1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 6
Текст из файла (страница 6)
8) u ==Jx 2 -16(y2+1)'9) u == J1 11) u ==+ 8);Ixl - lyl;lnxlny- х-у!1. 12) uу'13) u == Jloga(2 -15) u == ln (3х10) u+у _х23)-+ у2 -ln (3 -==-.2у+3 '4х·,J~(x~2-+-y~2-a~)~(2-a-x~2-~y2~);х)у!3х - 2у+6Vx - 1 + V"--y------'-l + VX + у - 3 + V42 u == Vу sin х; 18) u == ln х - ln sin у;16) u ==17)Х+ 2 у12 + 2х -5х 2 - 4ху14) u2х - 3);2х-х 2 _ у 2'== V4x 2 - х Зу2);+==хln26х - 7у;19) u=lnsinn(x 2 +y2); 20) u=JXlntg(n:); 21) u=arccosy;22) u == arccos(x9.+ у);23) u== arcsinхх+у;24) u== х У •Является ли множество, на котором определена функция==и(х;у):а) замкнутым, б) открытым, в) линейно связным,г) областью, д) замкнутой областью, е) выпуклым?u==ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных.
Предел. Отображения§ 2.31Функция и(х; у) задана формулой:1) u ==х2122) u;+у-1ln(l - 2х - х 2== YIх sin у;3) u ==- у2) + ln(l + 2х - х 2 _ у2);4) u == arcsin(y / х); 5) u == УГХУ + arcsin х;6) u == arccos(x/y2); 7) u == arccos(2y + 2ух 2 - 1).10. Найти множество значений функции,1) u == х 2 - 2ху + у2 + 2х - 2у - 3;2) u == J2 + х + у - х 2 - 2ху - у2;3) u == ln(4x 2 + 2 у 2 - 4ху + 12х - 12у + 21);4) u == logy х + logx у; 5) u == е 2Ху - е ХУ + 2;6) u == 3 sin(y / х) + 8 sin 2 (у /2х);7) u == 3 sin (х - у) + 6 sin (х + у)8) u == arccos1+х22ху+ 4 cos (х -заданнойу)формулой:+ 8 (х + у);2у .11. Найти множество значений функций u == f(x;y), (х;у)1) и==х-2у-3, Е=={(х;у):х+у==l, x~O, y~O};2) u == х 2 - ху + у2, Е == {(х;у): Ixl + lyl == 1};3) u == х 2 + у2 -12х + 16у + 25, Е == {(х;у): х 2 + у2 == 25};4) u==ln(2x 2 +3 y 2), Е=={(х;у):х+у==2, x~O, y~O};5) и== {Iх 4 +у4, Е=={(х;у):х+у==2}.12.Е Е:Найти области определения функции трех переменных, заданной формулой:1) u == ln(l - х - у - z); 2) u == J1 - Ixl - lyl - Izl;1 1 14) u == -----;:::=====vx + -;vz3) u == -5) u == yl16 -х2J1-x 2 - y 2 - z 2'- Z2; 6) u == V'--(9--y-2-Z-2-)(-у-2-+-z-2-4-);17) u == ln(36 - 36х 2 - 9 у 2 - 4z 2); 8) u == ----;::===.
/ z - х 2 - у29) u == ln(2z 2 - 6х 2 - 3 у 2 - 6);v10) u == Jx 2 + 2 у 2 + 2yz + Z2 - 2у + 1;11) u == J16 - х 2 - у2 - z 2 1n (x 2 + у2 + Z2 - 4);12) u == J2(x 2 + у2 + Z2) - (х 2 + у2 + Z2)2 - 1;+ lnzVy _ 1 + ln(5 - х == УХ + VY + vгz + yl1 -13) и =14) u15) u ==lnxln(z2 - х 2J1 - х 2--у2)у2-. 16)Z2 'у - z);х - уu==+ yl3x + у ln(x 2 + у23z;+ Z2 - 4)J 4 - х2-у2.'32Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхln(4z - Z2 _17) u ==х 2 _ у2). /2y4-z-x18) и = Jz - ху.-у 2 '+ J~1-z--V--x2-+-y-2;. /х219) u == arccos(2 - х 2 - у2 - z2); 20) u == arcsin у+ у21z22arccos(x + у2 + Z2 - 3) + arccos Jx + у2 - 3.21) u ==13.
