1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 73
Текст из файла (страница 73)
,такие постоянные СП и C~, что для всех х ЕRсуществуютвыполняется нера-Гл.4544.Введение в ФУНffциональный анализвенство(3)fЕслиЕ В', а функция Ф удовлетворяет условиюведение Фопределяют формулой(3),то произf(фf, ер)==(ер, фер)(если ер Е В, то фер Е В).Для преобразования Фурье производной и производной преобразования Фурье обобщенных функций медленного роста имеют местоформулыF(n) == (-i)n F(x n f).(4)ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е рf:Х-+У-1.Доказать, что если Х и Уотображение Х в У и==/ве Х, то совокупность всех образовнекоторые множества,-{А}f(A)-фильтр на множестмножеств А фильтра/является фильтром на множестве У.А Обозначимf(/) множество всех множеств вида f(A), где А ЕЕ /.
Пусть В 1 Е f(/) и В 2 Е f(/). Тогда существуют такие А 1 Е / иА 2 Е /, что В 1 == f(A 1 ), В 2 == f(A 2 ). Из определения фильтра следует,что существует такое А Е /, что А с А 1 n А 2 , а тогда f(A) с f(A 1 nn А 2 ) с f(A 1 ) n f(A 2 ) == В 1 n В 2 и В == f(A) Е f(/). Таким образом,первое условие определения фильтра выполнено. Далее, если В Ет. е.
В ==того, чтоf i:При м е рi:А Е /, и поскольку Ае, то и Ве, следует, что f(/)е. Аf(A),i:2.Доказать, что еслифункция, то функционал(1)f -i: е.f (/),Наконец, излокально интегрируемаяявляется обобщенной функцией наА Прежде всего, определение(1)D.имеет смысл для любой функции ер Е D: если ер Е D, то существует отрезок [а; Ь] ~ supp ер, причем функция ер, будучи непрерывной, ограничена на [а; Ь], т. е.
су>ществует такая постоянная сО, что для всех х Е [а; Ь] выполняется неравенство If(x)1 ~ с. Поэтому на [а; Ь] верно неравенствоьlf(x)ip(X) I ::::: clf(x)l, а значит,JIj(x)ip(x)1 dx сходится. Вне [а; Ь] имеJ j(x)ip(X) dx совпадает с JIj(x)1 dx.аем Ij(x)ip(X) I = о, поэтому+~Ь-~аСледовательно, он абсолютно, а потому и просто сходится. Линей-ность функционала(1)следует из линейности интеграла. Докажемнепрерывность этого функционала.
Пустьlimn---+~существует такой отрезок [а; Ь], что для всехто включенияsupp ерnС [а; Ь] иsupp ерnерn==ер В== 1,2, ...D.Тогдаимеют мес-С [а; Ь]. Следовательно, в силуТоnологuчеСffuе пространства. Обобщенные ФУНffЦUU§ 21.равномерной сходимости ерn+СХ)<р) - (f, <Рn) 1::;;1(f,Ьер имеем[а;Ь]J f (х ) <р (х) - <рn (Х111)1dx=-СХ)Jf (х ) ер (х) - ер===4111Ьn (Х ) dx ~1аПри м е р455su рер х)ер ХJf (х ) dx -+ о. А1( - n ( )1Ь][ а.'а11n---+ СХ)Найти производную ФУНJliЦUU Хедuсайда3.() ()х1,== { О,е сл иеслих ~ О,х < о.А Функция ()(х) локально интегрируема и потому может рассматриваться как обобщенная функция (см. примерзуя определение(2),2 ).Поэтому, испольполучаем+СХ)J8(х ) <р' (х) dxJ<р'(х) dx(8' , <р) = - (8, <р') = -=+СХ)-СХ)= -т.
