1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706)
Текст из файла
УДКББК51722.161К88КудрявцевСборникЛ.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И.задачпоматематическомуанализу.Том3.Функциинескольких переменных: Учеб. пособие/ Под ред. Л.Д. Кудрявцева.2-е изд., перераб.-М.: ФИ3МАТЛИТ,2003. -472с.-ISBN 5-9221-0308-3.Книга является третьей частью трехтомного сборника задач, созданногонаосновемноголетнегоопытапреподаваниякурсаматематического анализа в Московском физико-техническом институте. В нее включенматериал по следующим разделам курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, векторный анализ; интегралы, зависящие от параметра; элементы функционального анализа.Каждыйпараграфсодержитсправочныйматериал,набортиповыхпримеров с решениями и задачи для самостоятельной работы с ответами.Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике.Ил.33.Табл.
Библиогр.20назв.Ре ц е н з е н т ы:заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, академик В.А. Ильин;профессор МФТИ, академик С.М. НИffОЛЬСffИЙ.ISBN 5-9221-0308-3ISBN 5-9221-0305-9(Т.3)©©ФИ3МАТЛИТ,2003Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов,в.и. Чехлов, м.и Шабунин,2003ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие.. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ГЛАВА51ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 1.§ 2.Различные типы множеств в n-мерном пространстве............... . . . . . . . . . . . . ..54Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора и ряд Тейлора§ 5.§ 6.22Частные производные. Дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцируемые отображения§ 4.7Функции нескольких переменных.
Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Отображения§ 3.. . . . . . .Экстремумы функций.85110129. . . .Геометрические приложенияГЛАВА2КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ§ 7.§ 8.§ 9.§ 10.§ 11.§ 12.Мера Жордана. Измеримые множества. . . . . . . . . . . .
. . . . . 145. . . . . . . . . . . . . . . 158Геометрические и физические приложения кратных интегралов233Криволинейные интегралы .255Поверхностные интегралы ..278Скалярные и векторные поля295Кратный интеграл Римана и его свойстваГЛАВА3ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ§ 13.§ 14.Собственные интегралы, зависящие от параметра. . . . . . . . ..324Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящихот параметра. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..334Оглавление4§ 15.Дифференцирование и интегрирование по параметру несобственных§ 16.§ 17.интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . .Эйлеровы и некоторые другие интегралы.Интеграл Фурье. Преобразование ФурьеГЛАВА.3463603704ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ§ 18.§ 19.§ 20.§ 21.Метрические пространства.................
.379Нормированные и полунормированные пространства.405Гильбертовы пространства................. .434Топологические пространства. Обобщенные функции.450Список литературы.......................... .467ПРЕДИСЛОВИЕКнига является третьей частью сборника задач по курсу математического анализа. В первой главе речь идет о дифференциальном исчислении функций нескольких переменных. Рассматриваютсяразличныетипымножестввn-мерномпространстве,понятияпредела, непрерывности. Особое внимание уделяется такому трудномудля усвоения понятию, как дифференцируемость функций нескольких переменных, а также проблеме отыскания точек безусловного иусловного экстремума.Вторая глава посвящена кратным, криволинейным и поверхностным интегралам. Изложение теории кратных интегралов строится наоснове меры Жордана. Много внимания уделяется геометрическим ифизическим приложениям кратных интегралов, скалярным и векторным полям.В третьей главе рассматриваются интегралы, зависящие от параметра.
Приведено большое число примеров, связанных с исследованием равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящихот параметров. Рассматриваются важные для приложений интегралы Дирихле, Эйлера, Пуассона и др. Отдельный пара граф посвященинтегралу Фурье и преобразованию Фурье.Материал четвертой главы является введением в функциональный анализ.
