1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Верны ли утверждения:1) всякая граничная точкамножества является его предельнойточкой;2)любая окрестность граничной точки множества содержит каквнутренние точки, так и внешние точки этого множества (внешнимиmОЧffами множества называют внутренние точки его дополнения)?§ 1.21.Различные типы множеств вn-мерном пространстве15Построить множество Е, удовлетворяющее следующим тремусловиям:1)2)все точки Е изолированные;предельных точек множество Е не имеет;3)==р(х; У)infх,уЕЕо.22. Доказать, что следующие множества являются замкнутыми:1) пространство Rn ;2) произвольный n-мерный замкнутый шар, т.
е. множество всехnточек х Е R таких, что р(х; а) ~ д;3) произвольная (n - l)-мерная сфера радиуса д ?: о с центром вnточке а, т. е. множество всех точек х Е R таких, что р(х; а) == д.23.Даны n-мерный куб с ребром а и n-мерный замкнутый шаррадиуса а (см. задачуПри каких значениях24.22,2)).
Центр куба совпадаетn куб содержится в шаре?с центром шара.Доказать равносильность следующих определений замкнутогомножества: множество называется замкнутым, если оно содержит всесвои:1) точки прикосновения; 2) предельные точки;3) граничные точки.25. Доказать, что дополнение замкнутого множествадовсегопространства открыто, а дополнение открытого множества замкнуто.nДоказать, что если множество G с Rоткрытое, азамкнутое, то G \ F открытое, а F \ G замкнутое.26.27.ПустьFiСRn , iЕnДоказать, что множестваi=l28.иFimni=lFiявляются замкнутыми.Построить последовательность замкнутых множеств, объединение которых29.Rnпроизвольные замкнутые множества.N, 00сFПустьне является замкнутым.f(x),х Енепрерывная функция, УаR, --произвольное фиксированное число.
Доказать, что множество решений неf(x) ?: Уа является замкнутым.30. Пусть f(x), х Е [о; 1] - непрерывная функция ижество решений неравенства n ~ f(x) ~ n + 1,n Е N.равенстваДоказать, что множество00U E 2k -k=l31.Пусть для функцииf(x),Еn -мно1 замкнуто.х Е [а; Ь], Ь> а,множества точек,в которых f(x) ?: У и f(x) ~ У, при любом У замкнуты. Доказать,что f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь].32.Доказать,чтоприотображении,задаваемомнепрерывнойфункцией f(x), х Е [а; Ь], произвольное замкнутое множествос [а; Ь] переводится в замкнутое.FсГл.161.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхRnВ пространстве33.дана последовательность концентричес-61 < 62 < ...
< 6k < ...ких n-мерных шаров радиусов.является ли их объединение:1)открытым множеством;2)замкнутым множеством?n34. В пространстве Rких(n -дана последовательность концентричесl)-мерных сфер (см. задачу 22, 3)) радиусов61 < 62 < ... < 6k < ....является ли их объединение замкнутым множеством?Доказать, что замыкание Е произвольного множества Е с35.Rnзамкнуто.Доказать, что граница дЕ произвольного множества Е с36.является замкнутыммножеством.Привести пример замкнутого множества37.Rnканию множества внутренних точекF,не равного замыF.38.
Привести пример открытого в R 2 множества G, не равногомножеству внутренних точек его замыкания G.nДля каких множеств Е с R(открытых, замкнутых, произвольных) верны следующие утверждения:39.1) Е с Е; 2) Е5)д( дЕ)==дЕ;==6)Е;3)дЕ с Е;д( дЕ) с дЕ;8) если х(т) Е Е и lim х(т)==4) Е n дЕ == 0;7) д( д( дЕ)) == д( дЕ);а, то а Е Е?тЕСХ)40. Доказать, что для произвольных множеств E i С Rn , ~ Е N,верна формула:1)mmi=li=lU E i == U E i ;41.i=li=lПостроить последовательность множеств, для которых замыкание их объединения не равно объединению замыканий.42.Доказать, что множество является совершенным тогда и только тогда,43.когда оно замкнуто иДоказать,чтоне имеет изолированных точек.производноемножестволюбогомножествазамкнуто.44.ПостроитьмножествоЕ,дЛЯкоторогопроизводноемножество Е(l) непустое, а второе производное множество Е(2) пустое.45.Доказать, что для любого множества Е верны включенияЕ(l) ~ Е(2) ~ ...
~ E(k) ~ ... ,где E(k) -46.производное множество порядка k.Пусть Е-множество всех точек х поверхности Земли (Земля считается шаром), которые обладают свойством: если из точки хпройти7км на север, затем7км на запад и, наконец,7км на юг, то§ 1.Различные типы множеств в-мерном пространствеn17окажешься снова в точке х. Доказать, что множество Е не являетсязамкнутым. Найти замыкание Е и производное множество Е(l).47.В пространствезом. Из отрезка [О;оставшихсяотрезковние интервалычетырех1]Rпостроим множество С следующим обраудалим интервалразделимнатри(1/3; 2/3).равныеКаждый из двухчастииудалимсред(1/9; 2/9) и (7/9; 8/9). Затем каждый из оставшихсяинтерваловделимнатриравныечастиисредниеинтервалы удаляем. В результате неограниченного продолжения этого процесса деления оставшихся отрезков натриравные частии удалениясредних интервалов получим подмножество С точек отрезка [О;которое называют1],ffa1-lmОрОВblМ М1-l0жеством.Доказать, что:1)2)множество С является замкнутым и совершенным;сумма длин интервалов, удаленных при построении множества С, равна длине отрезка [О;3)чу1];множество С имеет мощность континуума.48.47)Пусть С'до отрезка-дополнение канторова множества С (см.
