1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 68
Текст из файла (страница 68)
задачу 163). Тогда для любогоУ Е У верно равенство (F(x))(y) == Iх(У) == l(х; у), F является линейным ограниченным оператором, отображающим пространство Хв пространство 2(У;т. е.Z),Z)), и IIFII == 11111.задачу 164) является изоморф22 (Х, У; Z) на пространствоЕ 2(Х, 2(У;F1Отображение---+ F (см.отображением пространства165.ным2(Х, 2(У;166.нятиеZ)).По аналогии с билинейным отображением определяется поn -линейного---+отображения Х 1 Х Х2 Х ... х Хnи его норма (Х 1 , Х 2 , ... , Х n , УУ,n == 1, 2, ...
,нормированные пространства). Нор-мированное пространство всех ограниченных n-линейных отображений2n(Х 1 , Х 2 , 000' Х n ; У) изоморфно с пространством2(Х 1 , 2(Х 2 , 000' 2(Х n ; У)ооо)),причем существует такой изоморфизм этих пространств, что для соответствующихпри нем друг другу элементов1 Е 2 n (Х 1 ,Х2 , ооо,Хn;У)для любых xk ЕX k, kиЕ 2(Х 1 ,2(Х 2 , ооо,2(Х n ;У)ооо))F== 1,2, 000' n,имеет место соотношениеI(Хl; Х2; 000; Хn)о(ooo(( FX l)X2)ooo)X n ==взадачах167.167-174доказать1:Если отображениесформулированныеG ---+утверждения оУ открытого в Х множестваGG, то оно и непрерывно в этой точкео168.
Если отображение 1: G ---+ У открытого в пространстве Хмножества G дифференцируемо в точке х Е G, то его дифференциалдифференцируемо в точке ха Ев этой точке определен однозначноо169.1:Если отображениепространстве Х множествеG,G ---+Уто 1'(х)постоянно на открытом в==о наGo170. Если Ха Е Х, а Е Х и l(t) == Ха + at, -00 < t < +00, тоотображение 1: R ---+ Х дифференцируемо во всех точках t Е R иl' (Ха + ta) ==ао171. Отображение Укрытого в пространстве(Хl; 000; х n ), У==l(х), хi== 1,2, ооо,т;====(Уl; 000; Ут), отRn множества G в пространство Rm дифференцируемо в точке х Е G тогда и только тогда, когда в этой точкедифференцируемы все его координатные функции Yi == Yi (Хl ; о о о; х n ),i == 1,2, 000' т, причем производная l' (х) задается .матрицей ЯJfiобиya i ),( aXj172.j== 1,2, ооо,nоДоказать, что дифференциал линейного отображения совпадает с самим отображением о173.
Если отображение wго множестваG== l(z), z == х + iy,W== u + iv,открытос С в комплексную плоскость С дифференцируемо§ 19.в точкеНормированные и полунормированные пространстваZa ==+ iYaха429в смысле Фреше, то в этой точке выполняютсяусловия Коши-Римана174.~tдu(ха; уа)av(xa; уа)av(xa; уа)дu(ха; уа)дхдудхдуПусть функции ср( t; в) и~ Ь, -00<s<формулой(см. задачуacp(t·s)д;+00 и отображениеf(x) == cp(t; x(t)),8).Тогда отображениеfнепрерывны в полосе а ~f:С[а; Ь]-+С[а; Ь] задаетсях Е С[а; Ь]дифференцируемо в любой точке ха Е С[а; Ь] и(f'(xo))(h(t)) = af(t~:o(t)) h(t),h Е С[а; Ь].Получить отсюда формулу для производной отображения f: С[а; Ь] -+-+ С[а; Ь] умножения на непрерывную функцию, т.