Доказать,мулой;что областью определения функции, заданной фор-u == arcsin х arcsin(2x+ у) arcsin(3x + 2у + z),является замкнутый параллелепипед, и найти его вершины.14.и(х; у;Являетсялимножество,накоторомопределенафункцияz):а) замкнутым, б) открытым, в) линейно связным, г) областью,д) замкнутой областью, е) выпуклым?Функция1) u ==хu задана формулой:1222; 2) u == vгx+z+у+ УГУ + VГZ;3) u == ln (ху z ) ;4) u == J Z2 - х 2 - у2; 5) у == J Z2 - х 2 - у2 - 1;6) u==ln(z2- x 2- y2+1); 7) u==ln(yln(z-y));х28) u == arccos+ у2z2;9) u == (xy)Z; 10) u == zxy.15.
Найти множество значений функций, заданной формулой:1) u == х 2 + 2 у 2 + 5z 2 + 2ху + 4yz - 20z;2) u == х 2 + у2 + 3z 2 + 4ху + 2xz + 2yz;3) u == Jx 2 + у2 + 2х + 5 + V2x 2 + Z2 + 4х + 11;4) u==J4x 2 +y2+ Z2+2xy-4z+5;5) u == 31n(lxl + lyl + Izl) - ln Ixyzl·16. Найти множество значений функций u == f(x; у; z), (х; у; z) ЕЕ Е:1) U==X 2 +y2+ Z2, E=={(x;y;z):x+y+z==6};2) и==1х22+ у + z2 -2х+ 3 ,E=={(x;y;z):x+y-z==l};3) u == Jx 2 + 2 у 2 + 3z 2 + 2yz, Е == {(х; у; z): х 2 + у2 + Z2 == 100};4) u == arctgyГxY - (1п(1 +xz))/2, Е == {(x;y;z): х == у == z}.17.
Найти область определения и множество значений функциичетырех переменных, заданной формулой:1) u == 1/ (xi2) u == J1 -+ x~ + x~ + x~ - 1);xi + J4 - x~ + Jr--9---x-=-~ + J16 -3) u == J7 - xi - x~ - x~ - x~ - 2хз - 2Х4;4) u == ln(144(1 - xi) - 36x~ - 16x~ - 9x~).x~;§ 2.18.ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных. Предел. ОтображенияНайти область определения функцийn33переменных, заданнойфор~у:ой:~ J1-l x il; 2) и J1 ~Xi + ~ VГXi;=ппп3) u=ln(l- ~:)Xi-i)2); 4)u=ln(Lx;+ Li=l5)и=logai<j=li=ln(L х;);6)и=i=lXiXj);nL arcsin(Xi -i).i=l19. Найти с-уровень функции двух переменных:1) и==у-х; 2) u==Vy-х; 3) и==1/(х 2 +у2);4) u == ln(l - х 2 - у2); 5) u == J36 - 4х 2 - 9 у 2; 6) u == 1/ Jx 2 - у2;7) и==уГх/у; 8) u==vx+y+vx-y;9) u == ((х -1)2 +у2)/((х + 1)2 +у2);1О) u == ln J ( (х - 1) 2 + у2) / ( (х + 1) 2 + у2); 11) u == х у ;12) u == e2Xj(x2+y2); 13) u == Vy - sin х; 14) u == ln х - ln sin у;15) u == arcsin(y / х); 16) u == arctg (2у / (х 2 + у2 - 1));17) u == J1- 2Ixl-lyl; 18) u == Ixl + IYI-lx + yl;19) u == min(x, у); 20) u == max(lxl, Iyl); 21) у == min(x 2, у);22) u ==sign (sin х sin у ) .20.
