1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 62
Текст из файла (страница 62)
), n == 1,2, ... ,---+о.... )точек метрического протопоследовательностьмноявляется последовательностьюКоши.В полном метрическом пространстве всякая последователь122.ность Коши (см. задачу121)замкнутых множеств имеет непустоепересечение, состоящее из одной точки.Метрическое пространство полно тогда и только тогда, ког123.да всякая последовательность Коши (см. задачу121)его подмножествимеет и притом единственную точку, являющуюся точкой прикосновения для всех множеств последовательности.Построить пример последовательности замкнутых шаров не124.которогодругвметрическогодруга,диаметрыпространства,которыхпоследовательностремятсякнулю,авложенныхпересечениепусто.125.жеств,Построитьпоследовательнокого пространства,Впримерзадачахпоследовательностивложенных другпересечение которых126-133доказатьв друга,замкнутыхполногомнометричеспусто.сформулированныеутверждения.00126.Если Хполное метрическое пространство, Х-== U F nиn=1все множестваFnзамкнуты, то по крайней мере одно из них содер-жит открытый шар.чу127.
Пространства l[~) (см. задачу 90), lp, 1 ~ р < +00 (см. зада5), CLp[a; Ь], 1 ~ р < +00 (см. задачу 7) являются сепарабельными.128.Пространстваlooявляются сепарабельными.(см. задачу4)и В[а; Ь] (см. пример1)не§ 18.129.МетрuчеСffuе пространства== {G a },Систему Па ЕU (U -397некоторое множество индексов), открытых множеств метрического пространства Х называют его базой, если каждое открытое множество пространства Хявляется объединением содержащихся в нем множеств системы п.Метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда,когда оно имеет счетную базу.130.Если метрическое пространство не имеет счетной базы, то>Опри некотором Енайдется несчетное множество элементов, взаимное расстояние между которыми не меньше Е. Верно ли обратное?131.Компакт является замкнутым множеством в любом содержащем его метрическом пространстве.132.Замкнутое133.Для двух множеств А и В метрического пространства Х ве-==личину р(А; В)подмножествоinfхЕА,уЕВ-являетсякомпактом.р(х; у) называют расстоянием между МНО-жествами А и В (см.
задачуЕсли А и Вкомпакта15).замкнутые непересекающиеся множества, из которых по крайней мере одно является компактом, то они находятсяна положительном расстоянии.134.жеств,Привести пример двух замкнутых непересекающихся мнорасстояние между которыми равно нулю.135.Доказать, что еслимножествавметрическомF1F2замкнутые непересекающиеся-пространстве,непересекающиеся множества136.иG1~ИF1тоG2существуют~открытыеF2 .Построить пример замкнутого множестваFв некоторомметрическом пространстве Х и точки х Е Х таких, что для любойточки У ЕFвыполняется неравенствор(х; у)137.Доказать,> р(х; F) ==что еслиF -inf р(х; z).zEFкомпакт в метрическомранстве Х и х Е Х, то существует точка у Еке х, т. е.
такая, для которой138.Привестиp(x;F) ==F,простближайшая к точр(х;у).пример полного метрического пространстваХ,замкнутого в нем множества А и точки х Е Х таких, что в А несуществует ближайшей к х точки (см. задачуВзадачах139.139-165доказать137).сформулированныеДля непрерывной на отрезке [а; Ь] функциилюбого натурального числаприближения степениn,n[а; Ь]-+ Rт. е. такой многочлен Р степени не вышеQтакже степени не вышеняется неравенство[а;Ь]x(t):Ix( t) -исуществует многочлен Р наилучшегочто, каков бы ни был многочленшахутверждения.Р( t) ~ шах1[а;Ь]Ix( t) - Q( t) 1·n,n,выпол398140.ЕслиF1Гл.4.иF2Введение в ФУНffциональный анализкомпакты в метрическом пространстве Х,-то существуют такие точки Хl Е F 1 И Х2 Е F 2 , что р( Хl ; Х2) == р( F 1 ; F 2 )(см.