зада[0,1].Доказать, что множествоS == ([О; 1] х [О; 1]) \ (С' х С'),называемое ffOBpOM CepnU1-lСffого, совершенно.49.Доказать, что множество всех чисел х Е [О;нии которых десятичной дробью отсутствуют1],цифры 4в представлеи5,являетсясовершенным.50.Доказать, что если множестваFiиF2непустые, замкнутыеи хотя бы одно из них ограничено, то существуют такие точки х ЕИ У ЕF2 ,51.F1чтоДоказать, что если множестваF1иF2непустые, замкнутые,непересекающиеся и хотя бы одно из них ограничено, тоd(F1 ; F2 ) >52.о.Найти расстояние между непустыми замкнутыми непересекающимися множествами: гиперболойF 1 == {х Е Rи прямой53.2F 2 == {х Е RХIХ2:2:Х2 == О}.Доказать, что для любого непустого множества Е Ебого числа Е > О множество всех точек х Е< Е, является открытым в R n .54. Доказать, что дляnС R верны равенства2== 1}Rn , для которыхлюбых непустых множеств Е 1 СПод ред.
Л.Д.Кудрявцева, Т.3R n и люd(x; Е) <Rnи Е2 С18Гл.55.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных== (1,1; ... ; 1) С Rn доxi == О, i > k}, 1 ~ k ~ n.Найти расстояние от точки х== {х С R n :Lkмножества56. Найти d(E 1 ;E2 ), если:221) Е 1 == {х Е R : Х2 == xi}, Е2 == {х Е R : Х2 == хl - 2};222) Е 1 == {х Е R : xi + 4x~ == 4}, Е2 == {х Е R : хl + 2vГзХ2 == 8};3) E i == {х Е R З : хl == Х2 == хз}, Е2 == {х Е R З : хl + Х2 == 1, хз == О}.2257. Пусть Е 1 == {х Е R : xi + 4x~ == 4} и Е2 == {х Е R : ХIХ2 == 4}.Доказать, что d(E 1 ;E2 ) > 1.58. Найти расстояние между прямыми Г 1 С R З и Г 2 С R З , заданнымипараметрическими уравнениямихlхl== 3 + t,== -t,Х2Х2== 1 - t,== 2 + 3t,== 2 + 2t;хзхз== 3t,tЕУказать точки х Е Г 1 И У Е Г 2 такие, что р(х; у)59.Найти расстояние между прямыми Г 1 СR.== d(r 1 ; Г 2 ).Rn и Г 2 С Rn , заданными параметрическими уравнениямихlхl== t,Указать точки60.== t, Х2 == t, хз == t, ...
, х n == t;Х2 == 1 - t,хз == О, ... ,х n == О,t Е R.х Е Г 1 И У Е Г 2 такие, что р(х; у) == d(r 1 ; Г 2 ).Доказать, что множество Е сRnограниченно тогда и толькотогда, когда его диаметр удовлетворяет условиюD(E)< +00.61. Найти диаметр множества точек пространства R2 , удовлетворяющих условию:1) 4xi + 3x~1 < 2; 2) 4xi - 3x~ == 2;3) (xi + x~)(xi + x~ + 2Хl + 2Х2 + 1) == О;4) Х2 == sin(l/xl)' IXll < 2/п.62. Найти диаметр множества точек пространства R З , удовлетворяющих условию:1) зхi + 2x~ + x~ + 2хз - 1 < О;3) зхi - 2x~ + x~ + 2хз - 1 == О;63.64.2) зхi4) зхi+ 2x~ + x~ + 2хз + 1 ~+ x~ + 2хз - 1 ~ о.О;Найти диаметр n-мерного куба с ребром а.Доказать, что объединение линейно связных множеств, имеющих общую точку, является линейно связным множеством.65.Доказать, что если множество Е сRлинейно связно, то Еявляется промежутком.66.Доказать, что если линейно связное множество пересекаетсяс некоторым множеством и с его дополнением вRn ,то оно пересекается и с границей этого множества.67.Построить область, замыкание которой не является линейноРазличные типы множеств в§ 1.n-мерном пространстве19связным множеством.68.Доказать, что всякое линейно связное множество Е сRnявляется связным.69.
Построить множество Е с R 2 , являющееся связным, но нелинейно связным.70.Доказать, что всякое связное открытое вRnмножество является линейно связным.71.Доказать, что если Е смыкание Е-Rn-связное множество, то его затоже связное множество. Привести при мер несвязногомножества, замыкание которого связно.72 ..является ли связным множество всех точек плоскости, у ко-торых:1)2)хотя бы одна координата рациональна;обе координаты иррациональны?73. Выяснить, является ли множество Е в пространстве R 2 :а) связным;б) линейно связным;в) открытым;г) областью;если:1) Е3) Е5) Е6) Е7) Е9) Е10)============{xi{xi{xi{xi{xi{xi+x~ > 1};+x~ 1: 1};+ x~ < 1} U+ x~ ~ 1} U- x~ < 1};- x~ > 1};2) Е == {xi +x~ == 1};4) Е == {xi +x~ == О};{(хl - 2)2 + x~ < 1};{(хl - 2)2 + x~ < 1};8) Е == {xi - x~ == 1};Е = {Х1 Е (О; 1), IX 2 - ~ sin11) Е12) Е2:1 I < ~};== {Х2 == sin(ljxl)} U {хl == О, IX21 ~ 1};== {5xi + 12ХIХ2 - 22Хl - 12Х2 > 19}.74.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
