1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Выяснить, является ли множество Е в пространстве R З областью:1) Е == {xi + x~ < 1, хз == О}; 2) Е == {xi + 2x~ + 3x~ < 4};3) Е == {xi + x~ - x~ < 1}; 4) Е == {xi + x~ + 1 < x~};5) Е == {xi +x~ > хз}; 6) Е == {xi +x~ < x~};7) Е == {xi - x~ < хз}; 8) Е == {xi + x~ < 1};9) Е == {ХIХ2 > 1};10) Е == {x~ - ХIХ2 - ХIХЗ + Х2ХЗ > хl - Х2}.75. Доказать, что любые две точки произвольной области можносоединить ломаной линией с конечным числом звеньев, целиком ейпринадлежащей.76.Выяснить, какие из множеств, заданных в задачахявляются выпуклыми.2*73и74,20Гл.77.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхНайти выпуклую оболочку множества Е:1) Е ~ {(О;О), (О; 1)};2) Е ~ {(О;О), (О; 1), (1;0)};3) Е ~ {х Е R 2 : xi ~ x~};4) Е ~ {х Е R 2 : xi + x~ + 2Хl + 1 ~ О};25) Е ~ {х Е R : xi + 4x~ ~ 4};6) Е ~ {х Е R2 : xi - 4x~ ~ 4};7) E~ RU{(O;l)};8) Е ~ {х Е R 3 : xi + x~ + x~ > 1};9) Е - множество в пространстве R n ,состоящее из точек (О; О;......
;0), (1;0; ... ;0), (О; 1; ... ;0), ... , (0;0; ... ; 1).78.Доказать, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством.~79. Сu,МnлеJliСО,М в пространстве Rn с вершинами1,2, ... , n + 1 называют множество точекn+ln+lх ~ LQiai,Qi~ О,i=lДоказать, что симплексвв точках ~ ~LQi ~ 1.i=l-выпуклое множество.80.
Доказать, что выпуклаяRn множества открыта в Rn .81. Доказать, что выпуклаяоболочка произвольного открытогооболочка произвольного замкнутогоограниченного множества замкнута.82. Построить в пространстве R2 замкнутое множество, выпуклая оболочка которого не замкнута.83.Доказать, что замыкание выпуклой оболочки произвольногоограниченного множества совпадает с выпуклой оболочкой его замыкания.ОТВЕТЫ4.5.6)8.3)4)1) -3/2; 2) -(2n + 1) /(n + 2).1) аvn; 2) +00; 3) arccos Jk/n; 4) 7г /2; 5) 2n ;О, если n ~ 2k - 1, с;;;! 1 , если n ~ 2k.1) (О; 1; 2; е); 2) предел не существует;а) (О; О), б) предел не существует;Irl(О; О), если< 1, (1; О), еслиных случаях предел не существует;12.
Только в пространстве R2 .17. х ~ (О, Х2), Х2 Е [-1; 1].20. 1) Неверно; 2) неверно.r ~ 1, ер ~ 2Jrk, k5) (1п т; ер).ЕZ, в осталь-§ 1.21.Различные типы множеств вn-мерном пространстве21Таким множеством, например, является числовая последоваmтельность х(т)=L ~.k=l23. n ~ 4.33. 1) Да;2) нет, есливательность34.последовательность дk ограничена; да, если последоне ограничена.Нет, если последовательность дk ограничена; да, если после-довательность дk не ограничена.39.
4)5)ЕЕЕпроизвольное множество;произвольное множество;-Езамкнутое множество.==U Р, где Р - множество точек, расположенных напараллели, удаленной от Северного полюса на 7 км (Р ct- Е); Е(l) ==== Е \ Ро , где РО - точка Южного полюса.46.Еоткрытое множество;замкнутое множество;-6) Е -7)8)-52. о.Е55. Vn - k.56. 1) 7V2/8; 2) 4/vТЗ; 3) 1/у'6.58. J162/55, х== (89/55; 131/55; -42/55),у == (8/55; 86/55; -24/55).59. J(n - 2)/(2n), х == (1/n; 1/n; 1/n; ... ; 1/n),у == (1/2; 1/2; о; ... ; о).V2f3;61. 1)2) +00; 3) 1 + V2; 4) (2/n)V4 + 7Г 2 .62. 1) 2V2; 2) о; 3) +00; 4) +00.
