1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 65
Текст из файла (страница 65)
, Yk,Xk+1, ... , х n , причем среди коэффициентов этой линейной комбинацииу векторов Xk+1, ... , Х N по крайней мере один не равен нулю: в противном случае вектор Yk+1 оказался бы линейной комбинацией векторов У1, ... ,Yk, что противоречило бы линейной независимости системы У1, ···,Ут·Если быm> n,то приk== nполучилось бы, что вектор Уn+1 являлся линейной комбинацией векторов У1,бы линейной независимости векторов У1,... , Уn, что... , Ут.
А< < <противоречило<Пример 2. Пусть RLp[a;b], -00аЬ+00, 1 ~ р +00, множество всех функций x(t), определенных на отрезке [а; Ь], дЛЯькоторых конечен интеграл Римана! Ix(t) IP dt.аДоказать, что множествоRLp[a;пространством с полунормойьЬ] является полунормированным1/Ilxllp=(!x(t)IPdt) Р(4)аи что, если1~ р ~q< +00,тоRLq[a; Ь] ~ RLp[a; Ь].Ilxll(5)Для удобства обозначениеp применяют и в том случае, когда интеграл, стоящий в правой части равенства (4), равен бесконечности.Нормированные и полунормированные пространства§ 19.413А Прежде всего, из линейности интеграла инеравенства Минковского (см.11следует, что[2, § 12])ь! л xl (t) + Л2 Х2 (t) IP dt )л 1 xl + Л2 Х211р (8) (1l/р1аЬ1/:::; IЛ11(!IХ1(t)IРdt) Р+:<:::;ЬI Л2 1(!IХ 2 (t)I Ра1/dt) Р.
(6)аIIx111pIIx211pОтсюда следует, что если< +00 и<бых чисел Л1, Л2 имеет место неравенство IIЛ1Х1+00, то для лю+ Л2Х211р < +00,т. е. множество RLp[a; Ь] образует линейное пространство и что дляфункционала (4) выполняется неравенство треугольника (для этого внеравенстве (6) достаточно взять Л1 == Л2 == 1). Неотрицательностьфункционала (4) очевидна, а его однородность следует из линейностиинтеграла. Итак, RLp[a; Ь] - полунормированное пространство.Докажем вложение (5). Если х Е RLq[a; Ь], то, применив неравенство Гёльдера для интегралов (см. [2, § 12]) с показателем q/p(в силу условия 1 ~ р ~ q он не меньше единицы), получимь1/(!lx(t)IP dt) Р:<:::;Ilxll p =аЬ:<:::;Ь(!Ix(t) Iq dt) l/qа(! dt) (q-p)/pq =аотсюда, очевидно, следует вложение3а м е ч а н и е.(Ь - a?/p-l/q Ilxll q;(5).АВсюду в дальнейшем под интегралом по некоторому числовому промежутку понимается, вообще говоря, несобственный интеграл, определенный как предел соответствующих римановых интегралов.
Для всех рассматриваемых функций, когда речьбудет идти об интегралах по какому-то промежутку от них или от ихмодуля, или от их степени и т. п., всегда будет предполагаться, чтосуществует такое конечное разбиениека: а ~to < ... < tk < ... < t n~ Ь, что{tk }~~~ указанного промежутна всяком отрезке [~; 1}] Е (а; Ь),не содержащем ни одной точки этого разбиения, функция интегрируема по Риману.ЗАДАЧИВ задачах1.1-37доказать сформулированные утверждения.В силу обычных операций над числами множество всех действительных (комплексных) чисел образует действительное (комплексное) линейное пространство.2.Rn(Х1; ...
; х n ), xk Е R, kКонечномерное векторное пространствоопераций над векторами х==зует действительное векторное пространство.в силу обычных== 1,2, ... , n,обра4.Гл.4143.Пустьжеств Z==СПВведение в ФУНffциональный анализмножество всевозможных упорядоченных мно-(Zl; ... ;zn) из n комплексных чисел zk Е С, k== 1,2, ооо,n,с линейной операцией, определенной следующим образом: еслиш==(шl;ооо;ш n ) Е СП,Z==(Zl;ooo;Zn) Е СП,толЕС,JLEC,+ JLW def(== лzl + JLWl; 000; лz n + JLW n ) олzТогда СП является комплексным линейным пространствомо4.Пусть Евсех функцийf:произвольное множествоо Тогда совокупностьЕ---+ R(соответственноf:Е---+F(E)С) при обычномопределении сложения функций и умножения их на действительное(комплексное) число является действительным (комплексным) линейным пространствомо5.
