1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 10
Текст из файла (страница 10)
о. 48.1) -3; 2) 6; 3) 1; 4) О; 5) v'2/8; 6) О; 7) О; 8) 1; 9) 1;10) не существует; 11) 1; 12) уГе.49. 1) 1; 2) 2; 3) е; 4) 7Г; 5) -2; 6) 13/4.51. 1) да; 2) да; 3) нет.52. 1) 1; 2) -1; 3) -1; 4) не существует.4*52Гл.1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных53.1) О; 2) о.
54.1) О; 2) а/(а 2 + 1); 3) не существует. 55. Да.56. о. 57. а == уь, Ь == -уь. 58. а Е R, Ь == о.59. а==-l, ь==о.62. 1) (О; О) - точка устранимого разрыва;2) (О; О); 3) (1; 2); 4) (О; О);5) все точки прямой х + у == О, кроме двух ее точек (1; -1) и(-1; 1); это точки устранимого разрыва;6) (nk; 1Гn), k, n Е Z; 7) (х; О), х 1: О; 8) (nk; 1Гn), k, n Е Z;9) (О; О) - точка устранимого разрыва; 10) точек разрыва нет;11) все точки прямой у == х, кроме двух ее точек (2; 2) и (3; 3);это точки устранимого разрыва;12) все точки двух эллипсов х 2ка (О; О), в точках эллипса х(О;+ 4 у 2 ==+ 4 у 2 ==213) все точки границы ромба-1/2);14) все точки окружностейс1, х 2 /2+ 2 у 2 ==1 и точ1 разрыв устранимый;вершинами (1; О), (О; 1/2), (-1; О),радиусовnЕNс центром в точ-ке (О; О);15) все точки прямых х == О и у == nх, n Е Z;16) все точки плоскости, кроме точки (О; О).63.
1) Все точки оси х;2) все точки оси У, за исключением точки (О; О; О);3) все точки сферы радиуса 4 с центром в точке (1, О; -1);4) точек разрыва нет; 5) все точки плоскостей у == О и z == О;6) все точки плоскостей у == О и z == О и гиперболических цилинд-1:ров yz == 1Гn, n Е Z, nО;7) все точки плоскости z == О, кроме точек прямой у == х, z == О;8) все точки оси у;9) все точки сферы радиуса 1 с центром в точке (О; О; 1), крометочки (О; О; О);10) все точки однополостнога гиперболоида х 2 у2 - Z2 == 1, двуполостного гиперболоида х 2у2 - Z2 == -1 и конуса х 2у2 - Z2 == о.++64.+Область определения: точка (О; О) и внешность (вместе с гра-ницей) окружности радиусаv2с центром в точке (О; О).
Функциянепрерывна на своей области определения.65. Нет. 76. 1) Да; 2) нет.77. 1) Равномерно непрерывна; 2) равномерно непрерывна;3) не является равномерно непрерывной;4) не является равномерно непрерывной.80. 1) w(б) == Va 2 + Ь 2 б, равномерно непрерывна;2) w(б) == б, равномерно непрерывна;3) w(б) == 2, не является равномерно непрерывной;4) w(б) == +00, не является равномерно непрерывной.81. 1) 4; 2) 4уЬ; 3) а) +00; б) 1/2; 4) 1; 5) 5; 6) ~; 7) 6; 8) 12.83. 1) Эллипс и 2 /4 + v 2 /9 == 1;§ 2.ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных.
Предел. Отображения532) эллипс (и - ао)2 / а 2 + (v - Ь о )2/Ь 2 == 1, если аЬ 1: О; отрезок u ==== ао, Iv - bol ~ Ь, если а == О, Ь 1: О; отрезок v == Ь о , lu - aol ~ а, еслиЬ==О, а1: О;точка (ао; Ь о ), если а1) Прямая v == аи;== Ь ==о.84.2) окружность и 2 + v 2 == а 2 , если а 1: О; точка (О; О), если а == о.85. Замкнутый треугольник с вершинами в точках (О, О), (1; О),(О; 1).86. Прямоугольник 1 < u < 2, Ivl < 1.87.
