1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 63

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

Л.Д.Кудрявцева, Т.3fn:Х---+У равно-Гл.4024.Введение в ФУНffциональный анализмерно сходится к отображениюХf:---+у и все отображениянепрерывны в точке Ха Е Х, то и отображениеffnнепрерывно в этойточке.188.Сжимающее отображениеХf:---+ Хравномерно непрерывнона х.189.Сжимающее отображениеfполного метрического прост­ранства в себя имеет и притом единственную неподвижную точку,т.

е. такую точку, что190.f(x) ==х.Если некоторая степень отображения полного метрическо­го пространства в себя является сжимающим отображением, то са­мо отображение имеет и притом единственную неподвижную точку.191. Если функция f(t) непрерывна на отрезке [а; Ь], функцияK(t; 8) - на квадрате Q == [а; Ь] х [а; Ь], с == шах IK(t; 8)1, л - неко­Qtторое число иА(х)=Jл K(t; 8)Х(8) d8 + j(t),ато:1)отображение А отображает пространство С[а; Ь] (см.

задачу31)в себя;для любых функций хl Е С[а; Ь],Е [а; Ь] справедливо неравенство2)1А n192.( Х1 ) (t) -А n ( Х 2) ( t ) 1 ~л 2 с n (Ь-Х2 Е С[а; Ь]а)n,n.шах 1х 1 ( t)[а;Ь]и любого-tЕх 2 ( t ) 1.Отображение А(х) предыдущей задачи пространства С[а; Ь]в себя имеет единственную неподвижную точку, т. е. уравнениеx(t) = лtJK(t; 8)8(8) d8 + f(t)апри любом л имеет и притом единственное непрерывное решение.193.Привести пример такого отображенияfполного метричес­кого пространства Х в себя, у которого для любых двух точек х Е Х,У Е Х выполняется условиеp(f(x);f(y))~ р(х;у), но нет неподвиж­ной точки.Взадачах194.194-203доказатьсформулированныеутверждения.Любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет непо­движную точку.195.Любое возрастающее отображение отрезка в себя имеет не­подвижную точку.196.197.Непрерывный образ компакта является компактом.Взаимно однозначное и непрерывное отображение компактаявляется гомеоморфизмом.§ 18.198.МетрuчеСffuе пространстваВсякая непрерывная функция---+ R,Хf:403определенная накомпакте Х, ограничена на нем и принимает наибольшее и наимень­шее значения.199.Непрерывный образ связного множества является связныммножеством.200.Непрерывныйобразконтинуумаявляетсяконтинуумом.201.Если метрическое пространство является непрерывным об­разом сепарабельного метрического пространства, то оно также яв­ляется сепарабельным пространством.202.

Множество функций {х:компактом в пространстве С[О;x(t) == kt 2, о ~ k ~ 1} является1].Семейство S == {х} функций х == x(t) пространства С[а;Ь](см. задачу 31) называют равномерно ограниченным, если существует203.>такая постоянная сО, что для всех х Е S и всех t Е [а; Ь] вы­полняется неравенство Ix(t)1 ~ с. Семейство S == {х} функций х ==== x(t)пространства С[а; Ь] называют равностепенно непрерывным,если для любого Е > О существует такое д > О, что для всех х Е S ивсех t1, t2 Е [а;Ь], для которых21 ~ д, выполняется неравенст­во Ix(t 2) - x(t 1)1 < Е.It -t 1ДЛЯ того чтобы семейство S == {х} непрерывных на отрезке [а; Ь]функций х == x(t) было предкомпактно в пространстве С[а; Ь], необ­ходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограни­ченным и равностепенно непрерывным (теорема Арцела).204.Будет ли компактом в пространстве С[а; Ь] множество всехмногочленовP(t)степени не выше данного натурального n:P(t) ==n== 2::aktk, у которых lakl ~ 1, k == 0,1,2, ...