е. для производнойотображения (f(x))(t) == cp(t)x(t).175.Найти производные следующих отображений в указанныхточках (см. задачу8):1) f(x) == sinx(t), f: С[О; п] -+ С[О; п] в точке ха == cost;2) f(x) == ax 2 (t) + bx(t) + с, f: С[О; 1] -+ С[О; 1] в точке ха3) f(x) == etx(t), f: С[l; 2] -+ С[l; 2] в точке Ха == ln t.176. Найти производную Фреше функционала==О;ьf(x) =JF(t; x(t); х' (t)) dt,аопределенного на банаховом пространстве С 1 [а; Ь] непрерывно дифференцируемых на отрезке [а; Ь] функцийx(t),обращающихся в нульна его концах, в предположении дважды непрерывной дифференцируемости функцииF.Во всех дальнейших задачах этого параграфа под пространствомпонимается линейное нормированное пространство, если, конечно, неоговорено что-либо другое.Взадачах177.177-183доказатьЕсли отображенияранстве Х множестваGf: G -+ У178.(лfиg: G -+утверждения.У открытого в простдифференцируемы в точке х Ебая их линейная комбинация лfточке исформулированные+ JLgG,то лютакже дифференцируема в этой+ JLg)'(x) == лf'(х) + JLg'(x).Если отображениеf: G -+У открытого в пространстве Х+ tah, О < ta < 1, интервала (х; х + h) с G, то отображение g(t) == f(x + th), О < t < 1, дифференцируемо в точке ta и g' (ta) == f' (ха + ta h) h.множестваGдифференцируемо в точке хГл.430179.4.Если Х, У иВведение в ФУНffциональный анализнормированные пространства,GиD открытые множества соответственно в Х и У, отображение f: G---+---+ D дифференцируемо в точке х Е G, а отображение g: D ---+ Z в точкеZ -то их композицияf(x),gfдифференцируема в точке х и еедифференциал в этой точке равен композиции дифференциалов отображений180.fиg: D(g(f(x)))(Df(x)).Условиеравносильно условию существования предела(2)Нm f(x+ th)181.Отображение х- f(x)== (Dhf)(x).tt--+a---+Ilxll,х Е Х, имеет в точке х== Опроизводную по любому направлению, но не дифференцируемо в этой точке.182.Если отображениемножестваGf: G ---+У открытого в пространстве Хдифференцируемо в точке х ЕGпо Фреше, то оно вэтой точке имеет производную по любому направлению.183.Если в данной точке у заданного отображения существуетсильный дифференциал, то в ней существует и слабый, причем онисовпадают.184.Привести пример отображения, имеющего в некоторой точкеслабый дифференциал и не имеющего в ней сильного.Взадачах185.185-193доказатьЕсли у отображениямножестваGсформулированныеf: G ---+утверждения.У открытого в пространстве Хв некоторой окрестности точки х ЕGсуществует слабая производная Dслf(х), непрерывная в точке х (т.
е. в этой точкенепрерывно отображение х ---+ (Dслf)(х) Е g(X; У)), то в ней существует сильная производная Df(x), и она совпадает со слабой.186.Пусть ер-отображение отрезка [О;ванное пространство У, а Фтакже на отрезке [О;1],-1]в линейное нормиродействительная функция, заданнаяпричем ер и Ф непрерывны на этом отрезкеи дифференцируемы в его внутренних точках. Тогда, если для всехЕ (О; 1) выполняется неравенство 11 ер' (t) 11 ~ ф' (t), то выполняется инеравенство Ilep(l) - ep(O)11 ~ ф(l) - ф(О).t187.Если отображениеf: G ---+У открытого в пространстве Хмножества G непрерывно на отрезке [ха; х] Сна интервале (ха; х), тоIlf(xa188.+ h)- f(xa)11 ~Билинейную формуIlhll supGи дифференцируемоIlf'(~)II·(хо;х)F(x; у),х Е Х, У Е Х, называют симметричной, если для любых элементов х Е Х и У Е Х выполняетсяравенство F(x;y) == F(y;x). Если отображение f: G ---+ У открытогов пространстве Х множества G имеет вторую производнуюВf"точке ха ЕG,то эта производная является симметричной формой,§ 19.Нормированные и полунормированные пространстваg2(X 2; У)принадлежащей пространствучу159).189.431g2(X, Х; У) (см.
