1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 74
Текст из файла (страница 74)
задачу 27) не имеет предела в N.40. Если Х == N U { +оо} и локальная база топологии D( +(0)стоит из всевозможных множеств А n , введенных в задаче 27, асоло-§ 21.ТоnологuчеСffuе пространства. Обобщенные ФУНffЦUU459кальная базафильтр41.FND(n), n Е N, состоит из одной точки n, то натуральныйимеет предел: lim F N == +00.Для того чтобы любой фильтр топологического пространстваимел не более одного предела, необходимо и достаточно, чтобы пространство было хаусдорфовым.42.Для того чтобы точка Х топологического пространства являлась пределом некоторого фильтра этого пространства, необходимо,чтобы эта точка являлась пределом каждой базы фильтра, и достаточно, чтобы она являлась пределом по крайней мере одной его базы.43.Если Х== N,Утопологическое пространство,-туральный фильтр (см.
задачуf(n) == Уn27),то пределlim f(n)FNна-отображенияFNЕ У совпадает с пределом последовательности (Уl; ... ; Уn; ... )В пространстве У.44.Если Х== NхN,Утопологическое пространство,-натуральный фильтр (см. задачуFN задачу 38),f ==F N Х F N (см.f: N х N ---+ У, f(m; n) == Утn, то предел limf f(m; n) совпадает спределом двойной последовательностиlim Утn в пространстве У.27),(m,n)---tсю45.Построить множество Х, отображениеf:Х---+ Rfи фильтрна множестве Х так, чтобы предел интегральных сумм Римана функцииер:Еnве Е с R---+ R на заданном измеримом по Жордану множест(т.
е. интеграл cp(t) dt) совпадал с пределом отображе-JЕнияf:Х---+ Rв задачах46.фильтргиипо фильтру46-51доказать сформулированные утверждения.Если Х и Уff.топологические пространства;-f:Х---+У исостоит из окрестностей некоторой локальной базы тополоlimf f(x) равносильнонепрерывности отображения f в точке Ха, причем limf f(x) == f(xa).47. Если Х и У - топологические пространства, f: Х ---+ У,D(xa)точки Ха, то существование пределаХа Е Х и фильтрfсостоит из проколотых окрестностей некоторой локальной базы топологии точкиХа,то существование предела limf f(x) равносильно существованию предела отображениямножеству Х \ {ха}, причемпоff (Х) == lim f f (Х ) .limx---txoхЕХ\(хо)48.Если Х-произвольное множество,линейное пространство,имеют предел поf:фильтру f,Х---+л итакже имеет предел по фильтруlimf(лf(х)У,JL -fg:Хf ----+фильтр в Х, УУ, отображенияfчисла, то отображение лfи+ JLg(x)) == лlimf f(x) + JL 1im 'P g(x).и-9+ JLgГл.4604.Введение в ФУНffциональный анализВсякий фильтр в метрическом пространстве, который силь49.нее некоторой локальной базы топологии точки этого пространства,является фильтром Коши.Для того чтобы отображение50.жества Х---+хУ произвольного мнов полное метрическое пространство Унекоторому фильтрубы образ1:1(/)имело предел помножества Х, необходимо и достаточно, что/фильтра1 был/ при отображениифильтром Коши впространстве У.Пусть Х51.и Уческое пространство,Z -произвольные множества,-1:---+хУ,Уg:z,---+/х и /утопологи-фильтрысоответственно в пространствах Х и У, причем фильтр 1(/х) сильнее фильтра /у.
Тогда, если отображение 9 имеет предел по фильтру /у, композицияимеет предел по фильтру /х иgllim f х 9 (1 (х ))В задачах52-59== lim 'у 9 (у ) .доказать сформулированные утверждения.52. Если ер Е D, то при любом kЕсли53.lim==ерnn---+ооер ВD,lim ер ~k)то при любом==ep(k) Е== 1,2, ...ер (k )ВkD.== 1,2, ...D.n---+ооеслиеслиДля55.функцииер ЕDсуществуетIxl < а,Ixl ~ а,функцияJер(х) dxпринадле-Ф ЕDтакая,+00что ер=ф', тогда и только тогда, когда=О.-0056.Две непрерывные на числовой оси функции различны тогда итолько тогда, когда различны порожденные ими обобщенные функции.57.ФункционалJ 'P~) dx,+00v.p.ер ЕD,является обобщенной-00l).она о ычно о б означается рхФ ункцией (б58.д-функция не порождается никакой локально интегрируемойфункцией.59.д -функция является пределом вD' последовательности обобщенных функций, порожденных локально интегрируемыми функциями.60.СуществуютливпространствеD'пределыlim cos nх,n---+ооlim sin nх?n---+ооЕсли они существуют, то чему равны?ТоnологuчеСffuе пространства.
