1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 69
Текст из файла (страница 69)
ПоложимХl1JЛХ) dx JЛХа + t(Xl - ха)) dt.defХааТогда, если непрерывное отображениеке [ха; Хl] сильную производнуюJf'(x) dxf',Хf:-+У имеет на отрезнепрерывную по Х, тоХl=f(Xl) - f(xa)Ха(формула Ньютона-Лейбница).ОТВЕТЫДа; 2),3) нет.78. 1),4); 5) Да; 2, 3) нет.5) Нет; 2),4), 6) да. 86. р ~ q. 101. Нет. 131. Нет.Да; 4), 5) нето141. 1) 1 - cos 1; 2) 1; 3) 1077. 1),4), 5)85. 1), 3),140. 1)-3)142. 1)-3)IIAII == 1;IIAII == е - 10143.1),2) IIAII ==4)IIAII == IICPllc[a;l];5)IIAII == 2/7Г;6)145. Для всех а > О: IIAII == 10146.
Последовательность (аl; 000; а n ; 000) ограничена, IIAII10174. (f'(x))(h(t)) == cp(t)h(t)o175. 1) f' (cos t) == cos sin t; 2) f' (О)176. (f'(xa))(h(t)) ==Ь; 3),nf' (1n t) == tt+l оJ[aF(t; x~~); xo(t)) h(t) + aF(t; x~~:; xo(t)) h' (t)] dt,Ь,===== sup lanlo1h Е С [а; Ь].а194. (f'(t))h = h"+ hcost,(f(k)(t))h k = sin (t + k; )h k , k ~ 2,nf(t+ h)= sin t+ h" + hcost + Lk=228Под ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.3n sin (t :!kJr/2) h k + o(h n ),h ---+О.Гл.4344.§ 20.Введение в ФУНffциональный анализГильбертовы пространстваСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Пространства со скалярным произведением.
Пусть Х-действительное линейное пространство. Функцию (х; у), определенную на Х х Х, называют Сffалярным произведением, если для любыхточек х, У,zЕ Х и любых действительных чисел А,J-Lвыполняютсяследующие свойства:1)2)3)4)ffоммутативность: (х, у) == (у, х);линейность: (АХJ-LY, z) == А( х, z) J-L(Y, z);неотрицательность: (х, х) ~ О;невырожденность: если (х, х) == О, то х == о.++в случае комплексного линейного пространства функцию называют Сffалярным произведением, если выполняются условияа вместо 1) условие:(х, У)1')2), 3)и4),(у, х).==Если для функции (х, у) выполняются только условияответственно условия1'), 2), 3)),1)-3)(сото ее называют почти Сffалярнымпроизведением.
Иначе говоря, почти скалярное произведение в случаедействительного пространства-это симметричная неотрицательнаябилинейная форма.Если (х, У)ционал-скалярное ( почти скалярное) произведение, то функ-Ilxll ==J(x, х)(1)является нормой (полунормой) на пространстве Х (см. задачу5из§ 20).Углом между элементами х1: Ои у1: Олинейного пространствасо скалярным произведением называют такой угол ер Е [0,7Г], что(х, У)cos ер == Ilxllllyll.Линейное пространство со скалярным произведением называютгильбертовым, если оно полно в смысле метрики, порожденной нормой (1).Два линейных пространства со скалярным (почти скалярным) произведением называют изоморфными, если они изоморфны как линейные пространства и существует отображение, осуществляющее этотизоморфизм и сохраняющее скалярное (почти скалярное) произведение.2.Ортонормированные базисы.Ряды Фурье.
