1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В частности,всякая д -окрестность точки является окрестностью этой точки.Точку х ЕRnназывают тОЧffОЙ nРИffосновения множества Е ЕRn ,если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку10Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхмножества Е.Точку х Е Е сесли существуетR n называют изолированной тОЧJliОЙ множества Е,окрестностьточких,не содержащаяникакихдругих точек множества Е, кроме самой точки х.nТочку х Еназывают предельной тОЧJliОЙ множества Е, еслиRлюбая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку множества Е, отличную от точки х.Точку х ЕR n называют граничной тОЧJliОЙ множества Е с R n , если любая ее окрестность содержит точку, при надлежащую множеству Е, и точку, не при надлежащую множеству Е.Множество всехграничных точек множества Е называют его границей и обозначают дЕ.Множество называют заМJliнутым, если оно содержит все свои точкиприкосновения.Множество всех точек прикосновени~множества Е называют заМЫJliанием множества Е и обозначают Е.Множество всех предельных точек множества Е называют егоnроизводным множеством и обозначают Е(l).
Множество Е называют совершенным, если Е(l) == Е. Множество всех предельных точекмножества Е(l) называют вторым nроизводным множеством множества Е и обозначают Е(2). По индукции определяют производное множество nорядJliа n и обозначают Е(n).Расстояниеранствеndмежду непустыми множествами Е 1 и Е2 В простопределяется формулойRd== d (Е 1 ; Е2 ) == infр (х; у ) .хЕЕ 1уЕЕ 2В частности, для расстоянияnмножеством Е с R получаемdДиаметромD(E)dмежду точкой х Е== d(x; Е) == infуЕЕмножества Е сRnинепустымр(х; у).Rnназываютsup р(х; х').х,Х'ЕЕМножество Г точек х==Rn таких,(хl; Х2; ...
; х n ) пространствачтох1==Х 1 ( t ),х2==Х 2 ( t ),... , х n == Х n (t ) ,tЕ [а;jJ] ,(1О)где функции Xi(t), i == 1,2, ... , n, непрерывны на отрезке [а; jJ], назыnвают непрерывной JliРИВОЙ в пространстве R . Уравнения (10) называют nараметричеСJliИМИ уравнениями кривой Г, аргументtпараметром.Если уравненияХl==аl(10) линейны, т. е.+ b1t,Х2==а2+ b2t, ... ,хn==аn+ bnt,называютРазличные типы множеств в§ 1.n-мерном пространстве11nпричемLЬ;> О, то Г называют прямой в пространстве Rn , еслиi=ltR, и отреЗJliОМ в пространстве Rn , если t Е [а;;3].ЕМножество Е снепрерывнойRn ,кривой,любые две точки которого можно соединитьпри надлежащей этомумножеству,называютлинейно связным. Множество, состоящее из одной точки, также считают линейно связным.nRn ,Множество Е с R называют областью в пространствеnЕ - открытое в R линейно связное множество.
Если Е -еслиобласть,то ее замыкание Е называют заМJliнутой областью.RnМножества Е 1 Содно из нихи Е2 СRnназывают отделимыми, если нине содержит точек прикосновения другого.RnМножество Е сназывают связным, если оно не может бытьпредставлено в виде объединения двух отделимых множеств. Множество Е сRn ,любые две точки которого можно соединить отрезком, принадлежащим этому множеству, называют вЫnУJliЛЫМ. Множество,содержащеетолькооднуточку,такжесчитаютвыпуклым.Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих множество Е ссRn ,называют вЫnУJliЛОЙ оБОЛОЧJliОЙ множества Е.ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПример1.
В пространстве R дано множество Е== (0;1]U{2}.Указать внутренние точки множества Е в пространствежеточкиприкосновения,изолированные,предельныеиR,а такграничныеточки множества Е.А Внутренними точками являются все точки интервала (О; 1),точками прикосновения все точки отрезка [О; 1] и точка х == 2.Множество Е имеет одну изолированную точку хточками являются все точки отрезках==О, х== 1,х== 2.[О;1],== 2.Предельнымиграничными-точкиАПри м е р 2.
Найти расстояние между прямыми Г 1 С R4 И Г 2 С4С R , заданными параметрическими уравнениямихl== 1 + 2t,хl==Х2== -2t,и1,Х2== t,хзхз== 2 + 2t,== 1 + 2t,Х4== t,Х4t== 2tЕR.Указать точки х О Е Г 1 И уО Е Г 2 такие, чтор(х О ; уО)== d(r 1; Г 2 ).А Найдем расстояние между двумя произвольными точками данных прямых:р(х;у)== v4t2 + (2t + т)2 + (1 + 2t - 2т)2 + (2t - т)2 ==== V16t 2 - 8tT + 6т 2 + 4t - 4т + 1.12Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхПреобразовав подкоренное выражение, получим+ 1/2)2 + 5т 2р(х;у) == v(4t - т=Следовательно,3т-V(4t -+ 3/4 ==т + 1/2)2 + (JБт - 3/(2JБ))2 + 3/10.d(r 1; Г 2 ) == inf р(х; у) == V3/10.хЕГ 1уЕГ 2Решив систему4t - т + 1/2 == О,{ JБт - 3/(2JБ) == о,найдемt == -1/20,т== 3/10, и, следовательно,х О == (9/10; -1/10; 19/10; 1/10),уО == (1; 3/10; 8/5; 3/10). АЗАДАЧИва1.
