1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Найти limа---+Оcos ах) е Х sin а dx.-7rА Так как подынтегральная функция непрерывна в прямоугольникеК=={(х;а):-1Г~x~1Г, -l~a~l},Jf(x; О) dx, где7rТО искомый предел А равен-7rf (х; о) ==+ cos ах) еlim (ха---+ОСледовательно,J(х + 1) dxХsinа==Х+ 1.7rА==21Г . •-7rПри м е р2.Вычислить интеграл1- Jх11 ха2а1-nxdx,ОАРассмотрим функциюf(x;==а)ха. Эта функция непрерывнав прямоугольнике К == {(х; а): О ~ х ~ 1, а1 ~ а ~ а2}, где а1Применяя формулу (5), получаем> о.(8)а1ООа1Гл.3263.Интегралы, зависящие от nара.метра.
Интеграл Фурье1Так как jx a dx ==о,то левая часть формулы1а+1а2(8)равна jdaа1а+1== ln 1 + а2 . Правая часть формулы (8) равна 1, так как1 + а1Следовательно,1 == ln 1 + а 2 • А1 + а1Пример3.Найти 1'(0:), если I(o:)2jе=ах2а::1АПрименяя формулуполучаем(6),221'(0:)==jeax2ах 12е 4аxdx==_e_ ==2а1_еа2а. А1При М е р4.Вычислить интеграл7r/2jI(o:) =ln(sin 2 х + 0:2 cos 2 х) dx,о:-::f-о.оАПусть о:>Ои о:1: 1.Так как функцияf(x; 0:) == ln(sin 2 х + 0:2 cos 2 х)непрерывнаиимеетнепрерывнуюпроизводнуюaf(x; а)даугольникегде 0:1> О,то по формуле(6)j22а cos хsin 2 хОИспользуя подстановкуt == tg х,+~jl' (0:) - 20:-dt(t 2 + 1) (t 2 + а 2 )прямо-получаем7r /2l' (о:) ==ва2-dx.находим2а-+ а 2 cos 2 х-+~1Оj (t21+1_1t2 + а2dt -)-О==2аа2-1(arctgt - -1 arctg -t)I+~ ==ааО1га+1,откуда1(0:) ==Так как1гln(o: + 1) +с.1(0:) - функция, непрерывная при о: > О, и 1(1) == О, то С ====-nln2.
Следовательно, 1(0:)==nln((0:+1)/2) при 0:>0. Учитывая,что 1(0:) - четная функция, отсюда получаем 1(0:) == 1г ln( (10:1 + 1) /2),если о:1: о.АСобственные интегралы, зависящие от nара.метра§ 13.sinПример 5. Найти Ф'(а), если Ф(а)j=cosА По формулеФ' (а)= cos а· shаshax 2 dx.анаходим(7)(а sin а)2sin+ sin а·327sh (а cos а)j+2cosах 2 ch ах 2 dx . •аЗАДАЧИ1.Доказать, что функция I(а) непрерывна на11) [(а) =j sin22ах dx; 2) 1 (а) ==2Найти предел:11) limа---+Оесли:х2-1-+-x-2-+-0:-x2 4 dx.-1О2.jR,j J1+1а 2 х 4 dx ;2) lim j Jx 2а---+О+ а 2 dx;-1О43) lim jа---+121.
