1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

п.ПроизведениемХ х У1).двух полунормированных (в частности,нормированных) пространств Х и У называют полунормированное(соответственно нормированное) пространство, являющееся произве­дением линейных пространств Х и У с полунормой (нормой)II(x; y)11 ==Ilxlli + IIYII~,х Е Х,Подмножество Е полунормированногоранстваназываютограниченнымществует такая постоянная снеравенствоIlxll>У Е У.( нормированного)по полунорме(норме),прост­еслису­о, что для всех х Е Е выполняется~ с.Последовательность (хl; ...

; х n ; ... ) элементов полунормированного( нормированного) пространства Х называют сходящейся по полунор­ме (норме) к элементу х Е Х, если пределlimn---+оослучае пишутlimn---+ооОтображениеf:Х---+хnIlx n-xll == о.В этом== х.У полунормированного (нормированного)пространства Х в полунормированное( нормированное)пространст­во У называют непрерывным в тОЧffе ха Е Х, если для любой после­довательности (хl; ... ;х n ;пространства Х: lim х nn---+ооКf(xa)сходящейся к ха по полунорме (норме)ха, последовательность {f(x n )} сходится...

),==по полунорме (норме) пространства У:limn---+ооf (х n) == f (ха) .Взаимно однозначное отображениеf:Х---+У нормированногопространства Х на нормированное пространство У, сохраняющее ли­нейную операцию (т. е. изоморфно отображающее линейное прост­ранство Х на линейное пространство У) и норму (для всех х Е Хвыполняется условиеIlf(x)lly == Ilxllx),называют изоморфным отоб­ражением илиизоморфизмомнормированного пространстваХнормированноепространствоУ.имеетАналогичноеопределениеместо и для полунормированных пространств.В нормированном пространстве Х функцияp(x;y)==llx-Yllx,хЕХ,уЕХ,на§ 19.Нормированные и полунормированные пространства409является метрикой, называемой метРИJliОЙ, nорожденной нормой про­странства х.

Таким образом, на нормированные пространства (какна частный случай метрических) распространяются все понятия, вве­денные в§ 18для метрических пространств.Полное нормированное пространство называют банаховым nрост­ранством.Систему элементов {ха}, а Енекоторое множество ин­U (U -дексов), полунормированного пространства Хназывают полной вэтом пространстве, если для каждого элемента х Е Х и любого Есуществуютчисла Л1,такие... , Л n ,х а1 ,элементы...

, х апданнойсистемыи>Отакиечто выполняется неравенствоIlx -+ ... + лnхап)11 < Е.(Л1 Х аlПолунормированное пространство Х называют вложенным в по­лунормированное пространство У, если:1) Х С У;2)существует такая постоянная свыполняется неравенствоIlxlly~>О, что для каждого х Е Хcllxllx.Если пространство Х вложено в пространство У, то пишут Х ~ У.3.Линейные и полилинейные операторы.

В дальнейшем вэтом параграфе х,У илинейные нормированные простран­Z -ства. Поскольку нормы порождают метрику, то для нормированныхпространств определено понятие непрерывного (по норме) отобра­жения одного из них в другое. Отображения нормированных прост­ранств называют обычно операторами.

Операторы, отображающиеданное нормированное пространство во множество действительныхили, более общо, комплексных чисел, называют ФУНJliционалами надданным пространством.Пусть А:Х---+У. ПоложимIIAII == sup IIA(x)lly·(1)Ilxllx~lОператор А называют ограниченным, еслиIIAII < +00.Для линей­ных операторов это условие равносильно тому, что существует такаяпостоянная с> О,что для всех х Е Х выполняется неравенствоIIA(x)lly~cllxllx.Для линейных ограниченных операторов величину(1)называютих нормой.Множество всех ограниченных линейных операторов, отображаю­щих пространство Х в пространство У, обозначают 2(Х; У).Билинейное отображениеf:Х х У---+ Z(см. п.ниченным, если существует такая постоянная сх Е Х и У Е У выполняется неравенствоIlf(x;y)llz~cllxllxllyllx.1)называют огра­> О,что для любых4.Гл.410Введение в ФУНffциональный анализАналогичным образом вводится понятие ограниченного полили­нейного отображения.Дифференцируемые4.пространств.

Пусть Х и Уотображениянормированные пространства,-открытое в Х множество и ха Ееслисуществуетние Е:==о((хтакоеха)n),-непрерывноеG ---+ У, что а(х) == Е(Х) IlxfОтображениеранства ХG ---+ УОтображение а:G.беСJliонечно малым по сравнению с фУНJliциейанормированных-хаIlx -х---+вточкеIln,открытого множествахаIlnх==G -называюти пишутха,Е(О)G==хаотображе­о.нормированного прост­в нормированное пространство У называют дифферен­цируемым или сильно дифференцируемым в точке х Еществует такой линейный ограниченный оператор А: Хf(x+ h) ==f(x)+ A(h) + o(h),h ---+если су­G,---+У, чтоо.в этом случае линейный оператор А называют дифференциаломотображения f в тОЧJliе х и обозначают Df(x) (или (Df)(x)), а так­же(х). Его часто называют сильным дифференциалом или сильнойf'производной, а иногда дифференциалом или производной Фреше.Если ха Е Х и х Е х, то множество всех точек пространства Х+вида (1 - t)xatx, О ~ t ~ 1, называют отреЗJliОМ [ха; х], множествовсех точек вида (1 - t)xatx, 0< t < 1, - интервалом (ха; х) в этомпространстве, а числоих длиной.