63. ayГn. 72. 1) Да; 2) нет.73. 1) а) Да, б) да, в) да, г) да; 2) а) да, б) да, в) нет, г) нет;3) а) нет, б) нет, в) да, г) нет; 4) а) да, б) да, в) нет, г) нет;5) а) нет, б) нет, в) да, г) нет; 6) а) да, б) да, в) нет, г) нет;7) а) да, б) да, в) да, г) да; 8) а) нет, б) нет, в) нет, г) нет;9) а) нет, б) нет, в) да, г) нет; 10) а) да, б) да, в) да, г) да;11) а) да, б) нет, в) нет, г) нет; 12) а) нет, б) нет, в) да, г) нет.74. 1) Нет; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) нет; 7) да; 8) да;9) нет; 10) нет.76.4) из задачи 73 и 1), 2),8) из задачи 74.77.
1) Отрезок с концами в точках, образующих множество Е;2) замкнутый треугольник с вершинами в точках, образующихмножество Е;3) R ; 4) (-1; о); 5) {х Е R : xi + 4x~ ~ 4}; 6) R ;7) объединение полосы О ~ Х2 < 1 и точки (о; 1); 8) R3 ;9) симплекс (см. задачу 79) с вершинами в точках, образующих2множество2F.222Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхФункции нескольких переменных.
Предел§ 2.и непрерывность функций нескольких переменных.ОтображенияСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Функцииnпеременных. Пусть дано множество Е спусть каждой точке х Е Е поставлено в соответствие числоRn , иu Е R;тогда говорят, что на множестве Е определена числовая функция.Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторойJ,буквой, напримери пишутхЕЕ,u==J(x),или, подробнее,uМножествокух-J(Xl;X2; ... ;х n ),==Еназывают(Хl;Х2; ... ;х n ) Е Е.областьюопределения функции,точаргументом или независимой переменной, ее координатыХl, Х2, ... , х n независимыми nеременными, функцию u == J (хl ; Х2; ...... ; х n ) - фУНJliцией n nеременных.
Если n > 1, то функцию называюттакже фУНJliцией неСJliОЛЬJliИХ nеременных. Число ио, соответствующеезначению аргумента х О == (x~; xg; ... ; x~), называют значением фУНJIiции в тОЧJliе ХО и обозначают J(x O) или J(x~; xg; ... ; x~).Функцию J (хl ; Х2; ... ; х n ), которая может быть задана с помощьюконечного числа арифметических операций и композиций элементарных функций одного переменного (см.... ,х n ,ных Хl,Х2,[1, § 7,называют элементарнойп.от перемен2])функцией nпеременных.Под фУНJliцией, заданной формулой, понимают функцию, областьюопределения которой являются все значения аргумента, для которыхэта формула имеет смысл, и результатом каждой операции, указанной в формуле, является действительное число.Независимые переменные функции двух переменных обычно обозначают буквами х и у, а трех переменных-х, у иz.ГрафИJliОМ функции двух переменныхu== J (х; у ) ,( х; у) Е Е с Rназывают множество всех точекранства R32(x;y;J(x;y)),(х;у) Е Е,прост.Например, из курса аналитической геометрии известно, что графиком функции u==4х 2+ у2,(х; у) Е R 2, является эллиптическийпараболоид.Аналогично можно определить понятие графика функции трех иболее переменных.Если область определения функции двух переменныхсостоиттолькоизтехральными числами хточек,== т,укоординаты== n,т,nЕN,которыхu == J(x;y)являютсято функциюuнатуназываютФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных.
Предел. Отображения§ 2.23двойной последовательностью. Значение функции в точке (т; n) называют членом последовательности и обозначают ит,n, а саму последовательность обозначают {ит,n}.nУровнем (с- уровнем, с Е R) функции(х), х Е Е с Rют множество точек х Е Е, удовлетворяющих уравнениюf,называf(x) == с.Уровни функции двух переменных часто называют линиями уровня,-уровни функции трех переменныхповерхностями уровня.fnФункцию(х), определенную в области G С Rродной степени Q в области G, если для любых х Ечто АХ Еназывают одноG и А Е R таких,,верно равенствоG,f (АХ) ==А а f (х ) .( 1)Если при тех же предположениях имеет место равенствоf (АХ) ==IА Iа f (х ) ,(2)то функцию называют положительно однородной степени а.Например, функцияf(x) ==Ixl,х, х Еявляется однородной степеR,ни 1; функция f(x) ==х Е R, положительно однородной степени 1; функция, заданная формулой f(x;y) == у/х, - однородной иположительно однородной степени о.Функцию называют ЛОJliально однородной степени Q в областиеслионаявляетсяоднороднойфункциейокрестности каждой точки областиG.степениQвG,некоторойИз локальной однородностифункции в области не следует ее однородность в этой области (см.задачу2.36).Предел функции.Первое определение предела функции (определениеГейне).