Элементы хи у линейного пространства с почти скалярным произведением называют ортогональными, если (х, У) == о.Систему элементов {Ха}, а Е U (U - некоторое множество индексов), этого пространства называют ортогональной, если каждыеГuльбертовы пространства§ 20.435два ее различных элемента ортогональны. Если, кроме того, нормалюбого ее элемента равна единице:Ilxall ==1 VaЕU,то ее называют ортонормированноЙ.Если {е а }, а Еортогональная система в линейном простU, -ранстве Х со скалярным произведением, е ах Е Х, то числа==аа1:о для всех а ЕUи(Х,еа )(еа, еа)называют Jliоэффициентом Фурье элемента х по данной ортогональной системе.00LЕсли эта система не более чем счетна: {е n }, n Е N, то рядназывают рядом Фурье элемента х по данной системе.Ортогональную систему {е а }, а ЕнейномпространствепространственесоU,СJliалярнымсуществуетn=1называют заМJliнутой в липроизведением,элемента,аnе nотличногоотеслинулявиэтомортогонального к каждому из элементов этой системы.Если Ха-подмножество линейного пространства Х со скалярным произведением, х Е Х и ха Е Ха такой элемент, чтоIlx - xall == inf о Ilx - yll,уЕХто его называют элементом наилучшего приближения элемента х вподмножестве Ха пространства Х, а число== inf Ilx - yllЕn(х)-наилучшимуЕХ оприближениемэлементахкуказанномуподмножеству.Подмножество линейного пространства Х со скалярным произведением называют его заМJliнутым nодnространством, если оно является подпространством Хкак линейного пространства и, крометого, является замкнутым подмножеством.
Пространство Х называют прямой суммой его замкнутых подпространств У иХ==у ЕВZ, если Х==у+z(см.§ 19,п.1)Zи пишути каждый элемент х Е Х== У + z. Для всякого множества Е с Х множество E~ def {х Е Х: (х, У) == о Vy Е Е} называютединственным образом представим в виде хортогональным дополнением множества Е.ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ00При м е р 1. Пусть рядLл n сходится, Оn=1Доказать, что в линейном пространстве Х< лn <1, n== 1,2, ...всех последовательнос00тей х n Е R, n == 1,2, ... , для которых сходится рядLn=128*x~, функционалn=100(х, У) ==LЛnХnУn(2)Гл.4364.Введение в ФУНffциональный анализявляется скалярным произведением и что пространство Хс этимскалярным произведением не является гильбертовым.А Выполнимость аксиом скалярного произведения для функционала(2) проверяется непосредственно.
Покажем, что последовательность х(n) == (x~т); ... ; x~); ... ), где x~) == 1, если 1 ~ m ~ N, и x~) == о,если m > n, фундаментальная, но не сходящаяся. Пусть задано с > о.00LИз сходимости рядал n следует, что существует такой номер n Е ,n=1чтоПоэтому приIlx(n+k) -n> nЕx(n)11 =иk~ О имеемJ(x(n+k) -х(n),х(nН)х(n))-=Jт~1 Лm ~ Jт~+1 Лm < с,=т.
е. последовательность (х(l); ... ; х(n); ... ) фундаментальная. Пусть су-ществуетlim х( n)n---+оо== а == (аl; ... ; а т ; ... ) . Тогда из сходимости ря-00Lдаa~ следует, что существует такое ПО, что при nт=1полняется неравенство а n< 1/2,а поэтому инеравенствопо00Ilx(n) -al1 ==2L(3) т=1Lлm(х~) - а т )2 ~nL+> ПО выл m (1- а т )2т=1л m (l - а т )2по):т=nо+lL+л m (1- а т )2 + ~т=1nLЛmОт=nо+lЗдесь первое слагаемое в правой части неотрицательно, а второеприn ---+00в силу условиялn>О стремится к положительномупределу.
Следовательно, предел всей правой части приn ---+00положителен, в то время как предел левой части равен нулю. Отсюда явствует, что последовательность (х(l); ... ; х(n); ... ) не имеет предела.АПри м е рХ --{х(n) --2.Доказать, что множество(х(n).1 ,... .,х(n).m ,... ) Е l 1 .. х(n)m==при nОi: т,x~n) == 1 + 1/n}является ограниченным замкнутым множеством в пространстве(3)l2,в котором нулевой элемент пространства не имеет элемента наилучшего приближения.§ 20.Гuльбертовы пространстваА Скалярное произведение в пространствеl2437задается формулой00(х,у) == LXnYn'х == (Х1; ... ;х n ; ... ),У == (У1; ... ;Уn; ... ) Е l2(4)n=1(см. ниже задачу 15).Поэтому из (3) и (4) следует, чтоIlx(n)11 =J(x(n),x(n)) = 1 + 1/n ~ 2.Следовательно, множество Х ограничено, inf Ilx(n) nжестве Х в силу(5)(5)011 ==нет элемента с нормой, равной1.что Х lim x(n k)замкнутое множество.
