);2О+СХ)3)F(a)==-хЕ=(О;l);dx,SlnX аО7r4) F(a) =•JхаSlnX(1г-)Х аdx, Е = (0;2).О+СХ)19. Доказать, чтоция1limа---++О+СХ)J е-ах l(х) dx == J l(х) dx, если функ­ООинтегрируема на промежутке (О;20.1Доказать, что если функцияпромежутке (О;+(0),limJ1(х)+СХ)sin nх dxJ1(х)== nlim---+сх)О21.cos nх dx== О.ОДоказать, что если функцияпромежутке [О;абсолютно интегрируема нато+СХ)n ---+ сх)+(0).+(0),тоlim~а---+О 1гJ o:f(x)+1непрерывна и ограничена на+СХ)х2dx== 1(0).0:2О22.Законен ли переход к пределу при атеграла---+ +0под знаком ин-+СХ)Jае-ахdx?О23.Доказать, что если функцияпромежутке [О;(0)и1(О) == О,1непрерывна и ограничена наа функция9 абсолютно интегрируема§ 14.на [О;Равномерная сходимость несобственных интегралов+(0),24.345тоПусть функцияf(x;а) при а Е Е интегрируема по х (в соб­ственном смысле) на отрезке [а; А] при любом А---+таком отрезке при аао,>а и на каждомао Е Е, стремится равномерно относи­+СХ)тельно х к предельной функции tp(x), и пусть интегралJ f(x; а) dxсходится равномерно на множестве Е.

Доказать, чтоа+СХ)lim+СХ)J f(x; а) dx J f(x) dx.=о25.аДоказать, что+СХ)limа-н:хо+СХ)J f(x; а) dx == Jаеслиf(x;а) ~f(x;lim f(x;а---+аоа) dx,аао) в каждом конечном интервале (а; А), где а< А < +00,<а Е [а1; а2], ао Е [а1; а2], и если существует функция F(x)такая, что при If(x;a)1 ~ F(x) для всех а Е [а1;а2] и для всех х ЕJ F(x) dx сходится.+СХ)Е [а, +(0) интегралаОТВЕТЫ7. 1)Сходится неравномерно;2)сходится неравномерно;3) сходится неравномерно; 4) сходится равномерно;5) сходится неравномерно; 6) сходится неравномерно.8.

Характеристики

Список файлов книги