1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Функnцию f(x), определенную в окрестности точки х О Е Rнепрерывной в тОЧffе х О , еслиlimх---+хтеоремазамкнутом-f (х) == f (хОназывают)•К а н т о р а. Функция, непрерывная на ограниченноммножестве,Пусть бо,равномернонепрерывнанаэтоммножестве.произвольное положительное число. Модулем непрерывности функцииf (х),w(б;f;х Е Е сХ)==R n , на множестве х С Е называютsup(f(x) - f(x')).р(х;х')<бх,х'ЕХв тех случаях, когда ясно, о каком множестве Х и о какой функцииидет речь, модуль непрерывности w(б;f;fХ) обозначают w(б).Значение модуля непрерывности w(б; f; Х) функции f(x), х Е Е сnдиаметр множества Х С Е, называютс R , при б == D, где D колебанием функции f на множестве Х и обозначают w(f; Х). Изэтого определения следует,чтоw(f;X) == sup (f(x) - f(x')).(7)х,Х'ЕХnЕсли функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х О Е R , то функции cf(x) (с - постоянная), f(x)f(x), f(x)· g(x), а если g(x O)+-# о, то и ~i: ~ также непрерывны в точке х О •Функциюf (х)называют непрерывной в областинепрерывна в каждой точке областиG.1:GСRn , если онаГл.26Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных1.nПусть функция f(x) определена в окрестности точки х О Е R ,кроме, быть может, самой точки х О • Точку х О называют тОЧffОЙ разрыва функции f(x) в следующих случаях:1) функция f(x) не определена в точке хО;2) функция f(x) определена в точке хО, но:а) lim f(x) не существует;X----tХ Об)lim f(x) существует, но не равен f(x O ).X----tХ ОЕсли limX----tХилиf (х)О1:lim f(x)X----tХ Осуществует, но илиf (х)не определена в точке х О ,f(x O ), то точку х О называют точкой устранимогоразрыва.Понятие непрерывности функции в точке обобщается на тот случай, когда функция рассматривается не на всей окрестности точки,а только на некотором ее подмножестве.Функциюf (х),определенную на множестве Е снепрерывной по множеству х С Е в тОЧffе хlimX----tХОf (х) == f (хОRn ,называютЕ Е, еслиО)•хЕХВ случае, когда Х==Е, говорят о непрерывности в тОЧffе по множеству (области) определения ФУНffЦИИ.Например, функция двух переменныхf(x;у)= {у sin~~/x),еслиеслих2х2+ у2 1: О,+ у2 == О,не является непрерывной в точке (О; О), так как не определена в ееокрестности, но она является в этой точке непрерывной по множествуопределения функции.Непрерывной по множеству Е в тОЧffе х О считается функnция f (х), х Е Е с R , если х О - изолированная точка множества Е.Всякая элементарная функцияnпеременных (см.
п.на в каждой точке, в которой она определена.nФункцию(х), х Е Е с R , называют непрерывнойf1)непрерывна множестве Х С Е, если она непрерывна по множеству Х в каждой его точке.Функциюf (х ),х Е Е сRn ,называют равномерно непрерывной намножестве Х С Е, если для каждого числа Е> О, что< б, верно>Осуществует такоечисло бдля любых х, х' Е Х, удовлетворяющих условиюр(х; х')неравенствоIf(x) - f(x') I < Е.Отображения.
Пусть дано множество Е сдой точке х Е Е поставлена в соответствие точка4.R n , и пусть кажu Е R m ; тогда говорят, что на множестве Е определено отображение или функция созначениями в пространствеRm.§ 2.ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных. Предел. Отображения27Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторойf,буквой, напримери пишутf: E-+R m , EcR n ,m == 1,в частном случает.