задачу 133). Существенно ли условие компактности обоих множеств?141.Всякое вполне ограниченное множество является ограниченным.142.В пространстве l2 (см. примерв точке (О; О;... ; О; ... )радиуса2)замкнутый шар с центромограничен, но не вполне ограничен и1не является компактом.143.Если множество вполне ограничено в некотором метрическом пространстве, то для этого множества при любом Евует конечная144.сущестЕ-сеть, состоящая только из его точек.Пространство l2(см.
примерконечномерному пространству145.>ОnRВсякое ограниченное в2)не изометрично никакому.Rnмножество является и вполнеограниченным.146.МножествоQOCJточек Х==(Хl; ... ; Х n ;... )пространства l2 (см.пример 2), координаты которых удовлетворяют неравенствам О ~~ Х N ~ 1/2 n , является вполне ограниченным множеством. (Множество QOCJ называют гuльберmовы'м JliUРnUЧО'м.)147.тогдаиМножество в метрическом пространстве вполне ограниченотолькотогда,когдакаждаяпоследовательностьэтогомножества содержит фундаментальную последовательность.148.Полноевполнеограниченноемножествовметрическомпространстве является компактом.149.Метрическое пространство является компактом тогда и только тогда,150.когда оно вполне ограничено иполно.Компакт является ограниченным множеством в любом содержащем его метрическом пространстве.151.Длятогочтобыподмножествополногометрическогопространства было компактом, необходимо и достаточно, чтобы онобыло замкнутым и вполне ограниченным.152.153.Гильбертов кирпич (см.
задачу146)является компактом.Для того чтобы множество, лежащее в полном метрическомпространстве, было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.154.Компакт является сепарабельным метрическим пространством.155.ранстварытие.Из всякого покрытия сепарабельного метрического простоткрытымимножествамиможновыделитьсчетноепок§ 18.156.МетрuчеСffuе пространства399Для того чтобы сепарабельное метрическое пространство являлось компактом, необходимо и достаточно, чтобы любая последовательностьнепустыхзамкнутыхмножеств,последовательновложенных друг в друга, имела непустое пересечение.157.Длятогочтобыметрическое сепарабельноепространствобыло компактом, необходимо и достаточно, чтобы из любого его покрыт ия открытымимножествами можно было выделитьконечноепокрытие.158.Для того чтобы произведение Х х Уранств Х и У (см.
задачу17)метрических простбыло компактом, необходимо и достаточно, чтобы были компактами пространства Х и У.159.Если А и В-предкомпактные множества метрическогопространства Х, то множество чисел р(х;у), где х Е А, у Е В, ограничено.160.Пересечение любой совокупности компактов является компактом.161.Объединениеконечнойсовокупностикомпактовявляетсякомпактом.162.Пересечениепоследовательностиконтинуумов,последовательно вложенных друг в друга, является континуумом.163.ЕслиFn , n== 1,2, .. 0' -последовательность компактов в мет-nF00рическом пространстве Х,для любого Е>F1~~ ...
~F2Fn~...иF ==n=1О существует такой номер n Е , что для всехnn ,то>nЕвыполняется включениеFn с U(F; Е) defUU(х; Е).хЕР164.ЕслиFn , n== 1,2, .. 0' -рическом пространстве Х,nFF1последовательность компактов в мет~F2~ ... ~Fn~ ...
, то для того, чтобы00пересечениеF==nсостояло из одной точки, необходимо и доn=1статочно, чтобыlim diam F n ==о.n---+оо165.ЕслиFn , n== 1,2, .. 0' -такая последовательность компактовв метрическом пространстве, что пересечение любой конечной совокупности этих компактов непусто, то пересечение всех этих компактов также непусто.166.Верно ли утверждение: из любого покрытия компакта замыканиями открытых множеств можно выделить конечное покрытие?167. Доказать, что, каково бы ни было покрытие {G a }, а Е U,компакта Х открытыми множествами G a , существует такое число б> о,что для любого множества Е с Х, диаметр которого меньше б, найдется элементG aoзаданного покрытия, содержащий в себе4.Гл.400множество Е:в задачахВведение в ФУНffциональный анализ~ Е.G aoХ, У,168-173метрические пространства.
