1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 57
Текст из файла (страница 57)
1)3)11О~У ~ (х1dx+ 3)214)dx(х + 1)ijx 2 - х 316)Эйлеровы и Heffomopble другие интегралы'11; 2)~УО11;---;- (х dx+ 2)2xdx. 5)2(2 - х) .3/х (1 - х) ,\1О36511Jx(1(хох)+ 1)3dx.'{/х(l - х)3(х + 1)3dx.О+СХ)110. 1)оyГxlnxх+11+СХ)dx; 2)lnxуГх(хх+1оIа I1+СХ)) dx; 3)о1 Тх(х х+lnx2х+аdx, а#О;2+СХ)< 1; 5)ln2)dх;о116)ln 1 + хdx1-х {/(1-х)2(1+х)-11 ""'+СХ)11.
1)1+СХ)3)11охХ -11n(x -1)х23х+ln2 х22 dx, а+аО+СХ)8)1о1+СХ)xlnx dx·1 + х3'xa-l1n2l+х14)2Х6)Оdx, Оln(x - 2)ln х dx·1 + х4'1+СХ)7)Оdx·- l)v x - 2+х2< а < 1.(х 22ха ln х12 dx, Iа Iо+СХ)5)'+СХ)i- О;1+СХ)dx· 2)'< 1;a 1x - 1nx dx,1+хО < а < 1·,Гл.366Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурье3.4) 1 -V1 -7r /23)1о5)1tgaxdx О(sin х + cos х ) 2'11 . хо{/х(l - х 2 )+СХ)7)2ndx, n< а < 1;Е N;х 3 dx;хО+СХ)6)xdx1 +1 sin xcos xdx;х З )2(1О2a-l1 ;+ х 2 dx, О < а < 1; 8)1tg C>-1 Х dх, О < а < 1.о'7r/246О7r/29)2оВыразить через значения бета-функции интеграл113.1)1оdxn\11-х а(13,14).а>О;,12) l xC>(l-х!3)"dх, а>-l, (3)0, 1>-1;о1хс>-1(а - х)!3- dx, а > О, а > О, (3 > О;4) 1 (х )!3 dx, О < а < (3; 5) 1 З х+а13)о+СХ)оa-lх1+СХ)6)1ох14. 1)2)7r/23)О7r/24)/Зdx, аО> О,sinP х dх, р1 + cos хЬ> О, f3 > О,оdx,<а>- -;30:+1j3< р.> 1;sin2a-l х соs 2 /З-l х2/з dx, аа 2 sin хЬ 2 cos 2 Х )а+sina-l(а 2sin2ххcos a - 1 Хdx, аЬ 2 cos 2 х)а> О, f3 > О,> О,аЬ7r/25)О1sina-l х соs/з-l х/Зdх, а>О, fЗ>О;(sin х + cos х )а+11 ++11 sinC> xcos!3 xdx,О\11 - х За1О7r/2о(а+Ьх )Р7rЗа1а > -1, (3 > -1;> О;а> О,Ь> О;§ 1 б.Si~-1х)cosx6) JK (1+О1J8)JЭйлеровы и Heffomopble другие интегралыа367О < 1f31 < 1, а > О;dx,+ х )2a-l (1 - х )2/J-l(1 +х 2 )М,6dx, а > О, f3 > О;(17)-1Ь(x-a)a(b-x)/J() ,62 dx, О<а<Ь, с>О, а>-l, f3>-1.х + с а+ +аДоказать равенство:1q15.+xxp-lJ1) B(p;q) =-1(l+x)p+q dx, р>О, q>O;о2)В (р; р)22;-1 в ( ~ ;р),=3) В(р; q) =q- 1 1p+q-р > О;В(р; q - 1), р > О, q > 1.Выразить через гамма-функцию интеграл16.JxPe-о:хlпхdх,+СХ)а > О, р> -1.о17.1)Доказать равенство:12JV1 JV3 -dxох4== Г (1/4) .4J21Г'7r2)d()-_1_4у1Гcos() -г 2 (!)(У к а з а н и е.
Положить cos () ==4о==1 - 2уХ);7r (3)Jsin ()) а-1d()1 + r cos ()1 + r cos ()----(1 -[Г( 0:/2)]2т 2 )а/2Г( 0:)о( Указание. ПоложитьJ14)ОJх1dxv1 - х 4n6) Пk=ldxJ xk-1e-+СХ)xndx ===1Г;4~2J1+r УХ);5) J е- dx J х е=1-т+СХ)х4о+СХ)2х4dx ==1гВу'2,о(~) n-l/2 (2w)(n-l)/2О(У к а з а н и е.zn -1венством2v1 - х 4оtgIrl < 1z-lВоспользоваться формулой дополненияn-1==пk=l(z - e2k7ri/n)).(4)и ра-Гл.368Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурье3.+СХ)1Используя равенство18.хнайти интеграл:1Г(р)рj tP - 1 е- хt dt(х > О, р> О),о+СХ)j1)cosax dx , а>О, О<р<l;хРо+СХ)j2)sin ах dx, ОР< Р < 2,ха> о.ОВычислить интеграл:19.1j1) I(р) ==хp-l-х1-х_рО < Р < 1dx,(Указание.