Обобщенные ФУНffЦUU§ 21.461В задачах61-70 доказать сформулированные утверждения.61. Если 1n Е D', n == 1,2, ... , и для любой функции ер Е D существует предел числовой последовательности (1n, ер), то функционал F,определяемый равенством (F, ер) == lim (1n, ер), является обобщеннойn---+оофункцией:62.ЕFЕслиций 1nи),D'.последовательностьn == 1,2, ...
,абсолютноинтегрируемыхфунктакова, что:а) каково бы ни было число стельность> О,приlal < с, Ibl < споследова-ьIJfn(t)dtl,n=1,2, ... ,аограничена сверху;б) при любых фиксированных а и Ь, отличных от нуля,ь.nl~~ Jfn(x) dx ={О1приприа<Ь<ОаОЬ;иО< а < Ь,< <ато ее называют д - образной.Для любой непрерывной функции ер:последовательности{1n}R ---+ Rи любой д -образнойимеет место равенствоJ1 (х )ер(х) dx == ер(О).+00limn---+ооn-0012/63. Если ft(x) = V1Гi е- Х t, то в пространстве D' выполняетсяравенствоlimt---++OIt (х) == д(х).64.
В пространстве D' существует пределзначаетсях(см. задачу65.1± iO)limУ---++О х1± iy( он060-и справедлива формула57).Всякая обобщенная функция является пределом обобщенныхфункций,порожденныхлокальноинтегрируемымифункциями.этом смысле пространство обобщенных функций являетсяВ"пополнением" пространства обычных локально интегрируемых функций.66.Обобщенную функцию1 Е D'называют обращающейся в нульна интервале (а; Ь), если для всех ер Ето равенство(1 ; ер) ==D, supp ер С (а; Ь), имеет месО. ДЛЯ того чтобы непрерывная функция обращалась в нуль в каждой точке интервала, необходимо и достаточно, чтобы она обращалась в нуль на этом интервале как обобщеннаяфункция.Гл.46267.4.Если функцияВведение в ФУНffциональный анализf: R ---+С непрерывно дифференцируема, то дляf',обобщенной функции, порожденной ее производнойсоотношение(f' , ер) == - (f, ер'),ер ЕD.f'Производнаяобобщенной функциися обобщенной функцией из D'.68.69.выполняетсяfЕтакже являетD'Производная любого порядка обобщенной функции из пространстваявляетсяD'обобщеннойфункциейизтогожепространства.f70.
Если+ JLg)' == лf'и71-7773.Е С, то (лf+вычислить производные обобщенных функций.==()(х-х а )=={1О приX~Xa,при х < ха.уJL+ JLg'.в задачах71.обобщенные функции, а л,9 -72.у==д(Х-Ха).у == х+, где х+ == {хо прихх <~ 00'.приу == ln Ixl. 76. у == x~ == {хо прихх >о, - 1 < л < о.при< о,у == Ixl.74.л75.ln хпри77.y==lnx+== { Ов задачах78-79в задачах80.79. у ==80-87> о,х<о.найти производные n-го порядка обобщенныхфункций.78. у == д(х).хприxi,k == 0,1,2, ...доказать сформулированные утверждения.(d~ +л)В(х)е- ЛХ =б(х).82. Если дЕ (х) == {l/Ео81.при(d~2 +( 2 ) e(x)~nwx =б(х).Ixl < Е/2,Ixl ~ Е/2,притовпространствеD'существует пределlim дЕ ( х)== д (х ) и д~ (х) == д (х + Е / 2) - д (х - Е / 2) .ve---+a83.ЕЕслиf1(X)f(x) == { f2(X)где функциируемы на±о)) иRf1иf2прих<ха,приХ> ха,непрерывны и кусочно непрерывно дифференци(следовательно, в частности, существуют пределыg(x) == f(x) - [f(xa + о) - f(xa - О)]()(х 71), то функция g(x) непрерывна на R,(см.
задачуинтегрируемую производнуюf' == g'ха)имеет локальноg' и+ [f(xa + о)f(xa ±- f(xa - О)]д(Х - ха).§ 21.f -Если84.кахТоnологuчеСffuе пространства. Обобщенные ФУНffЦUU... ,х nХl,кусочно гладкая на463функция, имеющая в точRразрывы первого рода со скачками Рl,Р2,... ,Рn,тоnJ'(x) =гдеd~~) + LPkJ(X k=lXk),функция, порожденная обычной при хf.ной функции1:d: -df( )f' - обобщенная произвоДная функции J, аобобщеннаяxk, k == 1,2, ... , n, производ85.