Найти с-уровень функции трех переменных:1) u == х + 2у + 3z; 2) u == ex+2y+3z; 3) u == х 2 + у2 + 4z 2;4) u == 1/(х 2 + у2 + Z2 + 2х); 5) u == ln(x 2 + у2 + Z2);6) U==X 2 +y2- z 2; 7) u==ln(z2- x 2_ y 2); 8) u==(X-у)2+ Z 2;9) u==1/x+1/z; 10) u==z/(x+y+z-1);11) u == 2z/(x 2 + у2 + Z2); 12) u == 2z/(x 2 + у2);13) u == ln((l + Jx 2 + у2 + z2)/(1 - Jx 2 + у2 + Z2));14) u == J2(x 2 + у2 + Z2) - (3 + х 4 + у4 + z4);15) u == J(x + 1)2 + у2 + Z2 + J(x - 1)2 + у2 + Z2;16) u == ln (1 - Iх I - Iу I - Iz I) ; 17) u == J'--si-g-n-si-n---:-"(X---::'2-+--y---:2:--+Z2~) ;J18) u == arcsin J (х 2 + у2) / z2.21.
Найти с-уровень функции nn11) u == Х ; 2) u ==n4)22.3и = ((Хl-1)2n2-"""""~i=lпеременных:x~· 3)1,'nu ==х 1 /"""""~ x~·1,'i=lnni=2i=2+ LX;) / ((Хl + 1)2 + LX;)'Выяснить, верно ли равенство:Под ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.3Гл.34Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных1.1) f(x;y;z) ~ f(y;x;z); 2) f(x;y;z) ~ f(z;x;y);если f(x; у; z) ~ xe Y - z + ye - + ze x - y .23. Найти f(x; у), если:1) f(x+y;x-y) ~y(x+y); 2) f(xy;yjx) ~x2 _у2.ZХ24. Найти f(х;у)~уГу+ср(vГx-1), если f(x;l)~x.25. Найти f(x; у) ~ xcp(yjx), если f(l; у) ~ J126.+ VXYф(уjх) ,Найтиf(x;у) ~ ср(ху)Найтиf(x;у) ~ ср(ху)если+ у2.у) ~f(l;1, f(x; х) ~~x.27.28. Найти f(x; у) ~ ср(х+ ф(уjх),еслиf(x; 1)~sin(nxj2),f(x; х) ~ 1.+ 2уГу) + ф(х -2 уГу) , х ~ О,если f(x;O) ~ sinx, f(x;x 2 j4) ~ cosx -1.29.
Найти f(х;у)~ср(х)+ф(у+еХ), если f(0;y)~y2,f(x; -е Х ) ~ х 2+ 1.30. Найти u~f(xjz;yjz-x), если и~x при y~x.31. Найти u ~ f(x 2z; 2y2z - z4), если u ~ zЗ jx 2 при У ~ х, х> О,z>о.32.Найти u=f(x/z;x/ y -x 3y ), если u=x 3z при у=х, у>О.33.Найти u~f(Z-Х;z>Z2еУ -xzzесли и~),(1-Z)2 прихy=lnx,о.34.Найти степень однородности или положительной однородности функции, заданной формулой:1) u ~ Jx 2 +y2jx, Х > О; 2) u ~ Jx 2 +у2;3) u ~ х v2 sin у + у v2 cos Х; 4) u ~ V~x-6-z2-+-2х-З-у-4-z-+-х-у-2-z-S ;Х5) u. / 2 +у2~ ухУ+Z2 -t 2; 6) u~хуxyz+ zt ; 7) u+ yztn-1~nnn-18) и~ L XiXjjLx;; 9) и~ Lx7(1nxi+1-1nxi);i,j=l10) u=35.i=lIП7=lХiГ, {ЕL.Xi Xi+1;1,=1i=lR.Доказать, что всякая однородная степени а функцияХn#О,f(X1;X2; ... ;X n ),представима в видеf( Х1;Х2;···;Х n )36. 1)ПустьG -aF( -Xl; -Х2; ...
; -Xn-l)- .~XnХnХnХnобласть, состоящая из всех точек плоскости, за§ 2.ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных. Предел. Отображенияисключением луча х== 2,уЗ-У ~ о. Доказать, что функцияеслиu - { y4j x,х > 2, У > о,В остальных точках областиGявляется локально однородной, но не однородной в области2)35G.Доказать, что в выпуклой области всякая локально однороднаяфункция является однородной.В задачахпонимается как предел по множеству,37-48 lim J(x)Х ____+x аu ==на котором определена функцияНайти:37.а)и;lim limх ____+ о У ____+ Об)J (х).lim limУ ____+ О х ____+ Ои;в)limх ____+ Ои;если:У----+О1)и==хЗ_ух+у; 2)и==х2 у25) u ==7) u ==зх2 у2х+ (х -.+ У SlП9) u == у tgххух8)1+у.' 6)у)2- ;2х10) u4)и==2;+х+ х4 + у4 + у5х + у4у5х2-ху 2ху+ у 2;_ у84.