Множество р(n) (соответственно p~n)) всех многочленов степеней, не превышающих заданного натурального числа n, от одного переменного с действительными (комплексными) коэффициентами является линейным пространствомо6.Множество Р = nQo р(n) (соответственно Ре = nQo p~n)) всехмногочленов одного переменного с действительными (комплексными)коэффициентами (СМо задачу5)является линейным действительным(комплексным) пространствомо7.Множествовсевозможных(хl; ооо;х n ; 000)' х n ЕчисловыхпоследовательностейR (соответственно х n Е С), n == 1,2, 000' при обычном определении их сложения и умножения на число является линейным пространствомо8.Множество С(Х)всех непрерывных на метрическом пространстве Х числовых функций f: Х ---+ R (соответственно f: Х---+---+ С) является подпространством пространства F (Е) всех числовыхфункций, определенных на пространстве Х (СМо задачу 4)09.Множество СВ(Х) всех ограниченных непрерывных на метрическом пространстве Х функций f: Х ---+ R (соответственно f: Х---+---+ С) является подпространством пространств В(Х) (СМо задачу 8)и С(Х)о10.МножествоRLp[a;Ь] всех числовых функцийx(t),определеньных на отрезке [а; Ь], у которых конечен интегралJIx(t) IP dt, Р > О,аявляется линейным пространствомоПри м е ч а н и еоСогласно сделанному выше замечанию под интегралом понимается несобственный интеграл, в частности, интегралРиманао Поэтому здесьтво функций, чем вRgp[a, Ь]примере 20обозначает более широкое множес§ 19.Нормированные и полунормированные пространства41511.
Множество С 1 [а; Ь] всех непрерывно дифференцируемых наотрезке [а; Ь] функций составляет линейное пространство, являющееся подпространством пространства С[а; Ь] (см. задачу12.Множество8).всех последовательностей действительных чи-lp00сел (Х1;... ;Хn ; ... ), для которых рядМножествоIxnl Pсходится, образует ли-n=1нейное пространство.13.Lвсехпоследовательностейкомплексныхчи-00сел (Х1;...
;хn ; ... ), для которых рядLIxnl Pсходится, образует ли-n=1нейное пространство.14.то УЕсли У и+Z15.-подпространства линейного пространства х,Z -также подпространство этого пространства.Векторы Х1, ... , х nлинейно зависимы тогда и только тогда,когда по крайней мере один из них является линейной комбинациейостальных.16.Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.17.Всякая подсистема линейно независимой системы линейно независима.18.ма иЕсли система векторов линейно зависима, то линейно зависивсякая система, ее содержащая.19.чем n20.Влинейномn-мерномпространственесуществуетболеелинейно независимых векторов.В линейном n-мерном пространстве все базисы состоят изnвекторов.21.В линейном n-мерном пространстве каждая системаnлинейно независимых векторов является базисом этого пространства.22.
Пространство р(n) многочленов одного переменного степенине выше n (см. задачу 5) является (n + l)-мерным, и одночлены 1, t, t 2 , ... , t n образуют в нем базис.23. Пространство всех многочленов одного переменного (см. задачу 6) является бесконечномерным пространством.24.Если векторы Х1,Х2, ... ,х n образуют базис в линейном простnранстве Х, Yi == LaijXj, i == 1,2, ... ,n, и det(aij)1:О, то вектоj=lры У1,У2,25.... ,Уn также образуют базис в пространстве х.ЕсливекторыХ1, Х2, ...
, Х nобразуютбазисвлинейномГл.4164.Введение в ФУНffциональный анализnпространстве Х, Yi == LaijXj, где (aij) иaijтреугольная матрицаj=l1: О,== 1,2, ... ,n,iто векторы У1,У2, ... ,Уn также образуют базис в пространстве х.m26. Всякая система многочленов Pm(t)== 0,1, ... ,nзадачу27.(т. е. а тт1: О)L==amktk степеней m ==k=Oобразует базис в пространстве р(n) (см.5).Еслисистемамногочленовлинейнопространстве многочленов Р (см. задачу6),зависимавлинейномто она линейно зависимаи на любом промежутке. Если система многочленов линейно зависимананекоторомпромежуткеположительнойдлины,тооналинейнозависима и в пространстве р.28.Многочлены ЛежандраRO (t)== 1,Рm (t) ==m1d2 т т!2m == 1, 2 , ...
