1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 71
Текст из файла (страница 71)
; Уn; ... ) по системе (хl; ... ; х n ; ... ) называется орmогонализацией последней.56.Хl (t)Провести== t,Х2 (t)ортогонализацию== t2,Хз (t)==tЗсистемыфункцийXa(t) == 1,в пространстве:1) L 2 [-1; 1]; 2) L 2 [0; 1] (см. задачу 35).в задачах57.57-74доказать сформулированные утверждения.Если в условиях задачи55(Zl; ... ; Zn; ... ) -ортогональная сис+ ... +тема и ZN == fЗnlХlfЗnnХn, то Уn И Zn отличаются друг от другаскалярным множителем: Zn == ЛnУn, n == 1,2, ...58. В результате ортогонализации (см. задачу 55) системы степеней 1, t, t 2 , ...
, t 2 , ... в пространстве L 2 [-1; 1] (см. задачу 35) получатся многочлены,которые лишьчисловымимножителями могут отличаться от многочленов Лежандра (см. задачу59.Пустьek, k == 1,2, ... , n, -28из§ 19).конечная ортогональная система элементов линейного пространства Х со скалярным произведением иg(el; ...
; е n )-линейная оболочка этих элементов. Тогдаэлемент наилучшего приближения элемента Х Е Хв подпростран-nстве g(el; ... ; е n ) имеет вид Ха ==L akek,k=lгде ak -коэффициентыГuльбертовы пространства§ 20.Фурье элемента х по системе== 1,2, ... , n.{ek}, knIlx- Lakekll4452При этомn=IIxl1La%ll ekI1 2 .2-k=lk=ln60.
Элемент Ха==Lявляется элементом наилучшего при-ajejj=lближения элемента х Е Х в подпространствеи только тогда, когда элементх-Хаg(e1; ... ; е n ) Е Х тогдаортогонален ко всем элементамиз g(e1; ... ; е n ), что записывается в виде х - Ха -.l g(e1; ... ; е n ). (Обобщение этой задачи на случай бесконечного множества {е n } см. взадаче91.)61. Если en~X, n==1,2, ... ,х Е Х и Еn(х) - наилучшее приближение элемента х к пространству g(e1;e2; ... ;e n ), то Еn + 1 (х) ~~ Еn(х).62.Если е n Е Х, е n1: О,n== 1,2, ...
, -ортогональная система влинейном пространстве со скалярным произведением Х, то частичnные суммы Вn ==L akekряда Фурье элемента х являются элеменk=lтами его наилучшего приближения в пространстве63.Если Вng(e1; е2; ... ; е n ).частичные суммы ряда Фурье элемента х линей-ного пространства со скалярным произведением Хной системе е n Е Х, е nность64.{llx - snll}1: О,n== 1,2, ... ,то числовая последовательубывает.Для коэффициентов Фурье а n элемента х линейного пространства со скалярным произведениемме е n Е Х, е n1: О,n== 1,2, ... ,L( неравенсmво Бесселя).Хпо ортогональной систевыполняется неравенство0065.по ортогональa~llenl12 ~IIxl1 2n=1Если существует такая постоянная стов ортогональной системы е n ,n == 1,2, ...
,> О,что для всех элеменлинейного пространстваIlenllсо скалярным произведением Х выполняются неравенства~ с(в частности, если эта система ортонормированная), то коэффициенты Фурье каждого элемента х Е Х по данной системе стремятся кнулю приn ---+00.00L66. Если пространство Х гильбертово, то ряд Фурьеаnе nn=1каждого элемента х Е Х по любой ортогональной системе е n Е Х,00еn1: О,n == 1,2, ... , сходится в пространстве Х. Если Ха ==сумма этого ряда, то элементх-Lаnе n -n=1Хаортогоналенко всем элементамГл.4464.Введение в ФУНffциональный анализсистемы (еl; ...
