1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 72
Текст из файла (страница 72)
1г /2, 1г /3, 1г /6. 36.37. 1) cos <р == v6 / 1Г; 2)56.1) yo(t) == 1, Yl(t) ==2) yo(t) == 1, Уl (t) == 2t -1) Да; 2) нет.cos <р == у''--з/-(1Г-2-+-3-) .t, Y2(t) == 3t 2 -1, уз(t) == 5t З - 3t;1, Y2(t) == 6t 2 - 6t + 1, уз(t) == 20t З -ЗОt 2 + 12t - 1.75. Нет.95.
Да (например, когда Е - плотное в Х множество).98. Нет, нет.99. y..l == {x(t)lx(t) == О для всех t Е [-1;0]}, нет.100. y..l состоит из одномерного подпространства всех постоянных функций.29Под ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.3Гл.450§ 21.4.Введение в ФУНffциональный анализТопологические пространства.
Обобщенные функцииСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Топологическиепространства. МножествоХназываюттоnологичеСffИМ nространством, если в нем задана система П== {G}его подмножеств, удовлетворяющая следующим условиям:1)пересечение любой конечной совокупности множеств системы П принадлежит этой системе;2)объединение любой совокупности множеств системы П принадлежит этой системе;3)Х Е П, g Е п.Систему Пназывают топологией тоnологичеСffого пространства х, а множества системы П-его отffрытыми множествами.Для каждой точки х Е Х всякое содержащее ее множествоназывают ееGЕ ПОffрестностью.Если у любых двух точек топологического пространства существуютнепересекающиесяокрестности,топространствоназываютхаусдорфовым или отделимым.Множества, дополнительные к открытым, называют заМffнутыми.Всякую подсистемуDсистемы П открытых множеств топологического пространства называют его базой топологии, если любоеоткрытое множество пространства является объединением некоторой совокупности множеств изСистемуD(x)D.окрестностей точки х топологического пространства Х называют ЛОffальной базой топологии в этой тОЧffе, если, каковаV точки х в пространствеD(x), что И с v.бы ни была окрестностьтакая окрестность И Ех, существуетТочку х Е Х называют тОЧffОЙ nРИffосновения множества Е с х,если любая окрестность точки х содержит точки множества Е.Точку х Е Х называют предельной тОЧffОЙ множества Е с х, еслилюбая окрестность точки х содержит по крайней мере одну точкумножества Е, отличную от х.Совокупность всех точек прикосновения множества Е с Х называют его заМЫffанием Е.Множество Е называют плотным в пространстве х, если ЕПоследовательность точек х n Е Х(n == 1,2, ...
)== х.называют сходящейся в пространстве х, если существует такая точка х Е х, чтодля каждой ее окрестности U(х) существует такой номер ПО, что для>всех номеров nПО выполняется включение х n Е U(х). В этом случаеточку х называют пределом последовательности (хl; ... ; х n ; ...
) и пишутlimn---+оохn== х.В следующем пункте будет дано обобщение понятияпредела последовательноститочек топологического пространства.§ 21.2.ТоnологuчеСffuе пространства. Обобщенные ФУНffЦUU451Фильтры. Предел по фильтру. Пусть задано множество Х;==через ВВ(Х) будем всегда обозначать множество всех его подмножеств.Если Хнепустое множество, то множество-с В(Х) называ/ют фильтром или, подробнее, фильтром на множестве Х, если:для любых А' Е /с А' пА";1)и А" Е /существует такое А Е /, что А с1:eJ ~ /, /eJ.Фильтр /1 == {А} на множестве Х называют фильтром, Jliоторыйсильнее фильтра== {В} на том же множестве Х, если для любогомножества В Есуществует такое А Ечто А с В.2)/2/2/1,Если фильтр /1 сильнее фильтра /2, а фильтр /2фильтры /1 И /2 называют ЭJliвивалентными.Фильтр/1мент фильтра/2,элементом фильтра /2,сильнее/1,тоназывают подфильтром фильтраесли каждый эле/1т.
е. еслиявляется и/1С/2.Каждый подфильтр фильтра, эквивалентный самому фильтру, называют его базой.ФильтрЕна множестве Х называют полным, если из условий А Е// и А с В с Х следует, что В Е /.Если Х и У некоторые множества, f:/ == {А} - фильтрf(A) множеств А Е /Х в У иФильтрЕсли Х----+у-отображениена множестве Х, то совокупность всехобразовобозначаетсяf (/).f(/) называютХявляется фильтром на множестве У иобразом фильтрапри отображении/топологическое пространство, Х Е Х иf.фильтр/ -на Х, то точку Х называют пределом фильтра/тОЧJliОЙ, если фильтрявляющегося локальсильнее фильтра/D(x),или его предельнойной базой топологии в этой точке.Если точка х является пределом фильтраЕслиf:Х---+у-/,== lim /.то пишут хотображение некоторого множества Х в топологическое пространство У и/ -фильтр на Х, то точку Ь Е У назыffвают пределом отображенияпо фильтру / и пишут lim f(х) == Ь,если фильтримеет своим пределом в пространстве У точку Ь:f (/)ЬЕсли Х и УЕ Х и/ --== lim f f (х) == lim f (/) .топологические пространства,такой фильтр на Х, чтоlim/==limf f(x)пишут такжеlimХ---+ХОfХ---+Ха, то пределназывают пределом отображения по фильтруслучае вместоf:/ вf(x).У, Ха Еlimf f(x)точке Ха.
