1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Найти образы:1) прямой х == а; 2) прямой у == Ь;3) полуполосы О < х < 1Г, У > О; 4) полосы О < х < 1Г;при отображении u == cos х ch у,v == sin х sh у.92. Найти образ пространства R при отображении:1) u == sin х, v == cos 2х;2) u == ах + ао, v == Ьх + Ь о , w == сх + со.ХХ93. Найти образ пространства R2 при отображении:1) и==у+2, v==3x+4y+5, ш==6х+7у+8;..2) u == cos х cos у, v == cos х sln у, W == sln х;3) u == (2 + cos у) cos х, v == (2 + cos у) sin х, w == sin у.•§ 2.ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных. Предел.
ОтображенияНайти образ прямой х94.u==хCOS==а при отображенииvу,43==х SlП у,==Wу.95. Найти образ пространства R2 при отображениии==хх2+ у2 + 1 'уv==х2+ у2 + 1 '+ у2+ у2 + 1 .х2ш==х2Доказать, что при этом отображении образом каждой окружностиявляется окружность.Найти образ куба О ~ х ~96.женииu ==х(l - у),v ==1,1:ЕО ~ z ~1,ху(l - z),Доказать, что отображение97.О ~ у ~1при отобра-Rn ,непрерывноw == xyz.---+ R m ,Е св точке х(О) Е Е тогда и только тогда, когда для любой окрестности U(и(О)) точки и(О) == l(х(О)) существует такая окрестность U(х(О))точки х(О), что I(U(х(О))) с U(х(О)).m98. Доказать, что отображение 1 == (11; 12; ...
; 1т): Е ---+ R непреnрывно в точке х == (Х1; Х2; ... ; х n ) Е Е с R тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны все координатные функцииnПусть99.1-отображение пространства11,12, ... , 1т.R в пространство Rm .Доказать, что для непрерывности отображения1необходимо идостаточно, чтобы выполнялось одно из условий:1)прообраз каждого замкнутого множества есть замкнутое множество;прообраз каждого открытого вnоткрытое в R .2)100.Rm множества есть множество,Доказать, что если при отображенииm1пространстваRnвпространство R прообраз каждого открытого шара является открыnтым в R множеством, то отображениенепрерывно.101.номДоказать,замкнутом1что если отображение 1 непрерывно на ограниченмножестве,тооноравномернонепрерывнонаэтоммножестве.102.Пустьотображениети (х; у) на прямую у1)2)мой у3)1проектирование точекплоскосо. Доказать, что:равномерно непрерывно на любом плоском множестве Е;если Е====1 --открытое множество, то I(Е)-открытое на пряо множество;если Е-замкнутое множество, то I(Е) не обязательно замкнуто.103.
Доказать, что при непрерывном отображении:1) образ каждого ограниченного замкнутого множестваограничени замкнут;2)образ каждого связного множества есть связное множество;Гл.443)1.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менныхобраз каждого линейно связного множества есть множестволинейно связное.во104. Пусть f - отображение множества ЕRm , Х с Е, И с f(E). Верны ли равенства:1) f-1(f(Х)) == Х; 2) f(f-1(U)) == И?105.f -Доказать, что еслимножества Е на множествомножеств1)XkС Е,f( UXk)=k=lkЕN,f(2)Верны ли эти равенства, еслив пространстто для любой последовательностиверны равенства:Uf(Xk);Rnвзаимно однозначное отображениеf(E),k=lсfnnXk) =f(Xk),k=lk=lне является взаимно однозначнымотображением?106.Пустьмножества Е сf Rnвзаимно однозначное непрерывное отображениеmна множество И С R . Верны ли следующие утверждения:1)если Е не имеет изолированных точек, то и И не имеет изолированных точек;если И не имеет изолированных точек, то и Е не имеет изо2)лированных точек?107.ниеf,Построитьвзаимнооднозначноенепрерывноеотображедля которого обратное отображение не является непрерывным.108.Доказать, что еслиf -взаимно однозначное непрерывноеnотображение ограниченного замкнутого множества F с R на мноm1жество И С R , то обратное отображениенепрерывно на И,т.
е.является гомеоморфизмом.f-fnLX; == 1 с выброшен109. Доказать, что (n -l)-мерная сфераi=lной точкой гомеоморфна пространству Rn-1.110. Построить отображение отрезка О ~ х ~ 1 на квадрат О ~~ х ~ 1, О ~ У ~ 1.111. Построить непрерывное отображение отрезка О ~ х ~ 1 наквадрат О ~ х ~ 1, О ~ У ~ 1 (Jliрuвая Пеано).112.