,n,(tdt - 1) mm(7)образуют базис в пространстве р(n) (см. задачу 5).29. Функция cpn(t)многочленом степениТо(х)== 1,Тт(х)== cos(n arccos t), n == 1,2, ... , Itln.==~1, являетсяМногочлены Чебышева12m -1cos(m arccosx),m== 1,2, ... , n,(8)образуют базис в пространстве р(n) (см. задачу 5).30.Любой многочлен степени не вышеnявляется линейной комбинацией многочленов Лежандра РО (t), Р1 (t), ... , Рn (t) И линейнойкомбинацией многочленов Чебышева To(t), Т1 (t), ... , Tn(t).31.Ядро линейного отображенияf:Х---+У является подпространством линейного пространства х.32.Образ линейногопространстваприлинейномотображениив другое линейное пространство является подпространством последнего.33.Для того чтобы линейное отображениеf:Х---+У линейногопространства Х в линейное пространство У было инъекцией, необходимо и достаточно, чтобы ядро этого отображения состояло толькоиз нуля.34.Вселинейныеn-мерныепространстваизоморфнымеждусобой.35.Преобразование Фурье непрерывных абсолютно интегрируемых на всей числовой осиR функций является инъекцией в линейноепространство функций f: R ---+ с.36.
Множество L(X; У) всех линейных операторов, отображаю-§ 19.Нормированные и полунормированные пространства417щих линейное пространство Х в линейное пространство У, при обычном определении линейных операций над ними образует линейноепространство.37. Rn +m == Rn х Rm , n,т == 0,1, ...38. Доказать, что линейные функционалы 11пространстваХker 11 == ker 12.39. Доказать,линейнозависимытогдаии12тольколинейноготогда,что для того чтобы линейный функционалного пространстваХкогда1 линейбыл линейной комбинацией линейных функционалов11 и 12 того же пространства, необходимо и достаточно,чтобы ker 11 n ker 12 С ker 1·40.
Подпространство Н действительного (соответственно, комплексного) линейного пространства Х называют гunеРnЛОСffостьюпространства Х, если существует такая точка а Е Х \ Н, что Х ====н Е9RaRa ==(соответственно Х{х ЕXIх==ла, л Е==н Е9 С а). Здесь(СаR}=={х ЕXIхла, л Е С}).==Доказать, что если Н является гиперплоскостью действительного линейного пространства Х и Ь Е Х41.Н1Доказать, что еслииН2пространства Х и Н 1 С Н2 , то Н 142.Н1Доказать, что еслипространства Х и Н 11:и==Н2\н, то Х==н Е9Rb.гиперплоскости линейного-Н2 .гиперплоскости линейного-Н2 , то существуют такие точкиh1Е Хи h 2 Е Х, что h 1 Е Н 1 \Н2 , h 2 Е Н2 \Н 1 .43.Доказать, что подпространство Н линейного пространства Хявляется гиперплоскостью этого пространстватогда итолько тогда,когда Н является ядром некоторого линейного функционала.44.Доказать: если11и12 -линейно независимые линейныефункционалы линейного пространства Х, то существует такой линейный функционал45.Доказать,9 пространства ker 11, что ker 9чтопересечениедвух== ker 11 n ker 12.различныхгиперплоскостей Н 1 и Н2 линейного пространства Х является гиперплоскостьюв каждой из гиперплоскостей Н 1 и Н2 .46.Доказать, что если подпространства Н 1 и Н2 являются гиперплоскостями действительного линейного пространства Х, Н 1Иh 1 Е Н147.\ Н2 , то Н 1==Н1n Н2 Е9 Rh 1 .1: Н2Доказать, что в линейном пространстве любые две его гиперплоскости изоморфны.48.Скалярное произведение (х, у) в n-мерном пространствеявляется билинейным отображениемRnхRnвRnR.Векторное произведение трехмерных векторов является билинейным отображением R3 х R3 В R3 .49.27Под ред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