В задаZ -чах168-171 доказать сформулированные утверждения.168. Сформулированные выше определения непрерывности отображения f: Х ---+ У в терминах последовательностей и в терминахокрестностей равносильны.169.Отображениеf:Х---+У непрерывно в точке ха Е Х тогда и только тогда, когда для любого Е>О существует такое бчто для любой точки х Е Х, дЛЯ которой р(х; ха)p(f(x); f(xa)) < Е.170. Отображение f: Х ---+<> О,б, выполняетсянеравенствоУ непрерывно на Х тогда и толькотогда, когда прообраз каждого открытого в У множества являетсяоткрытым в Х множеством.171.ОтображениеХf:---+У непрерывно на Х тогда и толькотогда, когда прообраз каждого замкнутого в У множества являетсязамкнутым в Х множеством.172.Обязательно ли при непрерывном отображении одного метрического пространства в другое:1)2)образ каждого открытого множества открыт;образ замкнутого множества замкнут?173.ний f:Доказать,Х---+Учтоикомпозиция---+ ZУg:9fонепрерывныхотображеявляется непрерывным отображением.fБудет ли непрерывным отображениепространства С[О;(см.
задачу 31) в себя, если оно задается формулой:174.а1) f(x) == ерх, гдех == x(t) Е С[О, 1];2) f(x) ==х 2 , x(t)ваер== ep(t) -=={х Е С 1 [0;1], х(О)ли непрерывно отображениеx(t)f(x)(t) == -t-' t1 77.1],==С[О;l]?175. Будет ли непрерывным отображение f(x)CL 1 [0; 1] (см. задачу 3,5)) в себя?176. Пусть Хмификсированная функция из С[О;1]Е (О; 1],f:Х---+f(x)(O) ====х 2 пространстО} (см. задачу 93). БудетС[О;.==1],задаваемое формула-x(t)l~ -t- ?Являются ли непрерывными следующие отображения пространства С[О;1](см.
задачу31)в себя:t1) f(x)(t) =Jх(в) ds;аt2) f(x)(t) =Jх (в) ds;а2МетрuчеСffuе пространства§ 18.tJsin(t - в)х(в) ds,3) f(x)(t) =401t Е [О; 1]?о178.ЯвляютсяпространствалинепрерывнымиCL 2 [0; 1](см. задачу1) f(x)(t) == cp(t)x(t),отрезке [О;где3,8))отображенияfв себя:фиксированная непрерывная наcp(t) -1] функция;следующиеtJх(в) ds, t Е [О; 1] ?2) f(x)(t) = x 2 (t); 3) f(x)(t) =о179.Будет ли непрерывным отображениеf(x) ==х(l), если онорассматривается как отображение:1) из С[О; 1] (см. задачу 31) в R;2) из CL 2 [0; 1] (см.
задачу 3,8)) в R?180. Доказать, что если f - непрерывноеранства Х на пространство У и Еf(E)-отображение простплотное в Х множество, тоявляется плотным в У множеством.181.Доказать, что еслив У и Х182.компакт, то-Будетлиff:Х---+ У -непрерывное отображение Хявляется равномерно непрерывным на х.непрерывнымдифференцирование,рассматриваемое как отображение подпространства, состоящего из непрерывно дифференцируемых функций пространства С[а; Ь] (см. задачув само пространство С[а; Ь]?183.Будетлинепрерывнымдифференцирование,1ваемое как отображение пространства С [а; Ь]пространство С[а; Ь] (см.
задачу184.Пусть Ежество иЕf:---+31)рассматри(см. задачу 93) на31)?плотное в метрическом пространстве Х мноУ-равномерно непрерывное отображение Е вполное метрическое пространство У. Доказать, что существует и притом единственное отображениесовпадает с185.f*:Х---+У, сужение которого на Еf.Привести пример непрерывного отображения, определенногона плотном подмножестве метрического пространства и не имеющегонепрерывного продолжения на все пространство.Взадачах186-192доказатьсформулированныеутверждения.186. Для того чтобы последовательность отображений fn: Х ---+ У,n == 1,2, ... , равномерно сходилась к некоторому отображению Х в У,где У полное пространство, необходимо и достаточно, чтобы длялюбого Е > О существовал такой номер n Е , что для всех номеров n >> n Е , т > n Е и всех точек х Е Х выполнялось неравенство Ifn(x) -- fm(x)1 < Е.187.26Если последовательность отображенийПод ред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