Доказать, что не существует взаимно однозначного непрерывного отображения отрезка О ~ х ~ 1 на квадрат О ~ х ~ 1, О ~~ у ~ 1, т. е. что отрезок и квадрат не гомеоморфны.ОТВЕТЫ1. s == (4 у 2 - х 2 )/16, 15/16.2. 1) v == (7Г /3)у(х 2 - у2); 2) V == (y2/24n 2)J4n 2X 2 - у2.3. V == ((8ууГу)/(3уГп))tgхсоs 6 (х/2).§ 2.ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных. Предел. Отображениях+у==4. s4V4z 2 -не существует.В= ~J(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y).5.6. Q=~(х+у)J4Z2+3(х-у)2.7.
V =~JXl(X2 +хз +Х4)2 - x~x4х8. 1)==3V:ill4 ,б)(х - у)2, а)45r--(-X-2-+-Х-З---Х-4-)(-Х-З-+Х -4---Х-2-)-(Х-4-+-Х-2---Х-З)(Х2+ ХЗ+ Х4)З==Замкнутый угол, ограниченный лучами ух, х-з2 4 Г4247 .'У27~ О и у ==-х, х ~ О;2) замкнутый круг с центром в точке (О; О) и с радиусом, равным1;3),4)равным1;внешность параболы с вершиной в точке5)точке6)внешность окружности с центром в точке (О; О) и с радиусом,и с фокусом в(3; О);внешность эллипса с центром в точке(1; О), с фокусами,равными 2 и 1;ложенными на оси х, с полуосями,7)расповнутренность гиперболы с центром в точке (О; О) с фокусамина оси х, действительная полуось равна8)ках(2; О)область,(1/2; О)иограниченная(1; О)9) замкнутый(О; -1);10) R2 ;11)(О; 1);12)мой х13)4,мнимаяокружностямис-1;центрамивточи с радиусами, соответственно равнымиквадрат с вершинами в точках(1; О),1/2 и 1;(О; 1), (-1; О),открытый треугольник с вершинами в точках(О; О),(1; О),объединение замкнутой левой полуплоскости х ~ О и пря== 2;если а> 1,радиусом, равнымто замкнутый круг с центром в точке (О; О) и с1;если О<а<1,то концентрическое кольцо сцентром в точке (О; О), ограниченное окружностями с радиусами1и у'2, причем большая окружность не входит в множество существования функции, а меньшая входит;14)если а> О,то замкнутое концентрическое кольцо с центромв точке (О; О), образованное окружностями с радиусамиесли а==О, то точка (О; О); если а< О,va иffa;то пустое множество;15) открытый треугольник с вершинами в точках (О; 3), (3; 15/2),(3; -6);16) замкнутый четырехугольник с вершинами в точках (1; 2),(2; 1), (35/6; 1), (1; 36/7);17) объединение замкнутых вертикальных полуполос 2пk ~ х ~~ п(2k + 1), у ~ О и (2k - l)п ~ х ~ 2пk, у ~ О, k Е Z;Гл.461.Дифференциальное исчисление ФУНffЦИЙ неСffОЛЬffИХ nере.менных18) объединение открытых горизонтальных2nk < у < (2k + 1)1Г, k Е Z;19) объединение концентрических открытыхточке(О, О),(ffп; V2n20)==22)23)и у==О,колец с центром вОпоинтерваламn == 0,1,2, ...
;== (2k + 1)х/2,==х ~ О,== kx,k Е Z;1;замкнутая полоса, ограниченная прямыми х+ у ====±1;объединение двух тупых углов, ограниченных прямыми у == О-2х, включая границу углов, за исключением точки (О; О);24) открытая правая9. 1) а) Нет, б) да, в)2)3)4)5)6)7)>х>замкнутая горизонтальная полоса, ограниченная прямыми уи у-1+ 1),полуосьхобъединение открытых углов, ограниченных лучами ух ~ О и у21)пересекающихполуполосполуплоскость х> о.нет, г) нет, д) нет, е) нет;а) да, б) нет, в) да, г) нет, д) да, е) нет;а) нет, б) да, в) да, г) да, д) нет, е) да;а) нет, б) нет, в) нет, г) нет, д) нет, е) нет;а) да, б) нет, в) да, г) нет, д) нет, е) нет;а) нет, б) нет, в) нет, г) нет, д) нет, е) нет;а) да, б) нет, в) да, г) нет, д) да, е) нет.1 о.