зада-Имеет место формулаj(n)(x)(h 1 ; ... ; h n ) == ((j(n-l))'(x)h 1 )(h 2 ; ... ; h n ).190.Имеет место формула((j(m))(n-m)(x)(h 1 ; ... ; hn-m))(hn-m+l; ... ; h n ) ==О ~ т ~ n.== j(n)(x)(h 1 ; ... ; hn ),191. Производная j(n) любого порядка n является симметричнойn-линейной формой (n-линейную формуF(Xl; ... ; х n )называют симметричной, если ее значения не меняются при любой перестановкеее аргументов).192.j: G ---+Если отображениеУ открытого в пространстве Хмножества G имеет на отрезке [ха; х] С G n непрерывных производных и на интервале (Ха; х) производную порядка n1, то+f"~~o) h2 -Ilf(x a + h) - f(xa) - f'(xa)h -~ Ilh 11n+1,(n193.рядка n+ 1).000f(n:~xo) hnll ~-Ilf(n+1)ЮII, ха + h Е [ха; Х]оsup(xo;xo+h)Если в предположениях предыдущей задачи производная по+ 1 отображениясjограничена на интервале (ха; х):== sup Ilj(n+l) (~) < +00,11(хо;х)тоf(xa+ h)=f(xa)+ f' (ха) h +f" (~o) h 22.+ +000f(n) ~xo) h n + o(h n )n.h---+O(формула Тейлора).194.
Для отображения(f (х ) ) (t) =j:С 2 [О; 1]С[О; 1]---+(см. задачу 69)~:; + sin х (t) найти все его производные в точке х= tи разложить по формуле Тейлора в окрестности этой точки.(3195. Датьопределение интеграла Римана-БохнераJx(t) dt,ах:[а;;3]---+Х, [а;;3] синтегральныхемсуммиR,в терминах пределов последовательностейдоказатьегоэквивалентностьсопределени-(3).Взадачах196.196-207доказатьЕсли функция х:ное пространство,[а,;3]сформулированные---+Х, Х-утверждения.линейное нормированто она ограничена, т. е. множество ее значенийявляется ограниченным в пространстве Х множеством.4.Гл.432Введение в ФУНffциональный анализ197.
Пусть Х: [а; jJ] -+ Х - ограниченная функция, Т == {ti}~~~T разбиение отрезка [а;jJ],Шi(Х; Т)==111(1]) -sup1(~)II·~,1JЕ[ti-l;ti](3Тогда для того чтобы существовал интегралJx(t) dt, необходимо идостаточно, чтобы.а'[тlimITI---+OL Шi(Х; T)~ti == о.i=l(3Jx(t) dt от ограни-198. Для того чтобы существовал интегралаченной функции Х:jJ] -+[а;Х, где Хбанахово пространство,-необходимо и достаточно, чтобы, какова бы ни была последовательность {О"Т п } интегральных сумм функции==о,>для любого Еномеров199.n, m> ПОx(t),у которойО существовал такой номер По,выполняется неравенство 100TnЕсли функция х:jJ] -+[а;limn---+ооO"T rп-ITnl ==что для всех1< Е.Х непрерывна, то она интегрируема.200.функцийиЛинейнаякомбинацияявляетсяинтеграл(2)интегрируемыхинтегрируемойотлинейнойнаэтомкомбинациинаотрезкеотрезкефункций[а;jJ]функцией,равентакойже линейной комбинации интегралов от этих функций.201.jJ],202.Если функция х: [а; jJ] -+ Х интегрируема на отрезках [а; (]аrjJ, то она интегрируема и на отрезке [а; jJ] и имеетЕсли функция х: [а; jJ] -+ Х интегрируема на отрезке [а;то она интегрируема и на любом отрезке [а'; jJ'] с [а; jJ].и[r; jJ],<<место формула(3(3IJx(t) dt Jx(t) dt + Jx(t) dt.=а203.IаЕсли функция х: [а;jJ] -+ Хинтегрируема на отрезке [а;то на этом отрезке интегрируема и ее норма(311Ilx(t)ll, t Е[а;jJ],jJ],причем(3Jx(t) dtll ::;; JIlx(t)а11dt.аЕсли функция х: [а; jJ] -+ Х постоянная:интегрируема на отрезке [а; jJ] и204.(3Jx(t) dtа=((3 - а)хо.x(t)Ха, то она§ 19.205.гдеcp(t)Нормированные и полунормированные пространства(3Jx(t) dt=хаа206.x(t) == cp(t)xa,Если отображение х: [а;;3] -+ Х имеет вид- числовая функция, а ха Е х, то(3Если С: Х-+У433Jcp(t) dt.аограниченное линейное отображение нор-мированного пространства Х в нормированное пространство У, то(3(3JC(x(t)) dt=С(а207.Jx(t) dt).аПусть задано непрерывное отображениеf:Х-+У нормированного пространства Х в нормированное пространство У и [ха; Хl] СС х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
