1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 67
Текст из файла (страница 67)
е. ее линейная оболочка,образует плотное (см. задачу113.Система{Ха},а Е95)U,в Х множество.элементов нормированного пространства полна тогда и только тогда, когда замыкание ее линейнойоболочки (в смысле метрики, порожденной нормой) совпадает со всемпространством.114.Нормированное пространство сепарабельно (в смысле метрики, порожденной нормой) в том и только том случае, когда оносодержит счетную полную систему.115. Система степеней 1, t, t 2 , ... , t n , ...
полна в пространстве С[а; Ь](см. задачу 8).116. 1) В подпространстве С*[-п; п] пространства С[-п; п] (см.задачу 8), состоящем из таких функций Х( t), что Х( -п) == Х( п), система{1; cos х; sin х; ... ; cos nх; sin nх; ... }полна, а система{1; cos х; cos 2х; ... ; cos nх; ... } не полна;подпространстве пространства С[О; п /2] функций,вряющих условию2)j(O) ==удовлетвоО, система{sin х; sin 3х; ... ; sin(2n+ l)х; ...
}полна.117. Имеют место следующие вложения:1) CLp[a; Ь] ~ RLp[a; Ь], 1 ~ р < +00 (см. пример 2 и задачу 66);2) С[а; Ь] ~ CLp[a; Ь], 1 ~ р < +00 (см. задачу 8);3) Сn[а; Ь] ~ С[а; Ь], n == 0,1,2, ... (см. задачу 69).118. Если система {Ха}, а Е U a , полна в полунормированномпространстве Х, которое вложено в полунормированное пространство У, и множество Х плотно в пространстве У по полунорме этогопространства, то заданная система полна в пространстве У.ве119. Система степеней 1, t, t 2 , ... , t n , ...CLp[a; Ь] (см. задачу 66).полнавпространстГл.424120.Система4.Введение в ФУНffциональный анализмногочленов Лежандрапространствах С[а; Ь] (см. задачузадачу 66).(см.задачуполна в28)8) и CLp[a; Ь], 1 ~ р< +00(см.{l;cosx;sinx; ...
;cosnx;sinnx; ... } полна в пространстве RLp[-П; п], 1 ~ р < +00 (см. пример 2);2) система {cos х; cos 3х; ... ; cos(2n + l)х; ... } полна в пространстве RL 2 [О; п /2].121.1)Система122. Пространства С[а; Ь] (см. задачу 8) и CLp[a; Ь], 1 ~ р(см. задачу 66) сепарабельны.123.
Пусть Х - нормированное пространство. Тогда:< +00001) если х n Е Е, n == 1,2, ... , л00-00число и ряд" х n сходится, то00~сходится и ряд L ЛХ n , причем L ЛХ nn=1=n=1Л L х:=;ln=1002) если Х n Е х, Уn Е х, n == 1,2, ... ,ИрядыLX nn=100сходятся,00n=1124.то сходится00и00иLYnn=100рядпричемL(xnn=1+ Уn)n=1Последовательность элементов (еl; ... ; е n ; ... ) нормированного пространства Х называют (счетным) базисом, если, каков бы нибыл элемент Х Е х, существует и притом единственная последова00тельность чисел Л n , n== 1,2, ... , такая, что Х == L Лnе n . Если сисn=1тема элементов образует базис нормированного пространства, то оналинейно независима.125.Если нормированное пространство имеет базис, состоящийиз конечного или счетного множества элементов, то это пространствосепарабельно.126.
Система степеней 1, t, t 2 , ... , t n , ... не является базисом впространстве С[а; Ь], -00 < а < Ь < +00 (см. задачу 8).127. Тригонометрическая система1, cos х, sin х, ... , cos nх, sin nх, ...не является базисом в пространстве С*[-п, п] (см. задачуВзадачах128.==128-139Если Х-доказатьсформулированные115).утверждения.двумерное линейное пространство векторов Х(Хl;Х2) с полунормойIlxll == IXll,не является непрерывной на х.то линейная функцияf(x) ====Х2§ 19.Нормированные и полунормированные пространстваJ,Линейная функция129.ставящая в соответствие каждомумногочлену Р Е Р (см.
задачуJ(P) ==Р(4),t == 4,его значение в точке6)т. е.не является непрерывной функцией на нормированIIPII ==ном пространстве Р всех многочленов с нормой130.425шах[0;1]IP(t)l.В конечномерном нормированном пространстве всякая линейная функция непрерывна относительно нормы.131. Оператор А(х) == (Х1; x~; x~; ... ; x~; ... ), х == (Х1; ... ; х n ; ... ) Е l2(см. задачу 62), отображает l2 в l2, непрерывен в каждой точке инеограничен на любом шаре U(О; Т), r > 1.
Будет ли оператор А линейным?132.Линейный оператор Х---+ унепрерывен тогда и только тогда,когда он непрерывен в нуле пространства х.133.когда он134.Линейный оператор Х---+у ограничен тогда и только тогда,непрерывен.Если А:Х---+улинейный оператор, то-IIAII == sup IIA(x)11 .хЕО135.Если А:Х---+уIlxllлинейный оператор, то-IIAIIsup IIA(x)ll.==IlxllIlxll=l136.Линейный оператор А:---+Ху ограничен тогда и толькотогда, когда существует такая постоянная сIIA(x)llxвыполняется неравенство137.Для линейного оператора А:нижней грани таких постоянных сняется неравенство138.cllxlly.~IIA(x)11~cllxll·Линейный оператор Х---+Х> О,---+> О,что для всех х Е Ху величинаIIAIIравначто для любого х Е Х выполу ограничен тогда и только тогда,когда он любое ограниченное в Х множество отображает в ограниченное в У множество.139.Если А: Х---+у-выполняется неравенство140.Являютсялипространством С[О;1]линейный оператор, то для любого х Е ХIIA(x)11~IIAllllxll·линейными(см.