Исследуются метрические, нормированные и полунормированные пространства,а также гильбертовы и топологическиепространства. Содержатся начальные сведения об обобщенных функциях.При работе над сборником авторы опирались на многолетний опытпреподавания курса математического анализа на кафедре высшей математики Московского физико-технического института. Как и в первых двух частях, весь материал третьей части сборника разбит напараграфы. Каждый параграф содержит: краткий обзор теоретических сведений, необходимых для решения последующих задач; решения типичных задач; упражнения и задачи, снабженные ответами ипредназначенные для самостоятельного решения. Включение в сборник сравнительно большого числа подробно решенных задач имеетцельюитемпоказатьсамымстудентудатьемуоптимальныевозможностьприемычастьиметодыматериаларешенияизучитьсамо-Предисловие6стоятельно.
Следует отметить, что упражнения и задачи, предназначенные для самостоятельного решения, разнообразны не только потематикеисодержанию,ноипостепенитрудности-отпростых,иллюстрирующих те или иные разделы курса, до довольно сложных,требующих от читателя определенной настойчивости, а иногда и некоторой изобретательности.
Большой набор упражнений и задач и ихразнообразие позволит использовать сборник во втузах и университетах с различными программами по математике. Авторы надеются,что преподаватели найдут в сборнике материал, который смогут использоватьналекциях,семинарскихзанятиях,консультациях,присоставлении заданий для самостоятельной работы студентов, при составлении контрольных работ, на экзаменах.ГЛАВА1ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 1.Различные типы множеств в n-мерном пространствеСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Rn •ПространстваМножество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборыобозначаютnRnВ множестве.nдействительных чисел,можно ввести понятие расстоянияRмежду любыми двумя его элементами.
Расстояние между элементамиХ==(Xi; Х2; ... ; Х n )ИXi,Yi Е R,iУ==(Yi; У2; ... ; Уn),== 1,2, ... ,n,обозначим р(х; У) и определим формулойnр(х; У)==(1)L(Xi - Yi)2.i=lМножествоnстранством Rnс введенным в нем расстоянием называют nроnчисло n - размеР1-l0стью пространства R . ЭлементR,nn(Xi; Х2; ... ; Х n ) множества R называют тОЧffОЙ пространства R ,число Xi, i == 1,2, ... , n, i-й ffоордU1-lатой этой точки. Точки Х ==== (О; О; ... ; Xi; ... ; О) n-мерного пространства Rn образуют i-ю ffOOpau-Х==1-lат1-lУЮ ось пространства. Точку О==(О; О;... ; О)называют 1-lачаломffOOpaU1-lаm.Для точек Хформула(1)==(Xi) и Уимеет вид==(Yi) одномерного пространства Rр(х;у)1==IXi -(R)Yil,поэтому пространство R1 представляет собой множество действительных чисел, расстояние между которыми измеряется обычнымобразом, т.
е. R 1 - числовая прямая. Пространства R 2 и R 3 - этосоответственно плоскость и обычное трехмерное пространство, которые изучаются в элементарной и в аналитической геометрии. Дляэлементов множестваRnможно ввести понятия суммы элементов ипроизведения элемента на действительное число: еслиХто==(Хl; Х2; ... ; Х n ),У==(Yi; У2; ... ; Уn),л Е R,8Гл.1.Дифференциальное исчисление функций нескольких nере.менныхnКак известно из линейной алгебры, множество R , в которомформулами (2) определены сумма и произведение на действительноеBeffmopHblM nространством.
Точку Х ==== (Xi; Х2; ... ; Х n ) пространства Rn в этом случае называют BeffmopoMи обозначают иногда х, числа Xi, i == 1,2, ... , n, называют его ffоордичисло, является линейнымнатами в базисеeiВектор (О; О;... ; О)== (1; О; ... ; О), ... ,==еn(О; О;... ; 1).называют нулевым.nВ линейном векторном пространстве R можно ввести скалярноепроизведение (х, у), поставив в соответствие каждым двум векторамх== (Xi; Х2; ... ; Х n )И У==(Уl; У2;... ; Уn) числоn(х, у) ==L(3)XiYi·i=lnЛинейное векторное пространство R , для векторов которого формулой (3) определено скалярное произведение, называют n-мернымевffлидовым nространством. Число J(x, х) называют длиной Beffmo-Ixl.ра х и обозначаютВекторы х и у называют ортогональными,если (х, у) == о.
