1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 60
Текст из файла (страница 60)
;Х n ; ... ) (х n Е R или х n Е С, ni-1: у?последовательнос== 1,2, ... )метрикойр(х;у) = 2:: тn 1 +'X хn -Ynlуn l' х = (хl; ... ;х n ; ... ), У = (Уl; ···;уn; ... )?n=1§ 18.15.МетрuчеСffuе пространства387Является ли метрическим пространством семейство всех непустых подмножеств метрического пространства Х, если "расстояние" между множествами Е 1 С Х И Е2 С Х определить равенствомр(Е 1 ; Е2 )16.==infхЕЕ 1 ,уЕЕ 2р(х; у)?Пусть на множестве упорядоченных пар (х; у) элементов множества Х определена неотрицательная функция р( х; у), удовлетворяющая всем аксиомам метрики,кроме первой, котораявыполняется в ослабленном виде: для любого элемента х Е Х имеет место==равенство р(х; х)о.
Элементы х и у множества Хназовем ЭJliВИвалентными, если р(х;у)==о. Пусть Х*=={х*}множество всех-классов эквивалентных элементов множества Х. Доказать, что функция р*(х*,у*)==р(х;у), где х Е х* Е Х*, У Е у* Е Х*, не зависит отвыбора элементов х и у соответственно в классах х*, у* и являетсяметрикой на множестве Х*.17.Доказать, что если Х и У-метрические пространства соответственно с метриками рх и ру, то функцияр( (хl; Уl), (Х2; У2)) == J[px (хl; Х2)]2+ [ру (Уl; У2)]2является метрикой в их произведении Х х У, называемом в этом случае произведением метри чеСJliИХ nространств Х и У.18.Пустьр(х; у)-функцииметрика на множестве Х.Рl(Х;У) ==Р2 ( х; у)== min {р (х, у ); 1 } ,Доказать, чтор(х;у) ,l+р(х;у)Рз ( х, у)== ln (1 + р (х, у ) )являются метриками на множестве Х, эквивалентными метрике р.19.Привести пример последовательности непрерывных на отрезке [а; Ь] функций, сходящейся в пространстве CLp[a; Ь], 1 ~ р < +00(см.
задачу 3.7)), но не сходящейся равномерно на отрезке [а; Ь]. (Вслучае отрезка будем писать CLp[a; Ь] вместо CLp([a; Ь]), 1 ~ р << +00; см. задачу 7).20.Привести пример последовательности функций, принадлежащих пространству С L 2 [О; 1], сходящейся в пространстве С L 1 [О;не сходящейся в пространстве CL 2 [a; Ь].21.1],ноПривести пример последовательности непрерывных функций,сходящейся в каждой точке отрезка [а; Ь], но не сходящейся в пространстве22.CL 2 [a;Ь].Привести пример последовательности функций, сходящейся впространстве С L 1 [О;ка [О;1],но не сходящейся ни в какой точке отрез1].23.Будут ли эквивалентными на множестве непрерывных на отрезке [а;Ь] функций метрики пространств25*CL 1 [a;b]иCL 2 [a;b]?Гл.38824.>Введение в ФУНffциональный анализДоказать, что для эквивалентности метрик Рl и Р2 на множестве ХСl4.достаточно, чтобы существовали две такие постоянные>О И С2О И чтобы для любых х Е Х и У Е Увыполнялосьнеравенство СIРl(Х;У) ~ Р2(Х;У) ~ С2Рl(Х;У).
Показать, что это условие не является необходимым для эквивалентности метрик Рl и Р2.25.ностьДоказать,чтоможет иметь26.в метрическомпространствепоследовательтолько один предел.Доказать, что множество значений сходящейся последовательности точек метрического пространства является ограниченным множеством.27.Может ли быть неограниченной последовательность функцийх n : [О; 1] ---+(См. задачуR, n3, 7).)== 1,2, ... ,сходящаяся в пространствеCL 2 [0; 1]?28. Если х(т) == (x~т); ... ; x~n); ... ) Е loo, m == 1,2, ... (см. задачу 4)и для каждого n == 1,2, ... существует конечный предел lim х(т) ==m---.too==а n , то будет ли последовательность (аl; ... ; а n ;жать loo? Еслиговсегда принадле-lim x~т)m---.tooверным утверждение,29.... )n== а n и а == (аl; ...
; а n ; ... ) Е loo, то будет личто lim х(т) == а в loo ?m---.tooДоказать, что для любых двух различных точек метрическопространствасуществуютнепересекающиесяшарысцентрамивэтих точках.30.Доказать, что множество Е метрического пространства ограничено тогда и только тогда, когда для любой точки х Е Х существует такое Е> О,что шар с центром в точке х радиуса Е содержитв себе множество Е.31.Доказать,чтоеслимножествоограниченовпространстве С[а; Ь] непрерывных на отрезке [а; Ь] функций с метрикойр(х; у)==тах[а;Ь]х, у Е С[а; Ь],Ix(t) - y(t)l,то оно ограничено и в любом пространствезадачу 7).32.CLp[a; Ь], 1 ~ р< +00(см.Верно ли, что если множество непрерывных на отрезке [а; Ь]1 ~p < +00,31.)а n Е R, а n > О,функций ограничено в некотором пространстве CLp[a; Ь],то оно ограничено и в пространстве С[а; Ь]? (См.