е.==()'д. АПри м е рА Ll(i, <р)=<р(О)=(8, <р),<р Е D,о4.= (1,Найти преобразование Фурье единицы.ер)Jdy vh- J<p(x)e-+СХ)=+СХ)-СХ)== YI2; [ ~+СХ)-СХ)dx =-СХ)+СХ)Jdy Jер(х2кixy)eiy(t-x)dx]It=O== YI2; F- 1 (F( ер)) It-o ==--СХ)== YI2; ер( t) I t=o == YI2; ер(О) == YI2; (д, ер).Таким образом, i == V2П"д. АПример 5.
Найти преобразованиеФурье функцииf(x) ==х.А Здесь речь может идти только о преобразовании Фурье функцииf(x) ==х, рассматриваемой как обобщенная функция, так как кэтой функции неприменима формула классического преобразованияФурье.Заметив, что F(l)(4)получим== дV2П"(см. пример 4), в силу второй формулыF(x)=F(x.1)=iF'(I)=iyl2;8'.АЗАДАЧИВ задачах1.1-13доказать утверждения.Метрическое пространство является хаусдорфовым топологическим пространством, если под его топологией понимать совокупностьрики.всехегооткрытыхмножеств,определяемыхспомощьюметГл.456и2.
Если D D с D 1 С П,4.Введение в ФУНffциональный анализбаза топологии П топологического пространства ХтоD1также является базой топологии этого пространства.Если Х3.-{G}топологическое пространство с топологией П ==и Е с х, то множество Е является топологическим пространством стопологией П Е =={G n Е}, GЕ п. Топологию П Е называют топологией, индуцированной топологией П пространства Х на его подмножестве Е.4.
В метрическом пространстве базой его топологии (см. задачу 1)является совокупность всевозможных Е-окрестностей всех его точек.5. В метрическом пространстве базой его топологии (см. задачу 1)является совокупность всевозможных Е-окрестностей всех его точек,гдеЕ-6.рациональное число.В сепарабельном метрическом пространстве существует счетная база его топологии (см. задачу7.1).Для любой точки метрического пространства ее локальную базу топологии образуют все Е-окрестности этой точки, где Е ==n == 1,2, ...8. Объединение1/n,локальных баз топологии всех точек топологического пространства образует базу топологии этого пространства.9.Объединение двух топологий одного и того же множества может не быть его топологией.10.Объединение конечной совокупности и пересечение любой совокупности замкнутых множеств является замкнутым множеством.11.Замыкание любого множества в топологическом пространствеявляется замкнутым12.множеством.Замыкание любого множества в топологическом пространстве содержитсявмножество,е.т.каждомзамкнутомзамыканиедержащим его замкнутым13.ва,являетсяминимальнымсомножеством.множеством.Привести пример неотделимого топологического пространств котором15.множествасодержащем данноеВ хаусдорфовом топологическом пространстве каждая точкаявляется замкнутым14.множестве,каждая точка является замкнутымДоказать, что если Х-множеством.бесконечное множество и топологияна Х состоит из дополнений ко всем конечным подмножествам множества х, то любое бесконечное множество плотно в х.16.Доказать, что в хаусдорфовом топологическом пространствепоследовательность17.Пусть Хности точки-точек может иметьтолько один предел.множество всех функций Х:[О;1] ---+ R.ОкрестХа Е Х определим следующим образом: зададим про-ТоnологuчеСffuе пространства.
Обобщенные ФУНffЦUU§ 21.извольноtkЕЕ [О; 1],457> О И выберем какое-либо конечное множество точекk == 1,2, ... , n. Окрестность U(Ха; Е; tl; t2; ... ; tk) точки хаопределим как совокупность всех таких функций Х Е Х, что для всехk== 1,2, ... , nвыполняется неравенствоIx(tk) - xa(tk)1 < Е.Получившееся топологическое пространство обозначим М[О;казать, что для того чтобы в этом пространствеlimn---+оодимо И достаточно, чтобы для каждой точкиравенствоlim Х n (t)n---+оо==Е [О;t1]Хn== Х,1].Донеобхоимело бы местоха (t)(иначе говоря, сходимость последовательности функций в построенном пространстве М[О;1]означает поточечную сходимость этой последовательности) .18.Доказать, что если Хn == 1,2, ...