Пусть область определения функцииf(x)содержит окрестnность un(х ) точки х Е R , кроме, быть может, самой точки хО.Число а называют пределом ФУНJliЦИИ f (х) в тОЧJliе х О , если длялюбой последовательности точек х(т) Е Un(х О ), х(т) i: х О , сходящейся к хО, числовая последовательность f(x(m)) сходится к а.оОДля того чтобы доказать, что функцияf (х)не имеет предела вточке х , достаточно указать две последовательности точек: х(т) ЕОЕ un(х о ) и у(т) Е un(х о ), х(т)такие, чтоlim f(x(m))m ---+ 00i:i:х О , у(т)i:х О , сходящиеся к х О ,lim f(y(m)).m ---+ 00Второе определение предела функции (определениеК о ш и).
Число а называют пределом ФУНJliЦИИесли для каждого числа Е>Оnв тОЧJliе Х О Е Rсуществует такое число бвсех х, удовлетворяющих условию Оравенствоf (х)If(x) -< р(х; хО) < б,> О,,что длявыполняется не-al < Е.Определения Коши и Гейне равносильны.Если число а является пределом функцииf (х)в точке х О , тоГл.241.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхпишутlim f(x)x---+х О==аилиlimp(x;xO)---+Оf(x) ==а.(3)Понятие предела функции в точке обобщается на тот случай, когдафункция рассматривается не на всей окрестности точки, а только нанекотором ее подмножестве.О преДелен иецииf (х),Г е й н е.х Е Е с RnЧислоаназываютпределомФУНJIiпо множеству Х С Е в тОЧJliе х , являюО,щейся предельной точкой множества Х, если для любой последовательности точек х(т) Е Х, х(т) 1: х О , сходящейся к х О , числоваяпоследовательность f(x(m)) сходится к а.f (х),Для того чтобы доказать, что функциях Е Е сRn ,не имеетпредела по множеству Х в точке х , достаточно указать две последовательности х(т) Е Х и у(т) Е Х, х(т) 1: х О , у(т) 1: х О , сходящиесяк точке х О , такие, чтоОlimm ---+ 00о преДелен иеf (х),х Е Ес Rчисла Е>Оnf (х (m )) 1:К о ш и.limm ---+ 00Числоаf (у (m ) ) .называютпределом ФУНJliЦUUпо множеству Х С Е в тОЧJliе х , если для каждогоО,существует такое число б> О,что для всех х Е Х, удов< р(х; хО) < б, выполняется неравенствоIf(x) - al < Е.nявляется пределом функции f (х), х Е Е с R ,летворяющих условию ОЕсли число амножеству Х С Е в точке х О , то пишутf (х) ==limx---+х Оа.по(4 )хЕЕВ тех случаях, когда из контекста бывает ясно, по какому множеству берется предел, указание х С Х часто опускают и пишутf (х) ==limx---+х Оа.Если множество Х содержит окрестность точки х О , кроме, бытьможет, самой точки х О , то предел функции f (х) по множеству Х вточке х О совпадает с обычным пределом функции f(x) в этой точке.Если множество Х состоит из точек некоторой непрерывной кривой Г (§1, (10)), проходящей через точку хО, тоlim f(x) называютx---+х ОхЕХпределом ФУНJliЦUUf (х ),== f(x;y)Предел функции uобычно обозначаютх Е Е с R1·1тf(х; уn,по Jliрuвой Г в тОЧJliе х О •двух переменных в точке)илих---+хоlimи.х---+хоУ---+УоУ---+УоАналогично случаю функций одного переменного (см.
[1,nдля функций нескольких переменных f(x), х Е R , n>понятия предела функции при х(хо;уо)---+§ 9, п. 3, 4])1, вводятся00 и бесконечного предела.§ 2.ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных. Предел. Отображения25Для функций нескольких переменных справедливы теоремы о пределе суммы (разности), произведения и частного функций, аналогичные соответствующим теоремам для функций одного переменного(см.[1, § 9, п. 2]).Для функций n>1переменных можно рассматриватьn!так называемых повторных пределов. В частности, в случае функции двухпеременныхu == f(x;у) можно рассматривать два повторных пределав точке (хо; УО)f (х; у ) )lim ( limх---+хоУ---+Уоu ==Например, для функцииlim (lim х - У)х---+Оу---+О Хlim ( limУ---+Уо(х==+уи- y)j(xи1х---+хо+ у)f (х; у ) ) .имеемlim (lim Ху---+Ох---+О ХУ) == -1.-+уОтсюда следует, что изменять порядок следования предельных переходов по разным переменным, вообще говоря, нельзя.Связь предела функции в точке с ее повторными пределами в тойже точке иллюстрируют задачи3.Непрерывностьи37-39.равномернаянепрерывность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