4) limxdx21+х+ 0:6'а---+1jx 2 eax3 dx·'О7r+ а)х dx.5) lim jx cos(lа---+ОО13.наR.4.jДоказать, что функция I(а)sign (х - а) dx непрерывнаОПусть функцияf(x)значения на отрезке [О;1].непрерывна и принимает положительныеДоказать, что функция11 (а) ==jОразрывна при а5.==х2о:+0:2f (х) dxо.Выяснить, справедливо ли равенство11lim jf(X; а) dx == j lim f(x; а) dx,а---+Оа---+ОООесли:1) f(x;6.а)==2) f(x;Пусть функция< х < Ь.f(x)а)2ха 2== -(0:2+ 2)2·хнепрерывна на отрезке [а; Ь] и аДоказать, чтохlim~ j [! (t + а)а---+О о:- f (t )] dt == f (х) - f (аО ) .<ао<Гл.328Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурье3.Пусть{ерn (х)}последовательностьфункций,интегрируемых по Риману на отрезке [а; Ь] и принимающих на этом7.отрезкенеотрицательныемножестве Е=={х: Означения,<дIxl~~равномерносходится1} при любом д> О,кнулюнапричем1jlimn---+ооер n ( х) dx == 1.-1Доказать, что для любой непрерывной на отрезкецииf (х)[-1; 1]функсправедливо равенство1limn---+ооjf (х ) ер n ( х) dx == f (О) .-1Выяснить, равны ли интегралы8.11j ( JЛХ; а) da) dxо11j ( j f(x; а) dx ) da,иоооесли:1) f(x;==а)а?-х22) f(x;а)+ х )2 '52 З3) f(x;a) == (~ - ~) e- x2ja .ааЗ(а 22==а - х(а+ х)З'4Пусть функция f(x; а) при каждом а Е [а1; а2] интегрируемапо х на отрезке [а; Ь], и пусть на этом отрезке существует функ9.ция ер(х) такая, чтоНmf(x;а)а---+ао== ер(х),где ао Е [а1; а2], равномерноотносительно х Е [а; Ь].
Доказать, что:ЬЬlim j f (х; а) dx1)а---+аоа== j ер ( х) dx ;аЬЬ2) lim jf(x; a)g(x) dxа---+ао== jep(x)g(x) dx, где g(x) - функция, ин-аатегрируемая на отрезке [а; Ь].10.Пользуясьформулой1arctg хjхОрал1jО11.вычислить ин-da1 + х2 а2'arctg х dx.xvl - х 2Пользуясь формулой1 1 а + bsinxsinx n а - bsinx1== 2аЬ!Оа2-dtb2 t 2 sin 2 х 'Собственные интегралы, зависящие от nара.метра§ 13.где а> Ь > о,329вычислить интеграл7r/2Jln а + Ь S~ll Ха-dxЬ Slll ХSlll Хо1)> о,Пусть а12.jЬ> о.~) х\:ххsin (lnВычислить интеграл:аdx; 2)о13.jНайти1) 1(00) =l' (а),если:Jsin(ax) dx;2) 1(00) =31JchЗ23) 1 (а) ==Jcos~x ) dx;ЗоJdx4) 1 (а) ==е а х -;-;214(а х2dx .) -;-2Найти Ф'(а), если:Jln(l : ах) dx;а1) Ф(а) =Jsinxax dx;2а2) Ф(а) =оФ(а)аcos аа2Jdx; 4) Ф(а)Jе",х dx;J е",4 2 dx; 6) Ф(а) J ln(l + а х ) d: ;3) Ф(а) =5)~) xblnxxa dx.о114.cos (lne",v'1-xsin аsin а=cos2=2Заейх2 2=ааейJ ln(l + а х ) dx;J ln(l + х + dx.7) Ф(а) =sh2 2а28) Ф(а) =(02)cha15.МожноливычислитьпоправилуЛейбницапроизводнуюфункции11(00) =Jln(x2+ (02) dx при а = О?о16.Пусть функцияF(x) == ~2а-анаR,fнепрерывна наR.Доказать, что функцияJf(x + t) dt, где а > о, имеет непрерывную производнуюаи найтиF' (х ) .Гл.3303.Интегралы, зависящие от nара.метра.
Интеграл ФурьеС помощью дифференцирования интеграла17.Jвычислить интегралJх2dx+а2по параdxOb> О,метру а, где аь(х 2+ ( 2 )2•ОПрименяя дифференцирование по параметру18.а,вычислитьинтеграл l(а), если:7r/2J ln(00 sin ip) dip, а >I(oo)Jln(1 + 002) dx,а) == J+ а х ~, а <4) l(а) == Jdx.21) I(oo) =2-1;О7r2)200 cosx=1001< 1;О7r3) 1 (ln 1coscos х cos ха1-I I1;О7r/2arctg(atgx)tgxОПусть функция19.а) непрерывна в прямоугольникеf(x;К=={(х;а): a~x~Ь, а1 ~a~a2},а функцияg(x)интегрируема на отрезке [а; Ь].