В этомФильтр в метрическом пространстве называют фильтром Коши,если он содержит сколь угодно малые по диаметру множества.3.Обобщенные функции. Пространством основных ФУНJliЦИЙDназывают множество всех бесконечно дифференцируемых финитных29*Гл.452R ---+функций ер:4.Введение в ФУНffциональный анализС со следующим определением сходимости последовательностей: последовательность ерn Еназывают сходящейся JIiDФУНJliЦИИ ер Е D, если существует такой отрезок [а; Ь], что supp ерn СС [а; Ь], n == 1,2, ...
, supp ер С [а; Ь] и на этом отрезке последователь-ность функций ерn И последовательности всех их производных ephk~n == 1,2, ... ,равномерно сходятся соответственно к функции ер и к еепроизводным ep(k) , k== 1,2, ...В этом случае пишут lim ерn==ер В D.n---+ооФункции, заданные на пространстве основных функций, называ-ют обычно ФУНJliционалами и вместоФункционалЕD,Ф Е1:D ---+ Rи любых л,DJL1(ер)называют линейным, если для любых ер ЕЕ С выполняется условие(1, лер + JLф) == л(l, ер)1:Функционалвия==lim ерnn ---+ 00Всякийер ВD ---+D),(1, ерn) == (1, ер).функционал 1,D следует, что limn ---+ 00линейныйнепрерывныйD,1:R ---+Сзаданныйнаназывают обобщенной ФУНJliциейи их совокупность обозначаютФункцию+ JL(I, ф).С называют непрерывным, если из услопространстве основных функций(на(1, ер).пишутD'.называют ЛОJliально интегрируемой, еслиона абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке.Обобщенную функциюи, ер)+00=Jf (х ер (х))(1 )dx-00называют обобщенной ФУНJliцией, nорожденной ЛОJliально интегрируе1:мой ФУНJliциейR ---+ R.Другим примером обобщенной функции является д-функция д(Х)(д, ер)==ер(О),ер ЕD.Сдвинутой д -ФУНJliцией д(Х - Ха) называют обобщенную функцию,ставящую в соответствие каждой основной функции ер число ер(Ха).Можно показать, что д-функция не порождается никакой локальноинтегрируемой функцией.Последовательность обобщенных функцийзывают сходящейся JIi обобщенной ФУНJliЦИИ1n1Ефункции ер ЕDвыполняется условиеlimn---+оо(1n , ер) == (1, ер).Производной обобщенной ФУНJliЦИИобозначаемыйl'ПроизводныеD', n == 1,2, ...
, наD', если для любойЕ1называют функционал наD,и определяемый равенством(1', ер) == -(1, ер'), ер Е D.порядка n == 2,3, ... определяют1(n) == (l(n-l)),.(2)по формуле§ 21.ТоnологuчеСffuе пространства. Обобщенные ФУНffЦUU453Из этих определений следует, что(j(n), ер) == (_l)n(j,ep(n)),ер Е D,Для любой обобщенной функции изже обобщенная функция изD'.j(O) == j,D'n == 1,2, ...любая ее производная такТаким образом, обобщенные функции имеют производные любогопорядка.Преобразование4.Фурьеобобщенныхфункций. Пустьлинейное пространство всех бесконечно дифференцируемых наS -всей числовой осиRфункций ер:R ---+С, которые вместе со всемисвоими производными стремятся к нулю при Х---+ ±ооn, m == 0,1,2, ...степени l/х, т.
е. таких функций ер, что при любых.n (т) ( )11т Х ерХимеет место равенствох---+ооПоследовательностьepkЕ В,kк функции ер Е В, если для всех==быстрее любойо.== 1,2, ... , называют сходящейся в Sn, m == 0,1,2, ... каждая последова-тельность xnep~т) (х), k == 1,2, ... , равномерно на всей оси сходится кфункции хnер(т) (х). В этом случае пишут lim epk == ер В В.ПространствообладаетSтемk---+ooсвойством, чтопреобразованиеФурье и обратное преобразование Фурье отображаютНепрерывность функционалаlim ерnn ---+ 00==ер В В, следует, что иЛинейныйнепрерывныйj: S ---+ с означает,lim (j, ерn) == (j, ер).Sна себя.что из того, чтоn ---+ 00функционал,определенныйнапрост-ранстве В, называют обобщенной функцией 'медленного роста, а множествовсехтакихфункционалов-nространство'мобобщенныхфункций 'медленного роста и обозначают В'.Примеромобобщеннойфункциимедленногоростаявляетсяд-функция д(Х), определяемая равенством (д, ер) == ер(О), ер Е В.Как и в случае обобщенных функций j Е D ' дЛЯ обобщенных функцийj Е В', производная j(n) порядка n функции j определяетсяравенством (j(n) , ер) == (-1 )n(j, ер(n)), ер Е В.Преобразованием Фурье обобщенной функциифункционалF(j),jЕ В' называютопределяемый формулой(F(j),Преобразование Фурьеер)== (j, F(ep)),F(j)функцииер Е В.j(основной или обобщенной) обозначают также и символом [.Обратное nреобразование Фурье F- 1 обобщенных функций j Е В'определяют формулой(F-1(j),Пусть Ф== R ---+С-ер)== (j, F-1(ep)).такая бесконечно дифференцируемая функция, что для любой ее производной ф(n), n== 0,1,2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