1Х SlП -уХu == J(x; у),Построить функцию38.+хх8==2х 2 у+. 1+ У SlП- ;== logl+x(l + х + у).==UХх+уu3)и==2;х2у2_определенную на всей плоскости, для которой:1)lim limх ____+ О У ____+ ОJ(х; У )lim limУ ____+ О х ____+ ОJ (х; У) ==О,lim J(x; У)асу-У----+Оществует;lim J(x; У)2)нех____+о==х____+оо,аповторныепределыlim lim J(x; У)их____+Оу----+Оlim lim J(x; У) не существуют.У ____+ О х ____+ ОJПусть функция39.определена на множестве Е, содержащемIx - xol < 61, Iy -окрестность точки (хо; Уо):может, точек прямых х== А==и при любом У Е (Уо -lim limУ----+ Уа Х ----+ Х а==кроме, бытьУо.
Доказать, что еслиа)и;lim limб)X____+~Y----+~У1: Уо,существуетlim limи;в)Y----+~X----+~и;limX____+~Y----+~1) u ==4) u41.1)а)3*limХ ----+ХаJ ==У----+ Уа+ (2),62; Уо< 62,limХ ----+ХаJ,J == А.Найти:40.хо и УYolх2х2+ у2 .+ уЗ '==2) uХЗх2+.+ у4 'х у2)3 u --1Гу2.SlПх2.+ 3у2 '== (х 2 + у 2 )сх е -х _у , а Е R.2Дана функцияu ==Найти:limlimX____++~ У----++Ои;2б)хУ1 + хУlim.limУ----++О X____++~и;в)limlimX____++~ У----+-Ои;если:то36Гл.г)2)1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхlimи.limУ---+ -о Х---++СХ)Доказать, чтоlimне существует.UХ---++СХ)У---+О== cosm(nn! х) == cosm(nn! х),Пусть ит,n(Х)42.т,nЕN, х Е R.Определить, при каких значениях х верно равенствоlim ит,n(Х) == limlimn ---+ СХ) m== at,уа== {3t,2lim ит,n(Х).m ---+ СХ) n ---+ СХ)Найти предел функции43.х---+ СХ)== f(x;Uу) в точке (О; О) по прямой+ {32 1: О; доказать, что lim f(x; у) не существует,Х---+Оесли:У---+Оу - 2х 2х 2 sin у + у2 sin х1) U == у _ х 2 ; 2) U ==х444.
Найти предел функциипрямой ху== at,== {3t,== (t,z+ у2==Uа2yх4x 4z+z+у2В точке (О; О; О) по+ {32 + (2 1: О; доказать, что пределфункции и в точке (О; О; О) не существует.245. Найти предел функции U == x 2 e Y - Х по лучух == t cos ер,У == t sin ер,ер Е [О; 21Г),t -+ +00;доказать, что lim f(x; у) не существует.Х---+СХ)У---+СХ)Найти предел функции U46.х== t cos ер,Уе ху2 /(х +у );221)U==3)U== е х2 - у2 sin 2ху;== f(x; у)== t sin ер,2)ер Е [О; 21Г),Jx2+ у2y=={3t n ,(!Х + е 1/ У) .ye-l/x2{у2 + е-2/х2' если хО,ке (О; О) по кривой,t -+ +00:y== ln Ix + Yle x + ;4) U ==хуlnU47. Найти предел функции и =x==at mпо лучуа 2 +{321:0,еслих-::f-о,==О,в точ-t>O;m,nEN,доказать, что предел функции U в точке (О; О) не существует.Найти в точке (О; О) предел функции U48.1)U==ху.+ ху'U ==ху2(х2 + у2)4)1 _ cos(x2 + у2)1 - ijl2)у.,5)+у== -----;:::==========__Jx 2 + у + 9 - 3хи === f(x; у):2v2 -3)U==sin(y - х 2 )у - х2V'--1-+-c-os-(-x2-+-y2-) .tg 2(X 2 +y2),•§ 2.ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