I(р)о== lim[В(р; л)л---++оВ(l--р; л)]);+СХ)shaxj2)shf3x dx, О(Указание. e- 2jЗх< а < f3== t);о13) I = jlnr(x)dx (Указание. Использовать равенство I =О1=j lnr(1 -х) dx и формулу дополнения (4));оа+lj4) I(a) =lnr(x)dx, а> О (Указание. Продифференциро-авать интеграл I(а) по параметру и использовать формулу пониже-ния(3));115) jlnr(x)sinwxdx; 6) jlnr(x)cos2wnxdx, nEN.о20.оДоказать формулы Эйлера:+СХ)1)jtх-lе-лtсоsа соs(лtsinа) dt=Г~~) cosax;о+СХ)j2)tX -'1 е- лtcos аsin( лt sin а) dt==Г(х)лХ>О,2n/2-1а-n/2Г ( ;) ;sln ах,л>О,хоlal < 7г /2.ОТВЕТЫ6.
1)Г~~);Г(а)2)~ Г ( ~ );3)~ Г( а ;5) -!За ; 6) Г(р + 1); 7) Г(р); 8) v1 ); 4)l1Г Г(а11- 1/2)2Г(а)§ 1 б.~; 2)7. 1)8.6)Эйлеровы и Heffomopble другие интегралы1гJrV2; 3) JrV2; 4)1) 1Гу'5. 2)21Г1гГо);. (21Г /).3 6) Sln5. (21Г /);5)Sln51г . 3) 21Г . 4)4у'6 ,~,100'3699у~ ( ij2 -1Г-;;1); 5)31Г2- 23 / 4 .2 .
гз1Г;9. 1)i).12.q..:.;2);1Г у'21Га 423) 16' 4)7г5)j3 sin( 0:1Г / jЗ) ,41г ln la I . 4) 1Г 2 sin( 0:1Г /2) .7Г22/З vГз1 о. 1) О; 2) О; 3) 21 а l '4 cos 2 ( 0:1Г /2) , 5) -3- ( 3 ln 2 + 1Г) ;6) 27Г •2341Г ln 2 .1г ln 31гз' 2) - 2vГз ; 3) 21 a11 · 1)З4) 7Г 1+sin (O:K/2). 5) 27Г2cos 3 (0:1Г /2)'88) 7Г З (12(21Гl ln lal + 4237Г6)27'З);2.7) _K COSO:K.32у'2sin 2 0:K ',+ cos 2 0:1Г)sin 3 0:K12.
1) 1Г(1-0:) •sin 0:1Г'1Гр. 3)1Г0: • 4)4 sin (1ГР /2) ,sin 0:1Г '2)5) ~ 1 . 4 ... (3n - 5)(3n - 2) . 6) 21ГvГз. 7)vГз3nn!'27'27ГvГз.27'1г.8) 31Г2 sin 0:1Г '512 '1г9) 2 sin 0:1Г~ В (~ ; 1 - ~);13. 1)4)В(,6-о:;о:);6)73ь14.1) 2P -1~ В (о:; 1 ; 'у + 1); 3)a",+(3-1В(а;,6);~B(a+~; ~);5)a- P (a)(a+l)/f32)в(0:+1.0:+1)j3 ,Р j3.B(P 2 1; Р; 1);В(о:;jЗ).2a 2a b2f3 '2) В(а;,6); 3).2",-1В ( о: 0:) .1 . j3 + 1 ) . 6)2'2'(1 - jЗ2) а / 22 '2 '(Ь)a+ f3 +17) 2 a + f3 - 2 В(а·jJ)· 8)-а1B(a+1·jJ+1)." ( a + c ) f 3 + (b+c)a+l'4) В(0:/2; 0:/2). 5)2 (аЬ ) а'16.19. 1)242!i (Г(Р + 1) ).dp5)! в (о: +о:р+l1г ctg 1Гр; 2) 2~~ ( 1 + ln ( ;18 1)•tg) ); 6)р12Г(р) COS(pK /2)(~;) ; 3)4~.Под ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.31Го: -;2)7Го: р12Г(р) sin(pK /2)•ln У'21Г; 4) ln У'21Г + a(ln а - 1);Гл.370Интегралы, зависящие от nара.метра.
