1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 70

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 70)

Если (х, у) - почти скалярное (скалярное) произведение в ли­нейном пространстве, то функционал Ilxll == J(x, х) является полу­нормой (нормой) в этом пространстве.6.В множестве действительных чиселноженияявляетсяскалярнымRпроизведением,обычная операция ум­авмножествекомп­лексных чисел С скалярным произведением чисел Zl и Z2 являетсяпроизведениеZl Z2.§ 200В7.Гuльбертовы пространствадействительномn-мерномвекторном439пространствеRnфункционал(Х, у)Хявляется==ХIУln+ + ХnУn,000(Хl; ооо;Х n ) Е R ,==скалярнымупроизведением,n==(Уl; ооо;Уn) Е R ,асоответствующаяемунормасовпадает с длиной вектора.8.

В комплексном n-мерном векторном пространстве СП (см. за­дачу3)функция(Х, у)Х==ХIУl+ ... + ХnУn,(Хl; ... ;х n ) Е сп,==У==(Уl; ... ;Уn) Е сп,является скалярным произведением.9. В действительномn-мерномвекторномпространствеRnфункция(х,у)Х==ХIУl+ ...

+ХтУт,n(Хl; ... ;х n ) Е R ,==у==1~ m< n,n(Уl; ... ;Уn) Е R ,является почти скалярным произведением и не является скалярным.В линейном пространстве RL 2 (a; Ь), -00 ~ а < Ь ~ +00, состо­ящем из действительных функций с интегрируемым (вообще говоря,в несобственном смысле) на интервале (а; Ь) квадратом, функционал10.ь(х, у)=Jx(t)y(t) dt,х Е RL 2 (a; Ь),у Е RL 2 (a; Ь),аявляется почти скалярным произведением и не является скалярным.11.ций Х:В линейном пространстве непрерывных на отрезке [а; Ь] функ­[а; Ь]-+ Rфункциональ(х, у)=Jx(t)y(t) dt,х, У Е С[а; Ь]аявляется скалярным произведением. Полученное пространство со ска­лярным произведением обозначают12.CL 2 [a;Ь].В линейном пространстве, состоящем из комплекснозначныхфункций, квадрат модуля которых интегрируем на конечном или бес­конечном интервале, функциональ(х, у)=Jx(t)y(t) dt(9)аявляется почти скалярным и не является скалярным произведением.13.В линейном пространстве комплекснозначных непрерывныхна отрезке [а; Ь] функций функционалведением.(9)является скалярным произ­Гл.4404.Введение в ФУНffциональный анализВ пространстве С L 2 (а; Ь)14.действительных непрерывных наконечном или бесконечном интервале (а; Ь),ций,-00~ а< Ь ~ +00,функ­квадрат которых интегрируем на этом интервале, функциональ(х, у)=Jx(t)y(t) dtаявляется скалярным произведением.В линейном пространстве15.довательностей (см.

пример2вl2 действительных§ 18) функционалчисловых после­00х == (хl; ... ;х n ; ... ) Е l2,(х,у) == LXnYn'У == (Уl; ···;Уn; ... ) Е l2,n=1является скалярным произведением. Привести пример почти скаляр­ного произведения в этом линейном пространстве.В линейном пространстве последовательностей (хl;16.... ; х n ; ... )00комплексных чисел (см. задачу 13 из § 19), для которыхL< +00,n=1функционал00Ix n l2<n=1является скалярным произведением.В линейном пространстве17.l2(см. задачу15)функционал00(х, У) == LХnУnn=тприm>1является почти скалярным и не является скалярным про­изведением.18.Пусть Х-линейное пространство с почти скалярным про­изведением.

Элементы х Е х, У Е Х называют Эffвивале1-lm1-lЫМ,И, ес­2лиIlx - yI1(х- У, х - У) == о. Обозначим Х множество, элемен­тами которого являются классы эквивалентных элементов простран-ства х. Пусть х Е х Е х,АХ(х,+ JLfjfj) ==У ЕJL -числа. Определимfj) -fjи Х является линейным пространст­скалярным произведением в нем.Найти углы треугольника с вершинами в точках хl (t)1,хз(t)в задачах20.А и+вом, а функция (х,X2(t)Е х,как элемент множества х, содержащий АХJLY, и положим(х, У). Тогда эти определения корректны, т. е.