е. когда u Еет собой числовую функциюотображенияu==f(x), XEECR n , uER m .илиnR,отображениеf(8)представляпеременных. В общем случае заданиеu == f(x),равносильно заданиюmфункцийui == fi(X1;Функции(9)Х2;nпеременных... ; х n ),i== 1,2, ... , т.(10)называют Jliоординатными ФУНJliЦИЯМИ отображе(10)ния f и пишут f == f(f1; f2; ... ; fm). Если при отображении f точnmке х Е R ставится в соответствие точка u Е R , то точку и называют образом тОЧJliИ х при отображенииfили значением функцииfвточке х. Множество всех образов при отображении f(x), х Е Е, назыmвают образом множества Е и обозначают f(E).
Если точка u Е Rnявляется значением функции f, то множество всех точек х Е Е с Rтаких, чтоf-1f(x) ==(и). Черезf-1и, называют прообразом тОЧJliИ u и обозначают(И) обозначают объединение множеств всех прообразов точек множества И СОтображениеf (х),х Е Еf(E).nс R ,называют непрерывным в тОЧJliех(О) Е Е, если для каждого числа Е > О существует такое число бчто для всех точек х Е Е, удовлетворяющих условию р(х; х(О))верно неравенство р(! (х); f (х(О))) < Е.Отображениеf (х),х Е Е сRn ,> О,< б,называют непрерывным на множестве Х С Е, если оно непрерывно в каждой точке множества х.Отображениеf (х),х Е Е сRn ,называют равномерно непрерывным на множестве Х С Е, если для каждого числа Етакое число бвию р(х; х')> О,< б,Отображение>Осуществуетчто для любых х, х' Е х, удовлетворяющих условерно неравенствоf:Еp(f(x); f(x')) < Е.-+ R m , Е с R n , называютным, если разным точкам множестваЕ(11)взаимно однозначсоответствуют при этомmотображении разные точки пространства R , т.
е. если из равенства f(x) == f(x') для х,х' Е Е следует равенство х == х'. В этом случае говорят, что множество Е взаимно однозначно отображается намножествоf(E).Если Е взаимно однозначно отображается наf(E),то на множествеf(E) существует однозначное отображение (обратная ФУНJliЦИЯ) f-1: f(E) -+ Е, при котором каждой точке u Е f(E)ставится в соответствие точка х Е Е такая, что f(x) == и.mnЕсли отображение f: Е -+ R , Е с R , взаимно однозначно инепрерывно на множестве Е, а обратное отображениено на множествеf(E),или гомеоморфизмом.тоff- 1непрерывназывают гомеоморфным отображением28Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхЕсли для множеств Е сRnи Е1 СRmсуществует гомеоморфизм,отображающий Е на Е 1 , то множества Е и Е 1 называют гомеоморфными.ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.
Найти область определенияданной формулой u == J(2y)/(x 2 + у2 - 1).и с-уровни функции, заА Функция определена в тех и только в тех точках (х; у) плоскости,координатыкоторых удовлетворяют неравенству(2у)/(х 2Это+ у2- 1) ~ о.неравенство равносильно совокупностиу ~ О,2+ у2{х{у ~ О,х 2 + у2>1 исистемнеравенств< 1.Первой системе неравенств удовлетворяют координаты всех точек, расположенных в полуплоскости У ~ О и вне окружности радиуса1с центром в начале координат. Второй системе удовлетворяютвсе точки плоскости, лежащие в полуплоскости У ~ О и внутри окружности радиуса1с центром в начале координат. На рис.область2.1определения функции показана штриховкой.Для нахождения с-уровня функции нужно для любого с Емножество точек плоскости, координатыух,уRнайтикоторых удовлетворя-ют уравнениюJ(2y)/(x 2 + у2 - 1) == с.Если сцииО, то с-уровнем функявляетсяО-уровнемно,<пустоефункциимножествовсехмножество;будет,очевидточекосиза исключением двух точекх,(±1; О),не входящих в область определенияфункции.