Интеграл Фурье3.§ 17.Интеграл Фурье. Преобразование ФурьеСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Интеграл Фурье. Пусть функцияJ(x)кусочно непрерывнана любом отрезке действительной прямой, абсолютно интегрируеманаRи имеет в каждой точке х ЕRконечные односторонние производные. Тогда в точках непрерывности функциявиде интеграла Фурье+СХ)+СХ)о(1)-СХ)Jа в точках разрыва функциинапредставляется вJdy J f(t) cosy(x - t) dt,f(x) = :заменитьJf(xлевую часть равенства+ О) + f(x-(1)следуетО)2Если непрерывная, абсолютно интегрируемая наимеет в каждой точке х ЕRRфункцияJконечные односторонние производные, тов случае, когда эта функция является четной, справедливо равенство+СХ)f(x) =Ja(y)cosxydy,J f(t) cosytdt,(2)огде+СХ)а(у)Jа в случае, когда= :(3)о-нечетная функция, выполняется равенство+СХ)f(x) =JЬ(у) sinxydy,J f(t) sinytdt.(4)огде+СХ)Ь(у)= :(5)оФормулу(1)можно записать в комплексной форме:Jdy J f(t)eiy(x-t) dt,+СХ)f(x) = 2~-СХ)+СХ)-СХ)где внешний интеграл понимается в смысле главного значения.2.ПреобразованиеФурье.
ФункциюJ,Фурьеиобратноепреобразованиеопределяемую формулойvb J+СХ)!(у)= v.p.f(t)e- iyt dt,(7)-СХ)называют nреобразование'м Фурье функцииJи обозначают также и§ 17.Интеграл Фурье. Преобразованuе Фурье371/"..черезF[f],а функциюf,лу)определяемую формулойу.р.=+СХ)vb- J f(t)eiyt(8)dt,-СХ)называют обратным nреобразованием Фурье функцииютfи обозначаF-1[f].fЕсли функцияабсолютно интегрируема на R, то интегралы (7)и (8) существуют как несобственные, а не только в смысле главногозначения.Отметим следующие свойства преобразования Фурье и обратногопреобразования Фурье.1) Формула обращения. Если непрерывная функция f абсолютноинтегрируема на R и имеет в каждой точке х Е R конечные односторонние производные, тоF- 1 [F[f]] == F[F- 1 [f]] == f·2) Линейность.
Если существуют преобразования Фурье функцийfиg,j3 справедливоF[af + j3g] == aF[f] + j3F[g].то при любых комплексных а иравенствоАналогичное утверждение справедливо и для обратного преобразования Фурье.3) Непрерывность. Если функцияfR, то ее преобразование Фурье l(у) на R функция, причем/"..Нmу ---+ + СХ)f(y) ==Нmабсолютно интегрируема нанепрерывная и ограниченная/"..у ---+ - СХ)f(y) ==о.4) Преобразование Фурье производной. Если функцияfи ее производные до n-го порядка включительно непрерывны и абсолютноинтегрируемы наR,тоF [! (k )] == (i у ) k F [f] ,k == 1, 2, ...
, n.(9 )5) Производная nреобразования Фурье. Если функция f непрерывна на R, а функции f(x), xf(x), ... , х n f(x) абсолютно интегрируемына R, то функция f(y) == F[y] имеет на R производные до n-го по/"..рядка включительно, причемj(k) (у) == (-i)k F[x k f(x)],k== 1,2, ... , n.(10)ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПример1.Представить функцию1) f(x)==e- a1xl , а>О;24*f(x)2) f(x) =={интегралом Фурье, если:-11:О,если< х < О,если О < х < 1,если Ixl > 1.-1Гл.372А1)Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурье3.f -Так какзуя формулынепрерывная наR четная функция,(4) § 15, получаем(2), (3) и формулуJ+СХ)2== -1га ()уеcos yt dt-atоJто, исполь== 1Га(22а 2) ,+у+СХ)e- a1xl == 2а1г2) Функциячек х == -1, хf==Оcos ух dy+ у2а2х Е R.'является нечетной и непрерывной наО, х == 1.
Используя формулы (3) и1Ь(у) == ~! sin yt dt ==2(1 - cos у) ,1г1ГуОJ+СХ)f (х) == ~1гесли х1: о,х1: ±1.1(1 -О)При х== 2t,(11)1 - cos у sin ху dy,Уо== 1должно выполняться равенствоJ+СХ)+ 1(1 + О)_ 1221г2Полагая уR, кроме то(4), находим1-cosy.- slnY dу.Уоотсюда находимJ+СХ)~ cos t dt3sin=~оЕсли в(11) положить х== 1/2,тоJСХ)j (~)= 1=~1-~os уsin~ dy.оПолагая здесь у== 2t,найдем+СХ)J Si~3tdt=: •оПример2.Найти преобразование Фурье функции1)f(х)=е-(ФI, а>О;А1) Так как функция2) j(x)=x 2 e- 1xl ; 3)ff(x),если:f(х)= d~3 (1:х 2 ).абсолютно интегрируема наR,то еепреобразование Фурье существует и выражается формулойvb- Je-(Фlе-iХу dx.+СХ)F[J]=(12)-СХ)Преобразуя интеграл(12)и используя формулу(4) § 15,получаемИнтеграл Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