Точки ха и х называют+Ilx - xall -Jliонцами указанных отрезкаПусть х Е Е с х,hи интервала.Е Х,содержит все точки вида хh+ thi-О, множество Е таково, что онопри достаточно малыхt >О (т. е.содержит некоторый отрезок положительной длины с концом х в на­h) и f: Е ---+ У.правлении вектораfОтображениеправлениюBeJlimopa h,чтоf(xЭлементниюhназывают дифференцируемым в тОЧJliе хесли существует такой элемент+ th) ==D h f (х )f(x)+ (Dhf)(x)t + o(t),t ---+по на­(Dhf) (х)о.Е У,(2)(D h f) (х) называют производной по направле-или производной Гато по этому направлению.Производная Фрешеразную природу:D f(x)Если отображениеи производная ГатоDf(x)Е .2(Х; У), аf: G ---+У,множество, имеет в точке х ЕGG -Dhf(x)Dhf(x)имеютЕ У.открытое в пространстве Хпроизводную(Dhf)(x)по любо­му направлению и существует такой линейный ограниченный опера­тор (Dслf) (х): Х---+У, что(Dnef)(x)(h) == (Dhf)(x),то этот оператор называют слабым дифференциалом или слабой произ­водной, а также дифференциалом или производной Гато.

В этом случаеf(x+ th) ==f(x)+ tDслf(х)(h) + o(t),t ---+О,hЕ Х.§ 19.Нормированные и полунормированные пространстваЕсли отображениежестваGj: G ---+411У открытого в пространстве Х мно­дифференцируемо во всех точках х ЕG,то его производнаяЕ .2(Х; У) задает отображение j': х ---+ j'(x) множества G влинейное нормированное пространство .2(Х; У). Если это отображе­j'(x)ние в свою очередь дифференцируемо в точке хо ЕG,то его произ­водную (j')' (ХО) обозначают j" (ХО) и называют второй производнойотображения j (в точке ХО).

Она является элементом пространст­ваL(X; .2(Х; У)).Вторая производная может быть рассматриваема как билинейнаяформа, определенная равенствомj"(x)(h;k)h Е Х,== (j"(x)h)k,Производная любого порядкаnЕNk Е Х.определяется по индукции(как обычно, j(O)(x) == j(x)). При фиксированном х Е G производная j(n) (х) является линейным ограниченным оператором из прост­ранства Х в пространство .2(Х;,...

; .2(Х; У) ... ),т. е.~v'разn-lj(n)(x) Е .2(Х; .2(Х; ... ; .2(Х; У) ... )).,~v'разn+lПроизводную j(n)(X) можно рассматривать как n-линейную фор­му, определяемую равенством(j(n)(x))(h 1; ... ; h n )== (... (j(n)(x)h1) ... )h n .В случае, когда h 1 == h 2 == ...

== h n == h, вместо j(n) (x)(h; ... ; h) пишут j(n) (х )h n .5.Интегрирование векторнозначных функций. Пусть функ­ция х== x(t)отображает отрезок[а;;3] сRв линейное нормиро­ванное пространство Х, т == {ti}1~?T - разбиение отрезка [а; ;3],д,ti == ti - ti-l, ~i Е [ti-l; ti], i == 1,2, ... , i T , ITI ==. тах. Iд,til (мел'l=1,2, ... ,'lTкость разбиения т),i=l(3ИнтеграломJx(t) dt (подробнее -интегралом Римана-Бохнера)аот функцииx(t)по отрезку [а;;3]называют пределlim ат,ITI---+Oт.

е.(3Jх t) dt == ITI---+Oт,(limсуммопределяют(J"(3)агдепределинтегральныханалогичнословых функций: элемент а Е Х называют пределомслучаюlim ат,ITI---+Oчи­если4.Гл.412Введение в ФУНffциональный анализ> О существует такое д > о, что для всех разбиенийITI < д выполняется неравенство 110"7 - allx < Е.для любого ЕмелкостиЕсли интеграл (3) существует, то функцию х:вают интегрируемой на отреЗJliе [а;;3].[а;;3]---+тХ назы­ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.Доказать, что если каждый измых векторов является линейной комбинациеймых векторов, тоmYi==линейно независи­линейно независи­n.~А Пусть системы векторов Х1,симы, и пустьmnЛi1 Х 1...

, Х N И У1, ... , Ут линейно незави­+ ... + лinхn,i== 1,2, ... , т.Тогда среди чисел Л11, Л12,ло, отличное от нуля: в... , Л1n найдется по крайней мере одно чиспротивном случае У1 == О И система У1, ... , Уnбыла бы линейно зависима. Перенумеровав, если в этом есть необхо­димость, векторы Х1, ... ,х n , всегда можно получить, что Л11этом случае вектор Х1нации векторов У1, Х2,i=-о. вможно представить в виде линейной комби­...

, х n .Подставив эту линейную комбинациюв выражение для вектора У2, получим, что вектор У2... , х n .ной комбинацией векторов У1, Х2,будет линей­Продолжив этот процесс, че­рез k шагов (быть может, меняя нумерацию) получим, что векторYk+1 будет представлен как линейная комбинация векторов У1, ...

Характеристики

Список файлов книги