1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 61
Текст из файла (страница 61)
; х n ;является открытым,{х==... ) Е lp I Ixnl < 1,(хl; ... ; х n ;... ) Е lp I Ixnlx(t)== 1,2, ... }Е С[а; Ь] (см.{y(t)Е~1, n == 1,2, ... }lp множеством, 1 ~ р < +00замкнутым в пространстведачу 5).Еслиnа параллелепипед-67.R,31),G[a; Ь] I Vt(см. зато множество функцийЕ [а; Ь]y(t)~x(t)}замкнуто в пространстве С[а; Ь].Будет ли замкнутым в пространстве С[а; Ь]жество многочленов 1) степени ~ n, 2) == n?68.в задачах69.Если(см.31)69-86доказать сформулированные утверждения.АВи-замкнутые(открытые)мномножества соответственно в метрических пространствах Х и У, то А х В является замкнутым (открытым) множеством в произведении Х х У метрических пространств Х и У (см. задачу70.17).Если связное множество содержит более одной точки, то ононе имеет изолированных точек.71.Объединение двух пересекающихся связных множеств является связным множеством.72.Для того чтобы объединение А U В двух связных множествГл.3924.Введение в ФУНffциональный анализА и В метрического пространства было связным, необходимо и досn В) u (А n В) 1: eJ.таточно, чтобы (А73.Если А и Внепустые открытые (замкнутые) множества-метрического пространства и Аn в ==eJ, то множество АuВнесвязно.74.Если сумма и пересечение двух замкнутых множеств метрического пространства связны, то и оба этих множества связны.75.Объединение возрастающей последовательности связных множеств является связным множеством.76.Объединение любой совокупности связных множеств, имеющих непустое пересечение, является связным множеством.77.Если для любых двух точек множества А существует связноемножество, содержащее эти точки и содержащееся в множестве А,то А является связным множеством.78.Замыкание связного множества связно.79.Если А-связное множество и А с В с А, то В-такжесвязное множество.80.Подмножество числовой прямой является связным тогда итолько тогда, когда оно является конечным или бесконечным промежутком.81.Множество точек плоскости, у которых обе координаты рациональны,82.Множество точек плоскости, у которых по крайней мере однакоордината83.несвязно.Дляиррациональна, является связным множеством.тогочтобымножествоА х В,лежащее в произведении Х х У метрических пространств Х и У, было связным (см.
задачу 17), А с Х, в с Х, необходимо и достаточно, чтобы оба множества А и В были связны.84.85.Пространствоявляется областью.Открытый шар в пространстве86. Открытыйдачу 4).В задачах87.Rnшар в пространстве87-99Rnlooявляется областью.является областью (см. задоказать сформулированные утверждения.Если последовательностьточек метрического пространствасходится, то она фундаментальная.88.Если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательностипричем89.сходится,к тому же пределу,точтосходитсяии указаннаявсяпоследовательность,подпоследовательность.Являются полными следующие пространства:§ 18.МетрuчеСffuе пространства3931) Rn ; 2) В(Е) (см.
пример 1); 3) Вс(Е) (см. задачу 3, 4));4) С В (Е), Е с R n , состоящее из всех ограниченных непрерывныхна Е функций с метрикой пространства В(Е);(см. задачу5) l(X)4); 6) lp, 1 ~ р< +00(см. задачу5).90. Множество l[~) всех последовательностей действительных чисел х == (хl; ... ; х n ; ... ), стремящихся к нулю с метрикойх == (хl; ... ; х n ... ), У == (Уl; ... ; Уn; ... ) Е l[~),р(х; у) == шах Ix n - Ynl,nявляется полным пространством.91.МетрическоеSпространстводействительных чисел х==всехпоследовательностей(хl; ...
;х n ; ... ) С метрикой(х)p(x;Y)=L2~1~lx:~n;nl' Х=(Хl; ... ;Х n ; ... ), У=(Уl; ... ;уn; ... )ЕВ,n=1полно.92.93.Пространство С[а; Ь] (см. задачуПространствоСn[а; Ь]всех31) полно.функций,ке [а; Ь] непрерывную производную порядкаимеющихнаотрезn с метрикойnр(х; у)==L шах Ix(k) (t) -y(k) (t)l,k=O [а;Ь]X(t), y(t) Е Сn[а; Ь],является полным.94.Пространство С(Х) [а; Ь]всех бесконечно дифференцируемыхна отрезке [а; Ь] функций с метрикой,,1~(х)р(х; у)=шах Iх (n) ( t)[а;Ь]-у (n) ( t ) I2n 1 + тах Ix(n)(t) _ y(n)(t)l'x(t), y(t) Е СОО[а; Ь],[а;Ь]nявляется полным.95.Функцию x(t) называют удовлетворяющей условию Гёльдера>степени а на отрезке [а; Ь], если существует такая постоянная сО,что для всех tl, t2 Е [а; Ь] выполняется неравенство Ix(t 2) - x(t 1 )1 ~~ clt 2 - t 1 la .
Пространство на[а; Ь] всех функций, удовлетворяющихна отрезке [а; Ь] условию Гёльдера степени аО с метрикой>р(х; у) = тах Ix(t) - y(t) I +[а;Ь]I [X(t2) - y(t2)] - [xlt 1 )a~tl <t2 ~bIt2 - tllsup-y(tl)] Iявляется полным.96.ПространствоC(R)всех непрерывных на числовой осифункций с метрикой,,1~(х)р(х; у)=является полным.n=1шах Iх ( t)[-n;n]-у (t ) I2n 1 + тах Ix(t) _ y(t)l'[-n;n]х, у Е G(R),RГл.3944.Введение в ФУНffциональный анализПодпространство97.непрерывнопространства С[а; Ь] (см.