не зависят отвыбора элементов х Е Х, У Е19.fjt20-35в пространствео,CL 2[-1; 1] (см. задачу 11 из §20).доказать сформулированные утверждения.В линейном пространстве с почти скалярным произведениемдля любых двух элементов х и У пространства имеет место равенствоIlx + yI1 2 + Ilx - yI1 2 == 2(llx11 2 + Ily11 2)Гuльбертовы пространства§ 20.441(равенство nараллелогра'м'ма).21.В линейном пространстве с почти скалярным произведениемдля любых трех элементов х,венствоIlz - xl1 2+ Ilz - Yl12у иzпространства имеет место ра-~ Ilx _ Yl12 + 211 z _ х; у 112=(равенство А nОЛЛОНUЯ) .22.В действительном банаховом пространстве можно ввести ска­2лярное произведение (х;у), для котороготогда, когда для любых точек х,IIxl1 == (х,х),тогда и толькоу этого пространства выполняетсяравенство23.

В нормированном пространстве С[а; Ь] нельзя ввести скаляр­ное произведение, согласованное с нормой этого пространства в смыс­ле задачи24.ются22.Операции сложения элементов и умножения их на число явля­непрерывнымивпространствеспочтискалярнымпроизведе­нием.25.Почти скалярное произведение в линейном пространствеявляется непрерывной на26.)()(функцией.Если в линейном пространствес почти скалярным произ-)(00ведением задан сходящийся рядLх n == Х, х n Е )(, то для всякогоn=1элемента а Е)(числовой ряд, получающийся из данного почленным00умножением его на а, также сходится и L(X n , а) == (х, а).n=127.Если в пространствеRL 2 (a;Ь) (см.

задачу0010)сходится ряд00L xn(t) и его сумма равна x(t), т. е. L xn(t) == X(t), то для любойn=1n=1функцииcp(t)ЕRL 2 [a;Ь] имеет место равенствоььJx(t)<p(t) dt L Jxn(t)<p(t) dt,00=аn=1ав частности, для конечного интервала (а, Ь) имеет место равенствоььJx(t) dt L JXn(t) dt,00=аn=1ат. е. заданный ряд можно почленно интегрировать.28.Все n-мерные линейные пространства со скалярным произве­дением изоморфны между собой.4.Гл.44229.Введение в ФУНffциональный анализВсякое n-мерное линейное пространство со скалярным произ­ведением полно в смысле метрики, порожденной скалярным произве­дением.30.Всякое линейное пространство со скалярным произведением,изоморфноегильбертовупространству,являетсягильбертовымпространством.31.Всякое линейное пространство (действительное или комплекс­ное) со скалярным произведением содержится и плотно в некоторомгильбертовом пространстве, называемом его пополнением.32.Все пополнения линейного пространства со скалярным произ­ведением изоморфны между собой.33.00LМножество {х = (хl; ...

; х n ; ... ) Е 121хn=о} является ли-l2(см. задачуn=1нейным пространством, плотным в пространстве15).34. Пространство CL 2 [a; Ь] (см. задачу 11) не является гильбер­товымпространством.Пространство CL 2 [a; Ь] (см. задачу 11) плотно в некоторомгильбертовом пространстве (это пространство обозначают L 2 [а; Ь] ).35.36. Будет ли в линейном пространстве CL~[a; Ь] непрерывно диф­ференцируемых на отрезке [а; Ь] функций функциональ(х, у)=J(x(t)y(t) + х' (t)y' (t)) dtаскалярнымпроизведением?Еслида,тобудетлиполучившеесяпространство гильбертовым?37.Найтиуголмежду функциямиx(t) == sin tиy(t) == tвпространстве: 1) CL 2 [0;n] (см. задачу 11); 2) CL~[O;n] (см.