1) [- 4; + 00 ) ; 2) [О; 3/2]; 3) [ln 3; + 00 ); 4) (- 00;-2] U [2, + 00 ) ;5) [7/4; +(0); 6) [-1; 9]; 7) [-15; 15], 8) {О, 1Г}.11. 1) [-5; -2]; 2) [1/4; 1]; 3) [-50; 150]; 4) [ln(24/5); ln 12];5) [V'2; +(0).12. 1) Открытоеполупространство, ограниченное плоскостью,проходящей через точкику (О; О; О);2) замкнутый(1; О; О),выпуклый(О;1; О),(О; О;1),и содержащее точвосьмигранник с вершинамив точкахи(±1;0;0), (0;±1;0), (0;0;±1);3) открытый двугранный угол, ограниченный плоскостями х == Оz == О и содержащий точку (1; О; 1);4) открытый шар с центром в точке (О; О; О) с радиусом, равным 1;5) замкнутая область, содержащая точку (О; О; О), ограниченнаяцилиндрическойверхностиповерхностью:окружность радиуса-щая в плоскости у==прямая, параллельная оси У,-(1; О; О);замкнутая область, ограниченная двумя цилиндрическими поверхностями:направляющиеружности радиусовплоскостих==О,2и3цилиндрическихс центром в точкеобразующиепроходящие через точки (О;7)пос центром в точке (О; О; О), лежа1О; образующаяпроходящая через точку6)направляющая цилиндрическойпрямые,-2; О),(О;поверхностей-ок(О; О; О), лежащие впараллельные осихи3; О);внутренность эллипсоида с центром в точке (О; О; О) с осями,принадлежащимиосямкоординат,исполуосями,соответственно§ 2.равными8)ФУНffции неСffОЛЬffих nере.менных.
Предел. Отображения471, 2, 3;внутренность параболоида вращения, получающегося при вращении параболы z9)==х2 , У==О вокруг оси z;внутренность двуполостного гиперболоида с центром в точке (О; О; О), главные плоскости гиперболоида совпадают с осями коор-динат, полуоси равны соответственно 1, у'2, vГз;10) R3 ;11) множество точек, расположенных внутри сферы радиуса 4 сцентром в точке (О; О; О) и на этой сфере, но вне сферы радиуса2сцентром в точке (О; О; О);12) сфера радиуса 1 с центром в точке (О; О; О);13) открытая пирамида с вершинами в точках (4; 1; О), (О; 1; О),(О; 5; О), (О; 1; 4);14) замкнутая пирамида с вершинами в точках (О; О; О), (1; О; О),(О; 1; О), (1; О; 1), (О; 1; 1/3);15) множество точек, расположенных внутри сферы радиуса 1 сцентром в точке (О; О; О) и внутри конической поверхности, направляющей которой является окружность х 2+ у2 ==1, z== 1,а вершинанаходится в точке (О; О; О);16)множество точек, расположенных вне сферы радиуса2с центром в точке (О; О; О) и внутри цилиндрической поверхности, направляющая которой - окружность радиуса 2 с центром в точке (О; О; О),лежащая в плоскостиосиzz ==О, а образующаяи проходящая через точку-прямая, параллельная(2; О; О);17) множество точек, расположенных внутри сферы радиуса 2 сцентром в точке (О; О; 2) и внутри параболоида вращения, образованного вращением параболы z == 4 - х 2 , У == О вокруг оси z;18) замкнутая ограниченная область, заключенная между конической поверхностью (вершина в точке (О; О; 1), направляющая окружность радиуса 1 с центром в точке (О; О; О), лежащая в плоскости z==О) и гиперболическим параболоидом z==ху;19) замкнутая область, ограниченная сферами с радиусами 1 иvГз и с центрами в точке (О; О; О);20) внутренность конуса (вершина в точке (О; О; 1), направляющая окружность радиуса 1 с центром в точке (О; О; О), лежащаяв плоскостиz ==О) вместе с границей, за исключением вершины конуса;21)замкнутая ограниченная область, расположенная между сферой (центр в точке (О; О; О), радиусцилиндра -2) и цилиндром (направляющаяокружность радиуса vГз с центром в точке (О; О; О), лежащая в плоскостиz ==О; образующая-прямая, параллельная осиzи проходящая через точку (vГз; О; О)).13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