задачуследующиефункционалынад8):11) А(х) =Jx(t) sin t dt; 2) А(х) x(to), to Е [О; 1];Jх(t dt; 4) А(х) Jх (t) dt; 5) А(х)=О13) А(х) ==12О141.2==)ОКакие из функционалов в задачена пространстве С[О;1]?140==шах х( t)?[0;1]линейны и непрерывныВычислить их нормы.Гл.426142.4.Введение в ФУНffциональный анализДоказать, что оператор А:С[О;1] -+С[О;1](см. задачу8)ограничен, и найти его норму, если:tJХ(В) ds;1) А(х) =2) А(х) = t 2x(O); 3) А(х) = x(t 2);О4)А(х)== cp(t)x(t), cp(t)Е С[О,1];Jsin w(t - в)х(в) ds;15) А(х) =6) А(х) =ОиJet-Sx(s) ds.1О143.
Доказать, что оператор А: С 1 [О; 1] -+ С[О; 1] (см. задачи 811) непрерывен, и найти его норму, если:1)А (х)144.== х (t) ; 2)А (х)==х' (t) .Доказать, что если CPk Е С[а; Ь] (см. задачуто оператор8), k == 0,1,2, ... , n,nА: Cn[a;b]-+С[а;Ь],k=Oограничен.Для каких Q > О оператор А: С[О; 1] -+ С[О; 1] (см. задачуx(t a ), линеен и непрерывен? Найти его норму.145.A(t) ==8),146. При каких а1,а2, ... ,аn, ... оператор А: l2 -+ l2 (см.
задачу 62), А(х) == (а1Х1; а2Х2; ... ; аnхn; ... ), х == (Х1; ... ; х n ; ... ) Е l2, непрерывен? Найти его норму.Взадачах147.147-154доказатьсформулированныеЯдро ограниченного линейного оператора А:утверждения.Х-+У является замкнутым подпространством пространства Х.148.Если Х 1 -линейное пространство, плотное в нормированном пространстве Х, а У-полное нормированное пространство,то всякий линейный ограниченный оператор А 1 :Х1-+У можно ипритом единственным образом продолжить в непрерывное отображение А:Х-+У. Это отображение А линейно иIIAI12(x,y) == IIA l I12(x149.1,Y)·Множество ограниченных линейных операторов 2(Х; У) образует подпространство линейного пространства всех линейных операторов150.L(X; У).Множество ограниченных линейных операторов 2(Х; У) является нормированным пространством, в котором функционал(1)является нормой.==151. ЕслиL(X; У).152. Еслипространства Х и У конечномерны, то 2(Х; У)Утакже банахово.-==банахово пространство, то пространство 2(Х; У)§ 19.153.Нормированные и полунормированные пространства427Любое нормированное пространство Х изоморфно с пространством154.g(R; Х).Композиция линейных ограниченных операторов А и Б также является линейным ограниченным оператором и выполняется не-равенство IIБАII ~ IIБIIIIАII·155.Привести пример нормированного пространства Х и такихлинейных ограниченных операторов А:АБХ---+Х и Б:Х---+Х, чтоi: БА.Взадачах156.доказать156-162Если А: Х х У---+ Z -сформулированныеутверждения.линейный ограниченный оператор, тосуществуют и притом единственные такие линейные ограниченныеоператоры А 1 :Х---+ Zи А2 :У---+ Z,что для любого элемента(х; У) Е Х х У имеет место равенствоА(х; У)==А 1 (х)+ А 2 (у).Для норм операторов А, А 1 и А 2 выполняются неравенства157.Если А 1 :---+ ZХи А2 :операторы, то оператор А(х; У)==У---+ Z -ется неравенствоIIAII~+ А 2 (У)А 1 (х)ограниченным оператором из Х х У влинейные ограниченныеZ,является линейными для его нормы выполня-IIA 1 11 + IIA2 11·158.
Множество ограниченных билинейных отображений f: Х хх У ---+ Z образует подпространство линейного пространства всех билинейных отображений Х х У ---+ Z.159. Множество g2(X, У; Z) ограниченных билинейных отображений f: Х х У ---+ Z является нормированным пространством снормойхIlfll == inf {с:Ilf(x, У) Ilz ~cllxllx Ilylly }.160. Для всякого ограниченного билинейного отображения f:У ---+ Z и любых х Е Х, У Е У выполняется неравенствоIlf(x;y)llz ~161.Х хIlfllllxllxllYlly·Для того чтобы билинейное отображение произведения нормированных пространств было ограничено, необходимо и достаточно,чтобы оно было непрерывным.162.Если пространствоZбанахово, то пространствоg2(X, У; Z)ограниченных билинейных отображений также банахово.163.ниеf:формулеЕслиf -При фиксированном элементе х Е Х билинейное отображеХ х У---+ Zзадает линейное отображениеfx(Y)detfx:У---+ Zпоf(x; у).ограниченное билинейное отображение, тоIlfxll~Ilfllllxll·Гл.428164.1-Пусть4.Введение в ФУНffциональный анализ1:ограниченное билинейное отображениеХ хх Х х У ---+ Z и F: х ---+ Iх, х Е Х (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
