1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Л.Д.Кудрявцева, Т.34.Гл.41850.Введение в ФУНffциональный анализБилинейная формаnLА(х; У) ==х == (Х1; ... ; х n ),aijXiYj,У == (У1; ... ; Уn),i,j=lRnявляется билинейным отображением51.Еслиz == f(x;y),х Е х, У Е У,zхЕRnвZ, -R.билинейное отображение линейного пространства Х х У в линейное пространствоZ,то для любых чисел Л1, Л2, Р1, Р2 И Х1, Х2 Е х, У1, У2 Е У имеетместо равенствоf(Л1 Х 152.+ Л2 Х 2;/L1У1 + Р2У2) ==== Л1/L1f(Х1; У1) + Л2/L1f(Х2; У1) + Л1/L2f(Х1; У2) + Л2/L2f(Х2; У2).Для любого билинейного отображенияf:Х х Х---+ Zимеетместо тождествоfХ+У)2; 2( Х+У53.+!Множество(Х-У Х-У)2;всех11=="2 f (x;x)+"2 f (Y;Y),2билинейныхотображенийХ,У Е х.произведения Х х У линейных пространств Х и У в линейное пространствоZобразует при обычном определении линейной операции над функциями линейное пространство.54.Билинейную формуХ х УF:---+ Zназывают симметричной,если для любых элементов х Е Х и У Е У выполняется равенствоF(x; У) == F(y; х).
Симметричные билинейные формы f: Х 2 ---+ Z Иg: Х 2 ---+ Z, где Х 2==Х Х Х, совпадают тогда и только тогда, когдасовпадают порожденные ими квадратичные формы55.f(x;x)иg(x;x).Доказать, что для любых двух элементов х и У полунормированного пространства выполняется неравенствоIllxll-IIYIII56.~Ilx - yll·Доказать, что для любых двух элементов х и У полунормированного пространства выполняется неравенствоIlxll57.~ шах{llx + yll; Ilx - yll}·Доказать, что полунорма нулевого элемента полунормированного пространства равна нулю.Доказать,пространствачтонижеперечисленныеявляютсявнормированнымизадачах58-71относительнолинейныеуказанныхнорм.Ilxll == Ixl·Ilzll == Izl·58.
R,59. с,60. Rn;1)"X"2=Jf~x%;2)Ilxlloo=m:xlxkl;3)IIXlll=~IXkl;§ 19.Нормированные и полунормированные пространства41963. l(X) (см. задачу 4 из § 18 и задачу 7), Ilxll(X) == sup IXkl.k64. l~) (см. задачу 90 из §18 и задачу 7), Ilxll==maxlxkl.65. С[а; Ь] (см. задачу 8), Ilxllc == шах Ix(t)l.[а;Ь]66. CLp[a; Ь],-00< а < Ь < +00Ь(см. задачу7),1/Ilxllp=(!lx(t)IPdt) Р, l:::;р<+оо.а67. CLp(a; Ь),-00 ~ а<Ь~ +00 (см.
задачуЬ9 из § 18),1/Ilxllp=(!lx(t)IPdt) Р, l:::;р<+оо.а68. В(Е) (см. пример 1 в § 18), Ilxll(X) == sup Ix(t)l.Еn69. Сn[а;Ь] (см. задачу 93 из §18), Ilxllc n == Lmaxlx(k)(t)l.k=O [а;Ь]на[а;Ь], а> О (см. задачу70.Ilхllнй=тах Ix(t)1 +tE[a;b]н(к)71.-95изsup§18),a~tl <t2~bIX(t2) -x~l)1It2 - tllмножество аналитических внутри открытого единичного круга К== {z Е С I Izlзамыкании К, Ilxll == шах Iz(t)l.< 1}функций, непрерывных на егоIzl=lВ задачах72-75доказать сформулированные утверждения.72.