задачуПространствоCLp[a; Ь], 1функцийне является полным.Пространство С L 1 [а; Ь] (см. задачу98.99.ется31)дифференцируемых~ р3, 5))< +00не является полным.(см. задачу7), не являполным.100.Обозначимпосредствомранства В(а; Ь) (см. пример1)СВ(а; Ь)подпространство простограниченных функций на конечном<или бесконечном интервале (а; Ь), -00 ~ аЬ ~ +00, состоящее извсех непрерывных функций. Будет ли пространство СВ(а; Ь) полным?101.Если метрическое пространство Х является полным с метрикой р(х;у), то будет ли оно полным с метриками Р1(Х;У), Р2(Х;У)и рз(х;у) задачи 18?Взадачах102.Вдоказать102-105полномсформулированныеметрическомпространствеутверждения.замкнутоеподмножество полно.103.Полное подпространство метрического пространства замкнуто.104.Если множество А плотно в метрическом пространстве Хи А с В с х, то множество В также плотно в х.105.Если множества плотны в метрическом пространстве, то ихобъединение также плотно в этом пространстве.106.Привести пример двух плотных в метрическом пространствемножеств,107.пересечение которых не плотно в нем.Будет ли множество всех многочленов в пространстве С[а; Ь](см.
задачуВ31): 1)задачах108.открытым;2)замкнутым;доказать108-110(см. задачу31).Множество многочленов плотно в пространстве Сn[а; Ь]93);множество многочленов плотно в пространствах< +003)утверждения.Множество непрерывных кусочно линейных функций плотно109. 1)~ рплотным?сформулированныев пространстве С[а; Ь] (см. задачу2)3)(см. задачуCLp[a;Ь],1~7);множество тригонометрических многочленов плотно в пространствах непрерывных периодических периода 21Г функций с метрикамир(х; у)р(х; у)===шахIx(t) - y(t)l,27Г1/Ix(t) - y(t) IP dt) Р, 1:::; р < +00.(!о[О;27Г]§ 18.110.МетрuчеСffuе пространства395В полном метрическом пространстве замыкание всякого егоподпространства является замкнутым множеством.111.Числовую последовательность называют финиmной, если вней только конечное число членов отличны от нуля.Доказать,чтоподпространство финитныхпоследовательностейпространства l[~) (см.
задачу 90) не является полным. Является ликакое-нибудь из пространств l[~) и l(X) его пополнением?112.Будет ли подпространство финитных последовательностей(см. задачу 111) пространстваlp, 1 ~ р < +00(см. задачу5), плотнымв этом пространстве?113.~ аПусть (а; Ь)< Ь ~ +00.-00~Функцию x(t) называют финиmной на интервале (а; Ь),если ее носителемле (а; Ь):конечный или бесконечный интервал:-supp х*)является компакт, содержащийся в интерваС (а; Ь).Будет ли множество Со(а; Ь) бесконечно дифференцируемых финитных на интервале (а; Ь) функций плотно в пространстве:CLp(a; Ь), 1114.113)Будет~ р< +00лимножество(см.
задачу7); СВ(а; Ь) (см. задачу 89)?непрерывныхфинитных(см.задачуна интервале (а; Ь), -00 ~ а < Ь ~ +00, функций плотным впространстве СВ(а, Ь) ограниченных непрерывных на интервале (а, Ь)функций (см. задачу 100)?Взадачах115-123доказатьсформулированныеутверждения.Две фундаментальные последовательности (хl; ... ; х n ; ...
) И(Уl; ... ; уn; ... ) метрического пространства Х называют ЭJliвиваленm-115.ными, еслиПусть х*-множество всех классов, эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей пространства х. Тогдаесли (хl; ... ; х n ; ... ) Е х*, Уl; ... ; уn; ... ) Е у*, то:1)числовая последовательность р(х n ; уn) фундаментальная и, следовательно, существуетlim р(х n ; уn);n---+(Х)2) этот предел не зависит от выбора... ; х n ; ... ) Е х*, (Уl; ...
; уn; ... ) Е у*;3) функцияр * (х * ; у *)== limпоследовательностей (хl; ...р ( х n ; У n) , ( х 1 ; ... ; х n; ... ) Е х *,(Уl; ... ; у n; ... ) Е У * ,n---+(Х)является метрикой на множестве х*.116.ОтображениеJ,ставящее в соответствие каждой точке х ЕЕ Х класс эквивалентных фундаментальных последовательностей х**)н осиmеле,М ФУН'/f,ции называется замыкание множества точек, в которыхфункция не равна нулю. Носитель функцииf(x)обозначаетсяsupp f(x).4.Гл.396Введение в ФУНffциональный анализ(см.задачусодержащий{х;х;... ;х; ... }, является изометричным отображением Х в Х*.115),стационарнуюпоследовательностьj(x n ) == x~j(X) плотноЕсли (хl; ...
;х n ; ... ) Е х* (см. задачу 115) и(см. задачу 116), то lim p*(x~;x*) == О и множество117.n---+ооВ пространстве Х*.118.119.Пространство Х* (см. задачу120.Пополнение метрического пространства с точностью до изо115)полное.Всякое метрическое пространство имеет пополнение.метрических отображений единственно.Последовательность121.непустыхмножествметрическогопространства называют последовательностью Коши, если эти множества последовательно вложены друг в друга и их диаметрыЕсли последовательность (хl;странстважеств Еn... ; х n ;является фундаментальной,==(х n ; х n +l;...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