Доказать, что расстояние р(х;у) между точками пространстRn , определенное формулой (1), обладает свойствами:1) р(х; у) ~ О, причем р(х; у) == о тогда и только тогда, когда х == у;2) р(х;у) == р(у;х) для любых х,у Е R n ;3) р(х; z) ~ р(х; у) + р(у; z) для любых х, у, z Е Rn (неравенствоmреугОЛЬНUJliа) .2.Доказать, что скалярное произведение в евклидовом пространRn , определенное формулой (3), обладает свойствами (х, У, z Е, л Е R):1) (х, х) ~ О, причем (х, х) == О тогда и только тогда, когда х -ствеnЕ Rнулевой вектор;2)3)4)ве(х,у)== (у,х);(лх, лу) == л(х, У);(х + У, z) == (х, z) + (у, z).3.
Доказать:1) для длины вектораRn верна формулах== (хl; Х2 ... ; х n ) В евклидовом пространстIxl=J~X7;2) для скалярного произведения векторов х, У Е Rn справедливонеравенствоI(x, y)1~Ixl ·lyl·4. Найти л Е R, при котором векторы а и а + лЬ ортогональны:1) а==(1·2·1·3), , " Ь==(4·1·1·1)·, , , ,2) а==(1;2;3; ... ;n), Ь==(n;n-1;n-2; ... ;1), n>1.§ 1.5.Различные типы множеств вn-мерном пространстве13В n-мерном евклидовом пространстве дан куб с ребром а.Найти:1) длину dn диагонали куба; 2) lim dn;n---+оо3) угол ерn между диагональю куба и его k-мерной гранью, k4) lim ерn; 5) число вершин куба;< n;n---+оо6) число диагоналей куба, ортогональных данной диагонали.6.
Пусть a==(al;a2; ... ;a n )ER n и lSi>O, i==1,2, ... ,n. Множествоnвсех точек Х == (Хl; Х2; ... ; Х n ) пространства R , для которыхIXi - ail < lSi, i == 1,2, ... ,n,называют n -мерным прямоугольным nараллелеnиnедом с ребрами 2lSiис центром в точкеа.Доказать, что:1) для любого n-мерного шара с центром в точке а существуетn-мерный прямоугольный параллелепипед с центром в точке а, содержащийся в шаре, и, наоборот, для любого n-мерного прямоугольногопараллелепипеда с центром в точкеа существуетn-мерный шар сцентром в точке а, содержащийся в параллелепипеде;2) квадрат диагонали n-мерного прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины(обобщение теоремы Пифагора).7.
Доказать, что для сходимости последовательности== (x~т);x~т); ... ;x~т)) Е Rn к точке а == (аl;а2; ... ;а n ) Е Rnдимо И достаточно, чтобы Нm x~т) == ai, i == 1,2, ... , n.т---+оо8. Найтинеобхо-1,lim х(т), если:т---+оо+ 1 - Гm; m mc-~т ;(-1)т);( Vffi2)х(т)3)х(т)== ( cos <рn<рnследовательность; б)ерn1: О;;Sln<рn),12т2 - 1 (;т2где: а) ерn;;бесконечно большая по--<рnерn -бесконечно малая последовательность,4) х(т)==(т т cos тер; т т sin тер), т, ер Е R;х(т)=(т( ~cos:5)1 ) т)1+ m-1); m~sin:),r,'P Е R, r > О.9.
Последовательность х(т) Е R n называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого Е>такое натуральное числои любогочто для любого т ~верно неравенство р(х(т); x(k))Е.N,<NО существуетk~NДоказать, что для сходимости последовательности точек пространстваRn необходимо и достаточно, чтобы последовательность бы-14Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхла фундаментальной.10. Доказать, что если последовательность {Х(т)} точек простnранства R стремится к бесконечности, то:1) р(х(т); а) -+ +00 при m -+ 00, где а - любая фиксированнаяnточка пространства R ;2 ) может неlim x~т) == 00.(т)существовать координата X i,1./·./:::::::: ~ :::::::: n,такая, чтот---+оов11. Доказать, что следующие множестваRn :1) произвольный n-мерный шар;2) произвольный n-мерный куб;являются открытымипроизвольный n-мерный прямоугольный параллелепипед (см.3)задачу6);внешность4)l)-мерной сферы радиуса д с центром в точ(n -ке а, т.
е. множество Е==R n : р(х; а) > д}.nв R , n > 1, множество{Х Е12 . .является ли открытымкругаE=={XER13.Пустьf(x),n:Х Евсех точекхi+х~<д2, Xi==O, i==3, ... ,n}?непрерывная функция, УаR, --произвольное фиксированное число. Доказать, что множество решений неf(x) > Уа является открытым в R.14. Пусть G i , i Е N, - произвольные открытыеравенстваДоказать, что в15.R n множестваRnмножества.00UGi иG i являются открытыми.i=li=lПостроить последовательность открытых множеств, пересе-чение которых16.nmвне является открытым.Доказать, что для того, чтобы точка а Екосновения множества Е сRn,Rnбыла точкой принеобходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность точек Х(т) Е Е, сходящаяся к а.17. Найти все точки прикосновения множества Е == {Х Е R 2 : Х2 ==== sin(l/Xl)}'18.не принадлежащие Е.Построить множество, все точки которого изолированные, амножество его предельных точек непустое.19.Доказать, что множество изолированных точек произвольногомножества не более чем счетно.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