,n?k=OВзадачах205-207доказатьсформулированныеутверждения.205. Всякое ограниченное в пространстве С 1 [а; Ь] (см. задачу 93)множество предкомпактно в пространстве С[а; Ь] (см. задачу 31).206. Пусть С(Х) - пространство непрерывных на компакте Хфункций х: Х ---+ R с метрикойр(х; у)==шаххIx(t) - y(t)l,х, у Е С(Х).В этом случае множество Е с С(Х) предкомпактно тогда и толь­ко тогда, когда оно равномерно ограничено (т. е. существует такаяпостоянная с> О,что для всех х Е Е и всехtЕ Х выполняется нера­венство Ix(t)1 ~ с) и равномерно непрерывно (т. е.

для любого Е > Осуществует такое д > О, что для любой функции х Е Е из неравен­стваP(t2; t1) <207.26*Вд следует, чтоподпространствеIx(t 2) - x(t 1)1 <равномерноЕ).непрерывныхфункций4.Гл.404Введение в ФУНffциональный анализпространства В(Х) (см. пример1),где Хметрическое простран­-ство, множество предкомпактно тогда и только тогда, когда оно рав­номерно ограничено и равностепенно непрерывно (см. задачу208.206).Выяснить, какие из нижеперечисленных семейств функцийбудут предкомпактными в пространстве С[а; Ь] (см. задачуи при31)каких а и Ь:1) t n , n == 1,2, ... ; 2) (at)n, а Е R, n == 1,2, ...

;3) sin n t, n == 1, 2, ... ; 4) sin (t + n), n == 1, 2, ... ;5) e t +a , а Е R; 6) e t - a , а Е R, а > о.209.Какие из указанных ниже множеств будут компактами впространствес[о;1](см. задачу31),если с-некоторая посто-янная:1){х Е с[о;l]llx(t)1 ~ с};С [0; l]llx(t)1 ~ с,С 2 [0; l]llx(t)1 ~ с,С 2 [0; l]llx(t)1 ~ с,С 2 [о; 1] I Ix' (t) I ~ с,2) {х ЕIx'(t)1 ~ с};3) {х ЕIx'(t)1 ~ с, Ix"(t)1 ~ с};4) {х ЕIx"(t)1 ~ с};5) {х ЕIx" (t) I ~ с}?210. Доказать: для того чтобы множество Е с lp, 1 ~ р(см. задачу 5), было предкомпактно, необходимо и достаточно,1оно было ограничено и чтобы для любого Еn Е , что для всех х==(Х1;...

; х n ; ... )>О<+00чтобысуществовало такоеЕ Е выполняется неравенство00ОТВЕТЫ6. Да. 8. Нет: не выполняется первое свойство метрики. 10. Нет.11. Да. 12. Нет. 13. Да. 14. Да. 15. Нет. 23. Нет. 27. Может.28. Нет, нет. 32. Неверно.0033. 1)La~ < +00;n=12) (а1; ... ; а n ; ... ) - ограниченная последовательность.34. Может. 49. Может.50. 1) Да; 2) нет.

Множество внутренних точек пересеченияжествсодержится51. 1)Нет;2)впересечениимножествихвнутреннихмно­точек.нет. Объединение множеств внутренних точек мно­жеств содержится в множестве внутренних точек объединения мно­жеств.52. 1) Да; 2) нет.UА аасUА а .а53. 1) Да; 2) нет.nА а с nА а .а68. 1) Да; 2) нет. 100. Да. 101. Да, да, да.107.1) Нет; 2) нет; 3) да. 111. l[~). 112. Да.

113. Да, нет.аНормированные и полунормированные пространства§ 19.405114. Нет. 130. Да. 140. Да. 166. Нет. 172. 1) Нет; 2) нет.174. 1) Да; 2) да. 175. Нет. 176. Нет. 177. 1) Да; 2) нет; 3)178. 1) Да; 2) нет; 3) да. 179. 1) Да; 2) нет.182. Не будет. 183. Да. 204. Да.208.1) При -1 < а < Ь < 1 будет, а в остальных случаях нене будут, а3), 5)4),6)да.будет;будут предкомпактными;2) при lal < 1 будет, а при lal ~ 1 не будет предкомпактным.209. 1) и 5) не будут, а 2), 3) и 4) будут компактами.§ 19.Нормированные и полунормированные пространстваСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Линейные пространства.