В случае с> О,исходное уравнение,получаем2ух- - - ==х + у2 - 12хРис.J1 + 1/с4точек(±1; О)при с>х2-12с+ у22- 2 У == 1,с)2 == 1 + -.1с-уровнемс4функцииО является окружность ра-с центром в точке (О; 1/с 2 ), за исключением двухэтой окружности, не принадлежащих области определения функции. На рис.3/4, 1, 4/3. А2+ (у -Следовательно,2.1диусас2 ,преобразуя2.1построены с-уровни функции при с==О,§ 2.ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных. Предел. ОтображенияПри М е р 2.
Найти limх---+О х+уу---+О>ОА Для любого числа Е22 уХ292 •>Осуществует д(а именно д== Е )такое,что для всех точек (х;у), удовлетворяющих условию Jx 2 +у2отличных отначала координат,х2уIх2+уСледовательно,2 -о ==limх---+О ххх2 у2у---+ОПримерхI+у2+у2IYI~IYI~JX2+y2<E.о. А1f(x;y) == ycosНайти предел функции3.исправедливо неравенство2==2<дв точ-у-хке (О; О) по множеству, на котором функция определена.==А Заметим, что функция не определена в точках прямой ух.Поэтому обычного предела в точке (О; О) не существует.
В то же вре-мя предел по множеству Е== {(х;у) Е R 2: х i- у}, на котором функция определена, существует и равен нулю, что следует из неравенстваIy cos(l/ (у Примерх)) I ~lyl,справедливого для всех точек (х; у) Е Е. А4. Найти предел функции f(x;y)==по прямой Х == at, у == {3t, а 2+ {32 i- О;х2 уу2+хдоказать, что limх---+О усуществует.Ав точке4у---+ОФункция определенавовсехточкахплоскости,х22(0;0)у+хкроме4неточ-ки (О; О). Так какf (at; {3t) ==(если{3 ==каждойf (at; О) ==О, топрямой,(32o?(3t4 2 -+0+atприt-+OО), то предел функции в точке (О; О) попроходящейчерез начало координат,х уравеннулю.2Чтобы доказать, чтоlimх---+О уу---+О2+х4не существует, достаточно ука-зать кривую, проходящую через начало координат, по которой пределфункции в точке (О; О) не равен нулю.
Такой кривой является, например, парабола у == х 2 . В самом деле, f(x; х 2 ) == 1/2, и, следовательно,предел функции в точке (О; О) по параболе у == х 2 равен 1/2. АЗАДАЧИ1.Найти функциюпериметр, у -2.1)-== f(x;y),еслиs -площадь ромба, хсумма длин его диагоналей. ВычислитьНайти функциюконуса, хsv == f(x;у), еслиv -2)егоf(l; 2).объем прямого круговогодлина его образующей, а у:высота конуса;-длина окружности основания.30Гл.3.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхv == f(x;Найти функциюконуса, х-у), еслиобъем прямого круговогоv-величина угла между образующей и плоскостью основания конуса, уплощадь сечения конуса плоскостью, параллельной-основанию и проходящей через центр вписанного в конус шара.4.s == f(x;Найти функциютрапеции,х,уу;еслиz),z -длины оснований,-трапеции.
Вычислить: а)у;длина боковой стороныб)f(2; 1; 2);s == f(x; у; z),5. Найти функциюх, у, z длины его сторон.6. Найти функцию Q == f(x;площадь равнобочнойs -f(l; 4; 1).если s - площадьеслиz),треугольника,площадь боковой поQ -верхности правильной шестиугольной усеченной пирамиды, х,z -стороны оснований, а7.i== f (хl ; Х2; хз; Х4),== 1,2,3,4, -8.если v -объем тетраплощади его граней, причем двугранныеуглы, прилегающие к грани с площадьюВычислить-высота пирамиды.Найти функцию vэдра, а Xi,уХl,равны между собой.f(l; 1; 1; 1).Найти области определения функции двух переменных, заданной формулой:1) u==vx+y+vx-y; 2) u==J1-х 2 - у 2;13) u ==; 4) u == ln(x 2 + у2 - 1);Jx 2 + у2-15) u == ln(y2 - 4х7) u ==6) u1== ln(x 2 + 4 у 2 -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