Для норм Ilxll p и Ilxll(X) в задачах 62 и 63 имеет место соотношение liш Ilxll p == Ilxll(X).73.оР;:инейном пространстве< m < n,RnфункцияIlxll=Jf~ х%,является полунормой, но не является в нем нормой.74. В линейном пространстве Сn[а; Ь], n > О (см. задачу 59) функция Ilxll == шах Ix(n)(t)1 является полунормой, но не является в нем[а;Ь]нормой.27*4.Гл.420Введение в ФУНffциональный анализФункционал Ilxll p75.Ь(J Ix(t) IP dt)=l/р,являясь полунормой ВапространствеRLp[a;Ь](см. пример2),не является в нем нормой.На каких подмножествах множества функций76.x(t),имеющихна отрезке [а; Ь] абсолютно интегрируемую производную порядкаn,ЬфункционалJIx(n) (t)1 dt будет: нормой; полунормой; для какихn?а77.Можноливлинейномпространстведваждынепрерывнодифференцируемых на отрезке [а; Ь] функций принять за норму элементаx(t):1) Ix(a)1 + Ix'(a)1 + Ilx"IIC[a;b]; 2) Ix(a)1 + Ilx"IIC[a;b];3) Ilx'IICL 2 [a;b] + Ilx"IIC[a;b]; 4) Ix(a)1 + Ix(b)1 + Ilx"IIC[a;b];5) Ix(a)1 + Ilx'IIC[a;b] + Ilx"IIC[a;b].Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференци78.руемых на отрезке [а; Ь] функций принять за норму элементаx(t):1) шах Iх (t ) I; 2) шах Iх' (t ) I; 3) Iх (Ь) - х (а ) I + шах Iх' (t ) I;[а;Ь][а;Ь]Ь4) Iх (а ) I + шах Iх' (t ) I; 5)[а;Ь][а;Ь]JIх t ) Idt + шах Iх' t ) I?(([а;Ь]ав задачах79.79-84доказать сформулированные утверждения.В конечномерном линейном пространстве все нормы эквивалентны.80.ЕслиХиУ-линейныето функционалы шах {llxllx;х Е Х,У Е У,нормированныеи Jllxll~Ilylly}, Ilxllx + Ilylly+ IIYII~,являются эквивалентными нормами в пространст-ве Х х У.81.пространства,ЬФункционалы Ilxllc == шах Ix(t)1 и Ilxlll ==[а;Ь]JIx(t)1 dt (см.
задаачи 65 и 66) являются неэквивалентными нормами на линейном пространстве непрерывных на отрезке [а; Ь] функций.82. НормыIlxllcиIlxllHl(см. задачи 65 и 70) не эквивалентнына множестве функций, удовлетворяющих условию Липшица (т. е.условию Гёльдера степени1)на отрезке [а; Ь].83. 1) Множество l[~) является замкнутым подпространствомнормированного пространства l(X) (см. задачи 63 и 64).2) Множество, состоящее из точек х == (хl; ... ;х n ), у которыхвсе х n ,начиная с некоторого номера, равны нулю, является незамкну-тым подпространством пространства84.lp, 1 ~ р< +00(см. задачу62).Множество Сn[а; Ь] является незамкнутым подпространством§ 19.Нормированные и полунормированные пространствапространства С[а; Ь] (см.
задачи65и69).Образуют ли в пространстве С[ -1;85.4211] (см. задачу 65) замкну-тое подпространство следующие множества функций:1)монотонные функции;4)5)6)многочлены степени ~ n;2)четные функции;многочлены;3)непрерывно дифференцируемые функции;функции,удовлетворяющиечу105 из § 18) данной степени?чу86. При62)?каких р иqусловиюГёльдерасправедливо включениеlpсlq(см.зада(см. зада<Р<87. Доказать, что если x(t) Е RLp[a; Ь] (см.
пример 2), 1< +00, тоIlxlll ~ (Ь - a)l/ x p , l/р + l/q == 1;а если 1 ::::; р < +00, то Ilxll p ::::; (Ь _ a)l/P ll xll oc(для неограниченных функций x(t) очевидно, что IlxllCX) == +(0).Q llllДоказать, что если последовательность функций (xn(t)) равномерно сходится к функции x(t) на отрезке [а; Ь] и х n - Х Е RLp[a; Ь],88.то эта последовательность сходится к функциипространства89.RLp[a;Ь] (см. примерхи по полунорме2).Построить пример последовательности непрерывных неотрицательных на отрезке [О; 1] функций, сходящейся в смысле нормыпространства С L p [О; 1] (см.