Множество Х называют действи­тельным линейным (или векторным) nространством, если:каждой упорядоченной паре (х; У) элементов Х Е Х; У Е Х по­ставлен в соответствие единственный элемент пространства Х, на­зываемый суммой Х и у и обозначаемый Х+ у;каждому элементу Х Е Х и каждому действительному числу Апоставлен в соответствие единственный элемент пространства Х, на­зываемый произведением А на Х и обозначаемый АХ.При этом выполняются следующие группы аксиом.+ == у + Х для любых Х Е Х и У Е Х;+ + z) == (Х + у) + z для любых Х Е Х, Уа) Хуб) Х(у1)Е Х иzЕ Х;в) в множестве Х существует элемент, называемый нулевым иобозначаемый О, такой, что Х+ О == Хдля любого Х Е Х;г) для каждого Х Е Х существует единственный элемент мно­жества Х,называемый противоположным элементу х,обозначае­+(мый -Х и такой, что Х-Х) == о.2) а) 1х == Х для любого Х Е Х;б) A(JLX) == (AJL)X дЛЯ любого Х Е Х и любых действительных чи­сел А ив) (АJL;+ JL)X == АХ + JLXчисел А иг) А(ХдЛЯ любого Х Е Х и любых действительныхJL;+ у) == АХ + АУдЛЯ любых Х Е Х, У Е Х и любого действи­тельного числа А.ДЛЯ каждой пары элементов Х Е Х и У Е Х элемент Хназывают разностью элементов Х и У и обозначают Х -+ (-У)у.Элементы линейных пространств называют также точками иливекторами.Если в сформулированном определении действительного линей­ного пространства всюду действительные числа заменить комплекс­ными: А,JLЕ С, то получится определение комплексного линейногопространства.Гл.406Если У ирез У+Z4.Введение в ФУНffциональный анализподмножества линейного пространства Х, то че­Z -обозначают множество всех элементов Х Е Х, представи­==мых в виде Ху+ z,у Е У,zЕz.Множество У(алгебраичеСJliОЙ) суммой множеств У иz.+ZназываютЕсли для любого элемента Х Е Х его представление в виде Х== у + z,у Е У,и обозначаютЕсли ХЕZ,YE9Z.zлинейное пространство и xk Е Х,-элемент вида Л1Х1вслучае+ ...

+ ЛnХ n ,действительногокомплексногоментовХ1,+Zединственно, то сумму Угде все Лk -пространствапространства,называюти==называют прямойk == 1,2, ... ,то всякийдействительные числакомплексныевслучаелинейной Jliомбинацией эле­Хn .... ,Множество, содержащееся в линейном пространстве Х, называютnодnространством этого пространства, если все линейные комбина­ции элементов этого множества содержатся в нем.Векторы Х1, ... , Х n линейного пространства называют линейно за­висимыми, если существуют такие числа Л1, ... , л n , не все равные нулю, что Л1Х1+ ...