Пусть X(n k ) Е Х, k== х. Если х == (Х1; ... ; х n ; ... ), тоk---+oo12Ilx(n k) - xl1 == 1 + - - x nk + Lx~.nkn-::j:.nkПосколькуНm Ilx(n k) -k---+ooxll ==О,Нm х nn---+оо==О1 и в мноПокажем,== 1,2, ... ,и(6)ито равенствономеров(6) возможно только в случае, когда последовательность(n1; ...
; nk; ... ) ограничена сверху, и, следовательно, последовательность (х(n 1 ); ••• ; x(n k); ... ) содержит стационарную подпоследовательность, все члены которой равны некоторому элементу х(n о ) ЕЕ Х, а тогда lim X(n k) == х(n о ). Это означает, что множество Х соk---+ooдержит все свои точки прикосновения, т. е. является замкнутым.При м е р3.Доказать, что если У-Азамкнутое подпространство линейного пространства Х со скалярным произведением, то егоортогональное дополнение У -.l также является замкнутым подпространством пространства х.А Если Zl Е У -.l, Z2 Е У -.l, то для любых чисел Л1, Л2 И любогоУ Е У имеем(Л1 Z 1поэтому Л1 Zl+ Л2 Z 2, У) == Л1 (Zl, У) + Л2(Z2, У) == О,+ Л2 Z2Е У -.l.
Замкнутость множества У -.l следует изнепрерывности скалярного произведения (см. задачу 25): еслиЕ У -.l И lim zn == Z, то для каждого У Е У будем иметьn---+оо( Z, У)== (nlim---+00Zn, У)== nlim---+00(Zn, У)== nlim---+О==О,00т. е. ZEY-.l. АПри м е р4.Доказать, что если00Ym={Y=(Yl;oo.;Yn;oo.)E12: LYk=O},k=lZm == {z == (Zl; ...
;zn; ... ) Е l2: zn == ОVn> 1},znЕГл.4384.Введение в ФУНffциональный анализmто при любом(7)Будет ли множествоZmортогональным дополнением подпространства Уm в пространствеАУ == (Уl; ... ; уn; ... ) Е Ут , z(Zl; ... ; zn; ... ) Е Zm и имеет место формула (7), то для всех n х n====Если+ Zn·уnхl2?(хl; ... ; х n ; ... ) Е l2,==Из этой системы следует, что для всеххnДля того чтобы выразить Уl иниямиУlИз них С помощью==УlТаким образом,х== у + z,ла(7).l2==но- ... -Zl через х, воспользуемся соотноше-хт ,== Ут + Zm,хlУl==+ Zl·Zl==хl+ Х2 + ... + х т ·И представление элемента х Еl2 В видегде у Е Ут , Z ЕПодпространство(а; -а; О; О;(у, z)(8)получимподпространства Ут ниу>1уn·+ ... + Ут == О,(8)-Х2==n======Zm, единственно, т.
е. имеет место формуZm не является ортогональным дополнениемпри каком m > 1, так как... ; О; ... ) Е Ут ,2а ~ ОприZ==(а; О; О;... ; О; ... ) Е Zm,m == 2, 3, ... ,а ~ о. АЗАДАЧИВ задачах1.1-18доказать сформулированные утверждения.Для каждого элемента х пространства с почти скалярным произведением имеет место равенство (х, О)2.Почтискалярноепроизведениев==о.действительномлинейномпространстве является билинейным отображением, а в комплексномне является.3.Для почти скалярного произведения в действительном (комплексном) линейном пространстве справедливо неравенствоI (х,у) I ~ J(x, х) J(y, у)(неравенство Коши-БУНЯJliовСJliого).4.Для почти скалярного произведения справедливо неравенствоJ(x + у, х + у) ~ J(x, х) + J(y, у).5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