задачу 66), но не сходящейся ни в однойточке этого отрезка.В задачах90.90-99доказать сформулированные утверждения.Если в полунормированном пространственость (хl; ... ; х n ;... ))(имеет предел, равный а Е )(, то для того чтобыта же последовательность имела предел, равный Ь Едостаточно, чтобы91.последователь)(,необходимо иIla - bll == о.Если последовательность точек сходится по полунорме, то онаограничена.92.Функцияj: )( ---+ Rмированном пространстве(или)(,j: )( ---+С), определенная на полунорявляется непрерывной в точке ха Етогда и только тогда, когда для любого Е>Осуществует такое бчто для всех х Е )(, удовлетворяющих условиюняется неравенство Ij(x) - j(xa)1 < Е.93.ванном94.ютсяIlx - xall < б,)(> О,выполПолунорма является непрерывной функцией на полунормиропространстве.Операции сложения элементов и умножение их на число являнепрерывными в полунормированном пространстве.95.Множествопространстве)(,Еназываютплотнымесли для каждой точки х Евnолунормuрованном)(и любого Е>Осу-Гл.4224.Введение в ФУНffциональный анализIly - xllществует такая точка У Е Е, что< с.
Множество Со(а; Ь),-00 ~ а < Ь ~ +00 (см. задачу 113 из § 18), плотно в пространстве RLp(a; Ь), 1 ~ р < +00 (см. пример 2).Если 1 ~ р < q < +00, то множество RLq[a; Ь] является плотным подпространством пространства RLp[a; Ь] (см. пример 2).96.с97. Всякое n-мерное нормированное пространство изоморфноRn (см. задачу 60).98. Пусть Х - полунормированное пространство. Элементы х ЕЕ Х и У Е У называют ЭJliвиваленmныМ,и, еслиIlx - yll == о.Обозначимчерез Х множество, элементами которого являются классы эквива'""-"'""-"лентных элементов пространства х. Пусть х Е х Е х,А+учисло. Определим х-У Е У Е х,как элемент множества х, содержа+ У, а АХ - как элемент из х, содержащийIlxllx == Ilxllx. Данные определения корректны, т.
е.щий хАХ. Положимне зависят отвыбора элементов х Е Х, У Е У и множество Х является линейнымIlxllx.нормированным пространством с нормойНормированное99.пространствопространством с метрикой р(х;у)100.ПривестипримерХявляетсяметрическим== Ilx - Yllx.метрическогопространства,вкоторомметрика не порождается нормой.101.Будет ли в линейном пространстве всех числовых последовательностей метрика задачиВ задачах102.норме102-12718.14порождаться какой-либо нормой?доказать утверждения.Множество в нормированном пространстве ограничено потогдаметрическогоитолькотогда,пространствакогдавоносмыслеограниченометрики,какмножествопорожденнойэтойнормой.103.Метрики,порожденные двумянормами линейного пространства, эквивалентны между собой (см.тогда,§ 18,когда эквивалентны порожденные ими104.п.1)тогда и тольконормы.Норма является непрерывной функцией в смысле метрики,порожденной этой нормой.105.Ilx n----+Х И Уn---+ Х,---+ АХ + f-LY, n ---+ 00.Если в нормированном пространстве х nА, f-Ln107.---+ f-L,то Аnх n+ f-LnУnЕсли по крайней мере одно из множеств Е 1рованного пространстваЕ1---+---+У, тоYnll ---+ Ilx - yll, n ---+ 00.106.АnЕсли в нормированном пространстве х nоткрытое,то иихУn---+и Е2У и вRнормиалгебраическая сумма+ Е2является открытым множеством.108.В любом нормированном пространстве существуют два не-§ 19.Нормированные и полунормированные пространствапересекающихсякакихоткрытыхмножества,непересекающихся замкнутых109.которыене423содержатсянивмножествах.Всякое нормированное пространство содержится и плотнов некотором банаховом пространстве (это пространство называютпополнением исходного).110.Все(см.
задачу111.пополнения109)данногонормированногопространстваизоморфны между собой.Произведение банаховых пространств (см. задачу80)такжеявляется банаховым пространством.112.Система{Ха},аЕU,элементовполунормированногопространства Х полна тогда и только тогда, когда множество конечных линейных комбинаций ее элементов, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