1) Прямая 2и == 1;2)окружность радиуса4/3с центром в точке88. 1) Парабола v 2 == 4а 2 (а 2 - и), если аесли а====О; луч v==О, u ~ О,О;2) парабола v 2 == 4Ь 2 (иЬ1:(5/3; О).О;3) полукруг и 2+Ь+ v 2 < 1,v2), если Ь1: О;луч v==О, u ~ О, если> о.161689.1) а) Отрезок v == о, lul ~ 1; б), в) эллипс 25 и 2 + g V 2 == 1;2) гипербола 2и 2 - 2v 2 == 1.90. 1), 2) Окружность и 2 + v 2 == е 2а ; 3) луч v == (tg Ь)и, u > О;4) логарифмическая спираль р == еи)-Ь)/а, где р == Ju 2 + v 2, tg g ==== v /и.91. 1) Гиперболаu22cos аv2•== 1,2Sln аu ~ 1, если а == 2пk; луч v == О, u ~ -1, еслиu == О, е сл и а == п (2 k + 1) /2; k Е Z;2) эллипсесли Ь==u2ch 2Ь+v2sh 2Ь== 1,если Ь1:1: -1г2 k; луч v == О,а == п(2k + 1); прямаяесли аО; отрезок vlul~ 1,О;3) полуплоскость v > О;4) плоскость с выброшенными лучами v == о,92.1) Дуга параболы v == 1 - 2и 2 , lul ~ 1;иаоЬСОlul~1.== Ь о ==, если а + Ь + с 1: О;(ао; Ь о ; со), если а 2 + ь 2 + с 2 == о.93.
1) Плоскость u - 2v + w == О; 2) сфера и 2 + v 2 + ш 2 == 1;2) прямаякао,==-аv-w -С222точ-3) поверхность тора, образованного вращением круга (и - 2)2 ++ ш 2 ~ 1, v == О вокруг оси ш.94. Цилиндр и 2 + v 2 == а 2 , если а 1: О; ось ш, если а == о.95. Сфера и 2 + v 2 + ш 2 == W С выброшенной точкой (О; О; 1).96. Замкнутая пирамида с вершинами в точках (О; О; О), (1; О; О),(О; 1; О), (О; О; 1).104. 1) Неверно; 2) верно. 105. 1) Да; 2) нет.106. 1) Верно; 2) неверно.111. См., например: Гелбау'м В., ОЛ'мсmед Дж. Контрпримеры ванализе.
М.: Мир, 1967.54Гл.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных1.Частные производные. Дифференциал функции§ 3.нескольких переменных. ДифференцируемыеотображенияСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Производные и дифференциал первого порядка. Пустьфункцияопределена в некоторой окрестности точки (Хо;Уо).f(x;y)Если существуют конечные пределы·11т+ ~x; уа) -f(xaдх---+Оf(xa, уа)~xf(xa; уа·11ти+ ~y) -ду---+Оf(xa, уа)~y,(1)то их называют частными nроизводными ФУНJliЦИИfв тОЧJliе (хо, Уо)соответственно по переменным х и У и обозначаютaf(xa;уа)а f(xa; уа)ах.ауили простоfx(xo;Yo),fy(xo;Yo).Если частные производные функции2fсуществуют в каждой точке множества Е с R , то говорят, что функцияfимеет частныеnроизводные на множестве Е.Аналогично определяют и обозначают частные производные функций трех и более переменных.
Например, если существует конечныйf(Xl; ... ; xk+ ~Xk; ... ; хn) -f(Xl; ... ; xk; ... ; хn)~Xkто его называют частной производной ФУНJliЦИИ... ; х n ) ПО переменной xk и обозначаютaf(Xl; Х2; ... ; хn)а Xkа!Производные -аXknорядJliа.или,k == 1,2, ... , n,j' (xkХl;Х2;fв тОЧJliе (хl; Х2; ......
;х n).называют nроизводными первогоДля вычисления частной производной а faXkобычно пользуютсяизвестными формулами и правилами дифференцирования функцииоднойпеременной,считаявсе переменные,кроме переменнойxk,фиксированными (постоянными).Функциюf(x;y)называют дифференцируемой в тОЧJliе (Хо;Уо),если существуют числа А и В такие, что приращение~f(xo;Yo)функцииf== f(xo + ~X;Yo + ~y) - f(xo;Yo)в точке (хо; Уо) представимо в виде~f(xo; Уо) == A~x+ B~y + о( J ~x2 + ~y2),(~x; ~y) -+ (О; О).