Доказать, что:Ь1) функция F(oo) =Jf(x; oo)g(x) dxнепрерывна на отрезкеа[а1;а2];а22)Ьа2JF(oo) doo J(Jf(x; oo)g(x) dOO) dx;=аl3)афункцияаlнепрерывноF(a)[а1; а2], причемдифференцируеманаотрезкеьF'(oo) =J af~~OO) g(x)dx,апри дополнительном условии, что функция af(x; а) непрерывна вдапрямоугольнике К.J(х + oo)f(x) dx, где f(x) а20. Пусть F(oo) =дифференцируеОмая наRфункция. НайтиF"(a).ь21. Пусть F(a) =Jf(x)lx -001 dx, где f(x) -аотрезке [а; Ь] функция. НайтиF" (а).непрерывная наСобственные интегралы, зависящие от nара.метра§ 13.22.hПусть F(oo)=h(! h(~ + 'fJ + а) d'fJ) d~,~2!анепрерывная наR331где h > О, f -афункция.
НайтиF"(a).fПусть функциянепрерывна на отрезке [а; Ь], ха Е (а; Ь), х Ео. Доказать, что функцияЕ (а; Ь), k23.1:у(х)~=! f(t)Хsin k(x - t) dtХаудовлетворяет дифференциальному уравнению у"+ k 2 y ==f(x).fПусть функциянепрерывна на отрезке [а; Ь], Ха Е (а; Ь), х ЕЕ (а; Ь). Доказать, что функция24.F(x) = (n! (х - t)n-l f(t) dt,Х~ 1)!гдеnЕ N,Хаудовлетворяет условиямF(xa) == F'(xa) == ...
== F(n-l)(xa) == о,25.Доказать, что функция!F(n)(x) == f(x).7ru(r) =enrcosOdBапри любомnЕZудовлетворяет уравнению2-ddru2 + -r1 -dudr26.2n u ==о.Доказать, что функция и(х) удовлетворяет уравнению Бесселях 2 и"+ хи' + (х2-n 2 )и==о,если:1)u(х)7r~! cos(n'P-хsiП'Р)d'Р, n Е=N;а7r2) u(х) = х n!cos(xcos'P) sin 2n 'Pd'P, nЕ N.а27.Рассмотрим полные эллиптические интегралы7r/27r/2E(k)==!J1-k2siп2'Рd'Р,K(k)агде О< k < 1.1) E'(k) =2) E"(k)F(k)=!аДоказать, что:Е ~ к,K'(k) = k(l ~ k 2 )+ ~ E'(k) + 1E~k~2=О;кk 'J1-dep,k 2 sin 2 ерГл.3323.Интегралы, зависящие от nара.метра. Интеграл Фурьеk3) j tK(t) dt = E(k) - (1 - k 2 )K(k);оk4) j tE(t) dt = ~ ((1 + k 2 )E(k) - (1 - k 2 )K(k)).о28.SlnX== - -Пусть ер(х)при хХ1: О,ер(О)== 1.Показать, что:х21) xM 1 cp(n J (x) = jtncos (t+ n 1Г) dt, n Е N, х Е R;о2)29.lep(n)(x)1 ~,n Е N, х Е R.1n+lПусть функция ер(х) и ее производная ер' (х) непрерывны наотрезке [О; а], и пустьt==F (t)jоДоказать, что приtvtП усть К(х .),у~Е (О; а) справедливо равенствоF' (t) == ер (О)30 ·ер (Х ) dx .== {Х(lу(lнепрерывная на отрезке [О;1]+- х),у),_tj,ер (х) dx.~оеслиеслих ~ у,х> у,( )и пусть ер уфункция.
Показать, что функция1u(х)=j К(х; у)ср(у) dyоудовлетворяет на отрезке [О;31.1] уравнению и"(х)Найти дважды дифференцируемую наR==-ер(х).функцию ер(х), удов-летворяющую уравнению:х1) ср(х) =х+ j(y-x)cp(y)dy;ох2) ср(х) = 1 + л j (х - у)ср(у) dy, л> О;ох3) ср(х) = л j (х - у)ср(у) dy+ х 2 , Л > О.оху32. Найти F~/y(X; у), если F(x; у) = j (х - yt)f(t) dt, где f(t) дифференцируемая функция, у1: о.х/у§ 13.33.Собственные интегралы, зависящие от nара.метраПустьf -дважды дифференцируемая, а333дифференциF -руемая функция.