; е n ; ... ).Ряд Фурье элемента х линейного пространства со скалярным67.произведением Х по ортогональной системе е n Е Х,== 1,2, ... ,еn1:О,n==сходится к этому элементу тогда и только тогда, когда вы-полняетсяравенствоIIxl1 2==00La~llenl12(10)n=1(равенство Парсеваля) , где а n -коэффициенты Фурье элемента хпо системе (еl; ... ; е n ; ... ).Ряд Фурье по ортогональной системе каждого элемента линей68.ногопространстваэтомуэлементусоскалярнымтогдаитолькопроизведениемтогда,когдасходитсяданнаяксамомуортогональнаясистема является полной.69.Для того чтобы ортогональная система была полной в линейном пространстве со скалярным произведением, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента пространства выполнялось относительно этой системы равенство Парсеваля70.со(10).Если ортогональная система полная в линейном пространствескалярнымпроизведением,тоэлементпространства,укотороговсе коэффициенты Фурье по этой системе равны нулю, сам равеннулю.71.Из равенства всех коэффициентов Фурье у двух элементов линейного пространства со скалярным произведением по полной ортогональной системе следует равенство этих элементов.72.емХЕсли в линейном пространстве со скалярным произведенидля элементах Е Хсуществует его представление в виде00х ==L.лnе n , где сп Е Х, е n1: О,n == 1,2, ...
, -ортогональная систеn=1ма, то это представление единственно и коэффициенты .л n являютсякоэффициентами Фурье элемента х по системе (еl; ... ; е n ; ... ).73. Всякая полная ортогональная система е n Е Х, е n 1: О, n ==== 1,2, ... , является базисом в линейном пространстве со скалярнымпроизведением.74.В гильбертовом пространстве Х ортогональная система е n ЕЕ Х, е n1: О,n== 1,2, ... ,является полной тогда и только тогда, когдаона замкнутая.75.Привести пример замкнутой системы в некотором линейномпространстве со скалярным произведением, которая не является полной.
Существуют ли полные системы, не являющиеся замкнутыми?В задачах76-86доказать сформулированные утверждения.76. Элементы е n== (x~n); ... ;x~); ... ), x~n) == 1, x~) == О приГuльбертовы пространства§ 20.m1: n,ствеl277.n == 1,2, ... ,(см задачу447образуют ортонормированный базис в простран15).Многочлены Лежандра (см. задачугональный базис в пространстве28изобразуют орто§ 19)L 2 [-1; 1] (см. задачу 35).1, cos t, sin t, ... , cos nt, sin nt, ...образует ортогональный базис в пространстве L 2 [-7Г; 7Г] (см. задачу 35).78.Тригонометрическая система79.Функции1vь=-a ехр{ 2Jrin(t - а) }Ь_а, n == 0,1,2, ...
,образуютортонормированный базис в пространстве, являющемся пополнением(см. задачу31)пространства непрерывных на отрезке [а, Ь] комплекснозначных функций со скалярным произведением(9).80. Функции ~ sin nt, n == 1,2, ... , образуют ортонормированный базис в пространстве L 2[0; 7Г], а в пространстве L 2[-K; 7Г] (см.задачу 35) являются ортогональной системой, но не базисом.. 2Jrn(t - а)2Jrn(t - а)81. Функции 1, SlnЬ_ а,cosЬ_ а' n == 1,2, ... , ортогональны в пространстве CL~[a; Ь] (см.
задачу 36).82.Каждая функция х ЕRL 2[-K; 7Г](см. задачу10)раскладывается в ряд Фурье по тригонометрической системе функций сходящийсяв смысле среднего квадратичного (см. задачу40):00x(t) = ~O+ L(ancosnt+bnsinnt),n=1причем имеет место равенство Парсеваля200~1г 11 х 112 == ао2 + '"""(а n2 + ь n2 ) .~n=183.Если у функции х ЕRL 2 [-7Г; 7Г](см. задачу10)все ее коэффициенты Фурье по тригонометрической системе равны нулю, то онаэквивалентна нулю (см. задачу84.88из§ 19).Во всяком сепарабельном линейном пространстве со скалярным произведением существует ортонормированный базис.85.86.Пространствоl2(см. задачу15)сепарабельно.Все сепарабельные бесконечномерные пространства изоморфны между собой.В дальнейшем в этом параграфе под пространством всегда понимается линейное пространство со скалярным произведением.В задачах87.87-97доказать сформулированные утверждения.Если подпространствоZпространстваХявляется ортогональным дополнением подпространства У того же пространства, тоГл.4484.Введение в ФУНffциональный анализи У является ортогональным дополнением подпространства88.Если множества У иZz.являются замкнутыми подпространствами пространства х, то и их сумма (см.§ 19,п.1),У+Zявляется замкнутым подпространством пространства х.89.Для того чтобы подпространствоУпространстваХбылоплотно в этом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы из условия х -.l У (т.