Если fnED', n==1,2, ... , fED' и lim fn==f, то для любогоn---+ооk == 1,2, ... в пространстве D' имеет место равенство lim fA k) == f(k) .n---+оо86.В пространстве обобщенных функций сходящиеся ряды можно00почленно дифференцировать любое число раз: если00f(k) ==LfA k) В D', k == 1,2, ...n=187.В пространствеD'00~ sin nх ) ,( ~nимеют место равенства00+00~~1==~cosnx==-2+Jr ~ д(х-2k7Г).n=1n=1k=-oo.. L00у к а з а н и е.
Воспользоваться формулои•Sln nхnn=1В задачах88.R ---+ С88-103- Х=1г=.2доказать сформулированные утверждения.Для того чтобы бесконечно дифференцируемая функцияер:принадлежала пространству В, необходимо и достаточно, чтобы для любых неотрицательных целыхsup Ixnep(m) (x)1nиmвыполнялось условие< +00.R89.Для того чтобыlimерnn---+ооlimn---+оо90.SUpRЕслинеобходимо и достаточно, чтобыIx k [ep~т) (х) - ер(т) (х)] I == О,limn---+ооерn==k, m == 0,1,2, ...ер В В, то для любогого х Е R имеет место.(т) (11т ер nn---+оо91.== ер,Хm==1,2, ...и любо) _(т) ( )- ерх .Пространство основных функцийDсодержится в пространстве основных функций медленного роста В, причем еслиlimn---+ооВD,тоlim ерnn---+оо92.
D1: В.==ер В В.ерn== ерГл.4644.Введение в ФУНffциональный анализОбобщенная функция, порожденная локально интегрируемой93.функциейеХ ,не продолжаема с множества основных функцийDна множество основных функций В, т. е. не продолжаема в элементпространства В'.Пространство94.ция ер ЕЕSявляется вDплотно в пространстве В, т. е. любая функSпределом последовательности функций ерn Е== 1,2, ...D, nЕсли функция95.j,оси, то функционал(х) абсолютно интегрируема на всей числовойjопределенный формулой+СХ)и, <р)J f(x)<p(X) dx,=<р Е В,-СХ)принадлежит пространству В'.Если функция96.справедлива оценкагде х иk -j: R ---+ С локальноIj(x)1 ~ clxl k ,интегрируема и для неенеотрицательные постоянные, то функционалделяемый формулойи, <р)j,опре-+СХ)J f(x)<p(X) dx,=<р Е В,-СХ)принадлежит пространству В'.Обобщенная функция97.1.x+zOЕD ' (см.
задачу 64) продолжаемав обобщенную функцию медленного роста.Для98.производныхобобщенныхфункцийсправедливы полные аналоги утверждений задачмедленного69, 70, 85ироста86.99. Если ер Е В, то при любом k == 1,2, ... функция xkep(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, и потому для нее определенопреобразование Фурье.100. Если ер Е В, то F(ep) Е S и F-1(ep) Е S (F Фурье, а F- 1 - обратное преобразование Фурье).101. Если ер Е В, то F-1(F(ep))102. Преобразование Фурье и==ер ипреобразованиеF(F-1(j)) ==обратноеер.преобразованиеФурьеотображают взаимно однозначно, линейно и непрерывно пространствоSF: S ---+ S называют непрерывным, еслиЕ В, n == 1,2, ...
, следует, что lim F( ерn) ==на себя. (Отображениеиз условияlim ерnn ---+ СХ)== ер,ерnn ---+ СХ)== F(ep).)103.Если функцияj(x)непрерывна и абсолютно интегрируемана всей числовой оси и ер Е В, то+СХ)+СХ)J<р(х) dx J f(y)e--СХ)-СХ)+СХ)ixydy =+СХ)J f(y) dy J<p(x)e--СХ)-СХ)ixydx.§ 21.104.ранстваТоnологuчеСffuе пространства. Обобщенные ФУНffЦUUПривестиD,примертакойосновнойчто ее преобразование ФурьефункцииF (ер)ер465изпростне принадлежит этомупространству.105.Найти прямое и обратное преобразования Фурье для д-функции.Взадачах106.доказать106-112сформулированныеутверждения.fПреобразование Фурье обобщенной функцииявляется обобщенной функцией класса В', т. е.Е В' такжеF(f) -линейныйнепрерывный функционал над пространством В.107.Для любой обобщенной функцииношенияfЕ В' имеют место соотF-1(F(f)) == F(F-1(f)) == f.108.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