+ ЛnХ n ==о. Если указанных чисел не существует,то векторы Х1, ... , Х n называют линейно независимыми.Произвольную систему векторов {Ха}, а ЕU (U -некотороемножество индексов) называют линейно независимой, если, каковабы ни была ее конечная подсистема, входящие в нее векторы линейнонезависимы.Совокупностьпринадлежащихвсевозможных линейныхнекоторомузаданномукомбинациймножеству,элементов,называютли­нейной оБОЛОЧJliОЙ этого множества.Всякую конечную упорядоченную систему линейно независимыхвекторов линейного пространства, линейной оболочкой которой оноявляется, называют базисом этого пространства.Если в линейном пространстве существует базис, состоящий извекторов, то пространство называютnn-мерным.Все n-мерные пространства называют Jliонечномерными. Если ли­нейное пространство не конечномерно, то его называют беСJliонечно­мерным.Ниже всюду в этом разделе Х и УЕслиf:Х-+У-линейные пространства.-отображение пространства Х в пространство У,то прообраз нуля называют ядромker f==ker f{Х Е Х:этого отображения:f (Х) ==о}.Отображение f: Х -+ У называют линейным отображением (или,что то же самое, линейным оператором), если для любых двух эле­ментов Х Е Х, У Е Х и любых чисел л,f(лх(если Х и У-fLсправедливо равенство+ fLy) == лf(х) + fLf(y)действительные пространства, то числа л,fLвительные; если эти пространства комплексные, то и числадейст­л,fL§ 19.Нормированные и полунормированные пространства407комплексные) .Множество всех линейных операторовf:Х---+УобозначаютL(X;Y).ЛинейноеотображениедействительныхилилинейногокомплексныхпространствачиселназываютвмножествоФУ1-lffЦИО1-lаломданного пространства.Линейное взаимно однозначное отображение пространства Х напространство У (биеffЦИЯ) называют изоморфизмом или ИЗОМОРф1-lЫМотображе1-lием.Если для пространств Х и У существует изоморфное отображе­ние одного на другое, то их называют ИЗОМОРф1-lЫМИ.Произведе1-lиемZ==Х х У линейных пространств Х и У назы­вают линейное пространствоZ,состоящее из элементовz ==(х;у),х Е Х, У Е У, теоретико-множественного произведения множеств Хи У, дЛЯ которых определена линейная операцияA1Z1+ A2Z2по фор­мулегде Zl==(Х1;У1) ЕZ, Z2 == (Х2;У2) Е Z, А1 И А2 -числа.Выполнимость аксиом линейного пространства при таком опре­делении линейной операции легко устанавливается непосредственнойпроверкой.Аналогично понятию произведения двух линейных пространстввводится понятие nроизведе1-lИЯ n ЛИ1-lеЙ1-lЫХ nространств для любого> 2.Отображение z == f(x; у),натуральногоnх Е Х, У Е У,Z, произведения Х х Упространство Z называютzлинейных пространств Х и У в линейноеЕБИЛИ1-lеЙ1-lЫМ, если при фиксировании одной из переменных х,У онолинейно по другой переменной.По аналогии с билинейными отображениями вводится понятиемультИЛИ1-lеЙ1-lЫХ отображе1-lИЙ: если Х 1 ,Х 2 ,пространства, то отображениемультИЛИ1-lеЙ1-lЫМ илиf:...

,Хn , У -Х 1 х Х 2 Х ... Х Х n---+линейныеУ называютn-ЛИ1-lеЙ1-lЫМ, если оно линейно относительнокаждой переменной xk ЕX k, k== 1,2, ... , n,когда остальные перемен­ные фиксированы.2.Свойства полунормированных и нормированных прост­ранств. Линейное пространство Х (действительное или комплекс­ное) называют nОЛУ1-l0рмирова1-l1-lЫМ, если на множестве его точекопределена действительная функция, называемая nОЛУ1-l0РМОЙ, обоз­IlxllxIlxll,начаемаяилих Е Х, и имеющая следующие свойства:1) 1-lеотрицатеЛЬ1-l0сть: для всех х Е Х выполняется неравенст-воIlxll2)~ О;одН0родН0сть: для всех х Е Х и всех чисел А имеет место ра-венствоIIAxl1 == IAlllxll;3) неравенство треугОЛЬ1-lИffа: для всех х Е Х, У Е Х выполняетсянеравенствоIlx + yll~Ilxll + Ilyll·Гл.4084.Введение в ФУНffциональный анализЕсли, кроме того, выполняется условие:4) еслиIlxll == о,== Ото х(невырожденность) ,то полунорму называют нормой, а пространство Хнормирован­-ным.Две нормыIlxlll(l)иIlxll(2)в линейном пространстве Х называютЭffвивалентными, если существуют такие постоянные сl>ОИ С2> о,что для всех х Е Х выполняется неравенствоСlll х 11 (1) ~ 11 х 11 (2) ~ С211 х 11 (2) .Подмножество нормированного или полунормированного прост­ранства называют его nодnространством, если оно является линей­ным подпространством (см.

Характеристики

Список файлов книги