е. (х,у)90.ЕслиУ-==О для всех У Е У) следовало, что х==о.замкнутое подпространство гильбертова пространства Х и ха Е х, то существует единственный элемент Уа Е Утакой, чтоIlxa - Yall ==infуЕУIlxa - yll(элемент Уа называют ортогональной nроеffцuей элемента ха в пространство У).91.Для того чтобы элемент Уа был ортогональной проекцией элемента хагильбертова пространства Хранство У (см. задачу90),необходимо и достаточно, чтобы для всехУ Е У выполнялось условие (ха - Уа,У)92. Если y..l -в его замкнутое подпрост==о.ортогональное дополнение замкнутого подпространства У гильбертова пространства х, тоX==YE9Y..l,причем, если ха==+ za Е Х, Уа Е У, za Е y..l, тоinf Ilxa - yll == Ilx - zall == IIYall·УауЕУ93.Для того чтобы элемент х пространства Х был ортогоналенподпространству У С Х, необходимо и достаточно, чтобы для любогоэлемента У Е Увыполнялось неравенствоIlxll~Ilx - yll·94.
Для любого подмножества Е пространства Х множество E..lявляется замкнутым подпространством х.95.Если Е-подмножество пространства Х со скалярным произведением, то имеет место включение Е с (E..l )..l. Возможно лиздесь строгое включение?96. Для подмножества Е пространства Х равенство (E..l)..l==Евыполняется тогда и только тогда, когда подмножество Е являетсязамкнутым подпространством пространства х.97. Если Е 1 С Е2 С Х, то Ег ~ Е:}.98. Если Х - гильбертово пространство и Х == YE9Z, то следуетли отсюда, что Z == y..l? А в случае конечномерного пространства?В задачах99-105доказать сформулированные утверждения.99. Если У == {х Е CL 2 [-1; 1] I x(t) == О для всех t Е [О; 1]} (см. задачу 14), то У подпространство пространства CL 2 [-1; 1].
Описатьпространство y..l. Будет ли справедливо разложение CL 2 [-1; 1] ==§ 20.100.Гuльбертовы пространстваМножество У={x(t) Е СЦ[а; Ь]449ьJx(t) dtI=о}являетсяаподпространством пространства С L~ [а; Ь] (см. задачу 36). Найти y..l.101.Если== {х == {х n } Е l21 х == (хl; О; хз; О; Х5; О; ... },Z == {х == {х n } Е l21 х == (хl; хl; хз; хз/3; Х5; Х5/5; ... },У + Z == l2, но У + Z 1: l2, И поэтому У + Z не является замкнуУтотым подпространством пространства102.l2.fДля всякого линейного ограниченного функционаладействительного (комплексного) гильбертова пространства Х существуети притом единственный элемент а Е Х такой, что для всех х Е Хвыполняется равенство103.ЕслиА-f(x) ==(х, а), причемIlfll == Ilall.линейный ограниченный оператор в линейномпространстве Х со скалярным произведением, тоIIAII == supх,уЕХI(Ax, y)1Ilxllllyll .х#О,у#о104.ЕслиА-линейный ограниченный оператор в линейномпространстве Х со скалярным произведением, то функция==(Ах,у) является билинейным функционалом и105.f(x;y) ==Ilfll == IIAII.Для всякого ограниченного билинейного функционалаfвгильбертовом пространстве Х существует единственный линейныйограниченный оператор А такой, чтоf(x;у)==(Ах, у) для всех х Е х,У Е х.ОТВЕТЫ19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