,Х N Е Е,19.и Ха==- топологическоеlim Х n , то Ха Е Е.пространство, Е с Х,n---+ооПривести примеР-.20пологического пространства, его подмножества Е и точки Ха Е Е, дЛЯ которых не существует такой последовательности Х n Е Е,20.дачудачучтоlimn---+ооХn==Ха.Доказать, что в топологическом пространстве М[О;17)21.n == 1,2, ... ,1] ---+ R.М[О; 1] (см.плотно множество непрерывных функций Х: [О;Доказать, что в топологическом пространстве17)1] (см. зазане всякая функция из этого пространства является в немпределом последовательности непрерывных функций.22.Описать все сходящиеся последовательности топологическогопространства, точками которого являются действительные числа, абаза топологии состоит из следующих множеств:1)2)3)4)5)6)всех одноточечных множеств (дискретная топология);всех интервалов;всех полуинтервалов, открытых слева;всех открытых полупрямыхвсехвсех23.(t; +(0);замкнутых полупрямых [t; +(0);полуинтервалов вида [n; n + 1), nЕz.Доказать, что пересечение любой конечной совокупности множеств, принадлежащих некоторому фильтру, не пусто.Проверить, что множества, перечисленные в задачах24-27,образуют фильтры.24.Е-окрестности (Ха - Е; Ханой точки Ха Е25.+ Е)на числовой прямойRзаданR.Проколотые Е-окрестности (Ха - Е; Ха)вой прямой заданной точки Ха ЕR.U (Ха; Ха+ Е)на числоГл.45826.27.4.Введение в ФУНffциональный анализ/3 > 1.(1; /3),Интервалы вида++Подмножества А n == {n1; n 2; ...
} множества натуральныхчисел N (этот фильтр называют натураЛЫ-lЫМ фильтром и обозначают F N ).Проверить, что множества, перечисленные в задачахзуют полные фильтры (х28.1 ==-28-30,образаданное множество).{А I х Е А с х}, где х -фиксированный элемент мно{В I А с В с х}, где Афиксированное подмножествожества х.29.1 ==-множества х.30.Дополнения в множестве натуральных чиселдо всевозможNных конечных подмножеств (этот фильтр называют фильтром Фрешеи обозначаютВ задачах31.32.IN).31-44доказать сформулированные утверждения.Фильтры в задачахЛокальнаябаза24-27не являются полными.топологиилюбойточкитопологическогопространства является фильтром.33.точка,Если Хтопологическое пространство, х--его предельнаялокальная база топологии в этой точке, аD(x) -оD(x) -оомножество всех проколотых окрестностей U(х) этой базы: U(х)==U(х)\{х}, тооD(x)образует фильтр.34.Фильтры в задачах35.ЕслиD(x) -27и30эквивалентны.локальная база топологии точки х метрического пространства, состоящая из всех ее Е-окрестностей, аD o(х) -еелокальная база топологии, состоящая только из Е-окрестностей радиуса Е == 1/n,причем фильтрn == 1,2, ...
, то фильтры D(x) и Do(X)Do(X) является базой фильтра D(x).фильтр36.Натуральный37.Всякий фильтр является базой некоторого полного фильтра.38.ЕслиFNфильтра Фреше (см. задачу 30).стве Х 2 и{Сзадачу27)фильтр на множестве х 1 ,11 -1 ==(см.эквивалентны,== Ах В IА Е11,В Е12 12}' то 1являетсяфильтр на множеявляется фильтромна произведении Х 1 х Х 2 множеств Х 1 и х 2 . (Фильтрпроизведением фильтров39.Если Х==N -11, 12И пишут1 == 11базойХ1называют12.)множество натуральных чисел с дискретнойтопологией (каждая точка является открытым множеством), то натуральный фильтрF N (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