задачу33. При каких условиях на последовательностьn == 1,2, ... , в пространстве l2 (см. задачу 24.5) будутограниченнымимножества:1) параллелепипед {х==(хl; ... ; х n ; ... ) Еl21 Ix n002)21< а n , n ==ЭЛЛИПСОИД {Х=(Х 1 ; ... ;Х n ; ... ) El21 L:~ <1}?n=11,2, ... };МетрuчеСffuе пространства§ 18.34.Может ли шар радиусашара радиуса35.быть собственным подмножеством3?Доказать, что Е-окрестность точки метрического пространства является открытым36.4389множеством.Доказать, что множество внутренних точек любого множества метрического пространства является открытым37.множеством.Доказать, что множество внутренних точек любого множества метрического пространства является объединением всех открытых множеств, содержащихся в данном множестве.38.Привести пример открытого множества подпространства метрическогопространства,котороенеявляетсяоткрытымвсамомпространстве.39.Привестипримерзамкнутогомножестваподпространстваметрического пространства, которое не является замкнутым в самомпространстве.В задачах40.40-48доказать сформулированные утверждения.Подмножество Е подпространства У метрического пространства Х открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда оно являетсяпере сечением открытого(замкнутого)в Х множества с подпространством У.41.ЕслиG -открытое, акого пространства Х, то42.F G\ F -замкнутое множества метричесоткрытое в Х множество.Пересечение конечной совокупности и объединение любой совокупности открытых множеств являются открытыми множествами.Привести пример бесконечного множества открытых множеств, пересечение которых43.не является открытымОбъединениесовокупностиконечнойзамкнутыхмножеством.совокупностимножествиявляютсяпересечениелюбойзамкнутымимножествами.44.Для того чтобы точка х метрического пространства Х былаточкой прикосновения множества Е с Е, необходимо и достаточно,чтобы существовала такая последовательность точек х n Е Е,== 1,2, ...
,45.чтоlimn---+оохn==n ==х.Для того чтобы точка х метрического пространства Х была предельной точкой множества Е С Х, необходимо и достаточно,чтобы любая окрестность точки х содержала бесконечно много точекмножества Е.46.Множествометрическогопространствазамкнутотогдаитолько тогда, когда оно содержит в себе множество всех своих предельных точек.Гл.39047.4.Введение в ФУНffциональный анализЗамыкание множества в метрическом пространстве являетсязамкнутым множеством.48.Замкнутый шар метрического пространства является замкнутым множеством.49.Может ли замкнутый шар не быть замыканием открытого шара с тем же центром и радиусом?50. Верны ли1) множествоутверждения:внутренних точек пересечения двух множеств является пере сечением множеств их внутренних точек;множество внутренних точек пересечения любой совокупнос-2)ти множеств является пере сечением множеств их внутренних точек?Если нет, то имеется ли в какую-нибудь сторону включение?51.
Верны ли1) множествоутверждения:внутренних точек объединения двух множеств является объединением множеств их внутренних точек;множество внутренних точек объединения любой совокупнос-2)ти множеств является объединением множеств их внутренних точек?Если нет, то имеется ли в какую-нибудь сторону включение?52. Верны ли утверждения:1) замыкание объединения двухмножеств является объединениемих замыканий;2)замыкание объединения любой совокупности множеств являет-ся объединением замыканий этих множеств?Если нет, то имеется ли в какую-нибудь сторону включение?53.
Верны ли1) замыканиеутверждения:пересечения двух множеств является пере сечениемих замыканий;2)замыкание пересечения любой совокупности множеств является пере сечением замыканий этих множеств?Если нет, то имеется ли в какую-нибудь сторону включение?В задачах54.54-59доказать сформулированные утверждения.Замыкание множества является пере сечением всех замкну-тых множеств, содержащих в себе данное множество.55.56.57.Граница множества является замкнутым множеством.Для любого множества Е==ЕU дЕ.Непустое подмножество метрического пространства открытотогда и только тогда, когда оно не пересекается со своей границей.58.Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержитвсе свои граничные точки.59.Границы объединения, пересечения и разности двух множеств§ 18.МетрuчеСffuе пространства391содержатся в объединении границ этих множеств.Построить пример бесконечной совокупности множеств, гра-60.ница объединения которых не содержится в объединении их границ.В задачахдоказать сформулированные утверждения.61-6761.Множество предельных точек множества замкнуто.62.63.Для любого множестваЕслиdiam Е == diam Е.непрерывная на метрическом пространстве Хx(t) -функция, то для любого числа а Е{t{tRмножестваЕ Х I x(t) ~ а} замкнуты, а множестваЕ Х I x(t) > а} открыты.Если64.{tЕ Х I{tЕ Х Ix(t) ~ а}x(t) < а}{t{tЕ ЕIЕ ЕIинепрерывная на подмножестве Е метрическоx(t) -го пространства Х функция, то для любых чисел а ЕваиRмножест~ а} и {t Е Е I x(t) ~ а} замкнуты, а множестваа} и {t Е Е I x(t) > а} открыты в множестве Е, расx(t)x(t) <сматриваемом как подпространство метрического пространства Х.65.Еслинепрерывная на подмножестве Е метрическогоx(t) -пространства Х функция, то для любых чисел а Емножество66.{t< x(t) < Ь}Е ЕIаЬ ЕR,а< Ь,является открытым в Е множеством.Параллелепипед{х==(хl; ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