зада­чу36).В задачах38.задачу39.38-55доказать сформулированные утверждения.Имеет место вложение (см.§ 19,п.2)С[а; Ь] ~L 2 [a;Ь](см.35).ПространствоL 2 [а; Ь](см. задачу35)сепарабельное.ь40. Еслиlimn--+ооJ[x(t) -Xn(t)]2 dt == О,то последовательностьафункций{ х n (t) }называютсходящейсяратичного на отрезке [а; Ь] к функцииФункция x(t)== l/Viсмыслесреднегоквад-x(t).не является пределом в смысле среднегоквадратичного на отрезкефункций.в[О;1]последовательности непрерывныхГuльбертовы пространства§ 20.41.42.Пространство(см. задачуl2Если система {Ха}, а ЕU,15)443гильбертово.элементов линейного пространствас почти скалярным произведением ортогональна иа ЕU,43.Ilxall 1: одля всехто она линейно независима.Если элементы Хl, Х2,и Уl, У2,......почти скалярным произведением таковы,==( Xi, Yj )~i{1==ИjОлинейного пространства счтопри== j,iiпри1: j(такие системы называют биорmогО1-lаЛЬ1-lЫм'И), то каждая из этих сис­тем линейно независима.44.Для того чтобы система элементовпространствасоскалярнымХl, Х2,произведениембыла...

, Х nлинейноголинейнозависи­ма, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель ГрамаG(Xl; Х2; ... ; Х n )==(Хl, Хl)(Х2,Хl)(Хl, Х2)(Х2,Х2)(Хl, Х n )(Х2,Х n )равнялся нулю.45.Если {е а }, а ЕU, -ортонормированная система в линейномпространстве со скалярным произведением, то для любых а ЕUj3 Е U, а 1: jЗ, имеет место равенство Ile a - ejJll == V2.46. Если линейное пространство со скалярным произведениемисе­парабельно, то всякая его ортонормированная система не более чемсчетная.47.Тригонометрическая система функций1, cos t, sin t, ... , cos nt, sin nt, ...ортогональнав пространствеL 2 [-п; п](см.задачу35),исоот­ветствующая ортонормированная система имеет видcos t1~'уК'sin tуК'cos nt... ,УК,sin ntуК'...48. Многочлены Лежандра Pn(t), n == 0,1,2, ... (см.

задачу 28 из§19) являются ортогональной системой в пространстве L 2 [-1; 1] (см.задачу 35).49. Для любого отрезка [а; Ь], многочлены Лежандра Pn(t), n ==== 0,1,2, ... (см. задачу 28 из § 19) образуют полную систему в про­странстве L 2 [a; Ь] (см. задачу 35).50.

Система функций {e int }, n == О, ±1, ±2, ... , образует полнуюортогональнуюсистемувпространствекомплекснозначныхнепре­рывных на отрезке [-п; п] функций со скалярным произведением (см.Jx(t)y(t) dt.7rзадачу 13) (х, у)=-7r4.Гл.444Введение в ФУНffциональный анализ1)t/2, n == 1,2, ... ,Последовательность функций sin(2n зует ортогональную систему в пространствеобра­L 2 [О; 1г ] (см. задачу 35).51.52.Функции53.Еслиsin t, sin 3t, sin 5t, sin 7t, sin 9tХl, Х2, ... , Х nортогональная-системапространстве со скалярным произведением иnто IIxI1 2 ==Lлинейно независимы.Х==влинейном+ Х2 + ... + Х n ,ХlIlxk 112.k=l54.Если Хl, Х2, ...

, х n , ... -ортогональная система в гильбертовом00Lпространстве, то рядх n , сходится в этом пространстве тогда иn=1только тогда, когда сходится числовой рядL00Ilx n l1 2.n=155.Если х n ,n == 1,2, ... , -линейно независимая система эле­ментов линейного пространства Х со скалярным произведением, тосуществует такая ортогональная система элементов Уn, Уn== 1,2, ... ,i- О,n ==этого пространства, что(здесь cxnk -действительные числа, если рассматриваемое линейноепространство действительное, и комплексные, если оно комплексное).Построение системы (Уl; ...

Характеристики

Список файлов книги