Если х и у ненулевые векторы, то углом междуними называют угол ер Е [О; п] такой, что(х,у)cos ер == Ixllyl .2.Различные типы множеств в пространствеnточка а == (аl;а2, ... ;а n ) Е R , 6 > о. Множество== (Хl; Х2, ... ; Х n ) пространства Rn , для которыхIXi -ail < 6,6 -ОffрестностьюОдномерный ffуб двумерный ffуб -26==(5)точки а в пространствеэто интервал длиныRn, 6 >всех точек Хи с центром в точке а илиэто ffBaapam со сторонойПусть точка а ЕПусть== 1,2, ...
, n,iназывают n-мерным ffубом с ребромffубичеСffОЙRn •26 с26 и сRn .центром в точке а,центром в точке а.о. Множество всех точек Х пространства Rn, для которых р(х; а) < 6, называют n-мерным шаром радиуса 6nс центром в точке а или 6 - Оffрестностью точки а в пространстве Rи обозначают Un(а; 6). Таким образом,U (а;6)n==n{Х Е R:р(х;а)< 6}.(6)Одномерный шарu (а; 6)1== {Х Е R: Ix - al < 6}представляет собой интервал длины26с центром в точке а ЕR;мерный шарu 2 (а; 6) == {Х Е R2: J(Xl - аl)2+ (Х2является ffругом радиуса 6 с центром в точке а- а2)2 < 6}== (аl; а2) Е R2.дву§ 1.Различные типы ,Множеств в n -,Мерно,М пространствеМножество Е сRn9называют ограниченным, если существуетn-мерный шар, содержащий это множество. Пусть каждому натуральному числу m поставлена в соответствие точка х(т) пространстваRn .Упорядоченное множество точек(1)(2)(т)Х, ...
,,х, ...хназывают последовательностью точеff пространстваRnи обозначают х(т), m Е N, или {х(т)}. Последовательность {y(k)} назы-вают подпоследовательностью последовательности {х(т)}, если существует такая строго возрастающая последовательность mk ЕчтоN,k Е N. Последовательность {х(т)} называют ограниченной, если множество точек х(т), m Е N, ограниченно.Точку а Е Rn называют пределом последовательности {х( т) }, если р( х( т) ; а) ---+ о при m ---+ 00. В этом случае пишутX(m k )==y(k),lim х(т)а==т---+оои говорят, что последовательность х(т) сходится К точке а.
Последовательность, которая сходится к некоторой точке, называют сходящеЙся. Если последовательность не является сходящейся, ее называют расходящеЙся.Последовательность х(т) Е Rn сходится к точке а тогда и толькотогда, когда для любого двсех m> mб>О существует число mб такое, что дляверно включение х(т) Е Un(а; д).т е о р е м а (Больцано-ВеЙерштрасса).
Из любой ограниченной последовательности точеff пространстваRn можно выделить сходящуюся подпоследовательность.Последовательность{х(т)}точек пространстваназываютRnстремящейся ff беСffонечности и пишутlim х(т)==т---+ооесли р(х(т); О)00,---+ +00 при m ---+ 00, где О - начало координат.nТочку множества Е с Rназывают внутренней тОЧffОЙ этогоnnмножества в R , если в R существует д -окрестность этой точки,содержащаяся в множестве Е. Другими словами, если хняя точка множества Е Еun(х; д) с Е.Rn,-внутренто существует шар un(х; д) такой, чтоМножество, каждая точка которого является его внутренней точnnкой в R , называют omffPblmblM в R множеством.nПространство R и пустое множество g являются открытымимножествами.Любое открытое вRnмножество, содержащее некоторую точку,называют Оffрестностью этой точки в пространствеRn .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