(2)Частные nроuзводные§ 3.55Если функция f(x,y) дифференцируема в точке (Ха;Уа), то в формуле (2) линейную относительно приращений ~x и ~Y функцию+ B~yA~xназывают дифференциалом (точнее, первым дифференциалом) функции f(x,y) в точке (Ха;Уа) и обозначают df(xa;Ya).Таким образом, если верно равенство (2), тоdf(xa; Уа) ==A~x+ B~y.(3)Дифференциалом независимой переменной х или у называют ееприращение, т.
е. по определению полагаютЕсли функция2fdx ==~x,dy ==~y.дифференцируема в каждой точке множестваЕ с R , то ее называют дифференцируемой на множестве Е. Аналогично определяютсяпонятиядифференцируемостиидифференциала для функций трех и более переменных.Теорема1. Если ФУНJliЦИЯf (х; у)дифференцируемавточJlie (Ха;Уа) иdf(xa;Ya) ==Adx+Bdy-ее дифференциал в этой тОЧJliе, то в тОЧJliе (ха; Уа) существуютчастные nроизводные ФУНJliЦИИд f(xa; уа)==f,причемАдхд f(xa; уа)==вду'.Таким образом, в каждой точке, где справедливо равенстводифференциал функцииfможет быть вычислен по формулед!df = дх dxФормулапеременных(4)+д!ду dy.(4)обобщается на случай дифференцируемой функцииf(Xl;Х2;...
; х n )д!df == -д dXlхlТеорема(2),nследующим образом:+д!-д dX2Х2+ ... +д!-д dxnoхn(5)2. Для дифференцируемости ФУНJliЦИИ f(x), х Е Rn ,в неJliоторой тОЧJliе достаточно, чтобы частные nроизводные ФУНJIiцииfбыли непрерывны в этой тОЧJliе.Функцию, частные производные которой непрерывны на некотором множестве,называютнепрерывно дифференцируемой на этоммножестве.2.Частные производные сложной функции.Т е о р е м а 3. Пусть ФУНJliЦИИ и(х; у) и v(x; у) определены в неJliоторой ОJliрестности тОЧJliИ (ха; Уа), а ФУНJliЦИЯ f (и; V) определенав неJliоторой ОJliрестности тОЧJliИ (иа; Va) == (и (ха; Уа) ; V(ха; Уа) ) . Если ФУНJliЦИЯ f (и; V) дифференцируема в тОЧJliе (иа; Va) и если в точJlie (ха; Уа) существуют nроизводныеavдuдх'дхavдu'ду,ду,Гл.561.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхто в тОЧJliе (Ха; Уа) существуют частные nроизводные сложной ФУНJIiции f( и(х; У); v(x; у)), причемд!дх==ди дхАналогичныеяхсправедливы+д! дид! avav дх'формулыдляд!дупричастных==+д! диди дуд! av .av дусоответствующихд!производных(6)предположени-сложнойфунк-aXiцииf(Ul;и2;...
; и n ),гдеuk n:;. =Lk=l1,функции переменных:!k ~:k,Xi:i = 1,2, ... , т.(7)1,Свойства дифференциала.3.10.Для любых дифференцируемых функций и(х), v(x), Х ЕRn ,справедливы равенстваd(auгде а иf3 -+ f3v) == adu + f3dv,(8)постоянные,(9)d(uv) ==vdu+udv,d(U)==vdu-udv,v2vФормулы20.У-(4)независимыеи(5)v#O.(10)справедливы не только тогда, когда Х ипеременные,ноитогда,когдаХиУявляютсядифференцируемыми функциями каких-либо переменных (свойствоинвариантности формы первого дифференциала).4.Производнан по направлению и градиент. Пусть в пространствеRnзадан единичный векторnL cos2ak==1.k=lПроизводной ФУНJliЦИИтораfв тОЧJliе (Хl; Х2; ... ; Х n ) по направлению BeJli-1 называют предел!(хl + t cos аl; ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