Доказать, что функцияи(х; t) == !2 (f(x - at) + f(x + at)) + ~2аx+atJ F(~) d~x-atудовлетворяет волновому уравнениюд u2atи22д u2== а дх 2 'а1: О,следующим начальным условиям:u ( х; О)34.== f (х ) ,и~ ( х; О)Показать, что если функция~ Е [О; а] и (х- ~)2+ у2 + Z2 1: О,и(х; у; z) ==f== F (х ) .непрерывна на отрезке [О; а],то функцияJаf(~) d~о J(X-~)2+у2+Z22д uудовлетворяет уравнению Лапласа дх 22д uд 22д u+ у + az 2 == о.ОТВЕТЫ2. 1) 1; 2) 1; 3) (1п 3) /2; 4) (е - 1) /3; 5) - 2 .5.
1) Нет; 2) нет. 8. 1) Нет; 2) нет; 3) нет.1 о. (1Г / 2) ln (1 + V2"). 11. 1г arcsin (Ь / а) .12. 1) arctЬ- а. 2) ! ln (Ь + 1)2 + 1 .13. 1)g 1 + (а + l)(Ь + 1) ,2(а + 1)2 + 1l' (0;) == а sin а + ~os а - 1; 2) l' (0;) == cos 27 аз3) I' (а) = е 4а-еаа4) I' (а) =;2а14.1) Ф'(о;) == (21n(13)Ф'(оо) =JJх еcosа+ 0;2))/0;;2) Ф'(о;) == 2(sin20;2 - sin0;2)/0;;ааа4) Ф'(оо) =2 ах2Заcos а ;2( ch 9004 - ch 4(04) .V"'-1--x-;:::-2 eavl-x2 dx - sino;·sinаdx+ 2оое а2-3е 9а3 ;ealsinal -coso;·ealcosal;Гл.3348)3.==ф' (а)15.17.Интегралы, зависящие от nара.метра.
Интеграл Фурье(arctgsho:20:vl +vl +0:2- arctg0:2cho:vl +)+0:2+ chaln(ch 2 а + а ) - shaln(ch 2 а + а + 1).Нет.16. F'(x) == (f(x + а) - f(x - а))/2а.1ЬЬ- 3 arctg - +2( 2Ь 2 )·20:о:20: о: +18.1) 7г lnо:+ v0: 2 21; 2) О;2.3) 27Г arCSln а; 4)"21г2sign а ·ln(l+ lal)·== 3f(a) + 2af'(a).21. F" (а) == {2 f (a), если а Е (а; Ь),20.
F"(a)О,22. F"(oo) = f(ooесли- 2~;OO + h)+ 2h)31. 1) ер ( х) == sin х; 2) ер ( х)3) ер ( х) == 2 (ch (х vГл) - 1) / л.32.§ 14.F~/y=а ~[a;~.х(2 - 3y2)f(xy) ++ f(oo) о== ch (х vГл) ;;2 f (:) + х у(1 - у2)Г(ху)о2Равномерная сходимость несобственных интегралов,зависящихотпараметраСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Определениеравномернойсходимостиинтеграла. Вэтом параграфе определение, признаки сходимости и критерий равномернойсходимостиформулируютсяралов видадлянесобственныхинтег-+СХ)J f(x; а) dxo(1)аСоответствующие утверждения аналогично формулируются для других типов несобственных интегралов.Интеграл(1), сходящийся для каждого а Е Е, называют равномерно сходящимся на множестве Е, если для каждого с>Осуществуеттакое число дЕ' что для всех а Е Е и для всех ~ ~ дЕ выполняетсянеравенство+СХ)IJ f(x; а) dxl < СО(2)~Если существует число со>Онайдутся числа ад Е Е и ~д Е [д;такое, что для любого д Е [а;+(0)+(0)такие, что+СХ)IJf (Х; (08) dx) ;::: СО,~8(3)§ 14.Равномерная сходимость несобственных интеграловто интеграл335сходящийся для каждого а Е Е, сходится неравно(1),мерно на множестве Е.Интегралтогда,(1)сходится равномерно на множестве Е тогда и толькокогда выполняется условие+СХ)supJЛХ, а) dx -+ Опри ~ -+ +00.аЕЕ ~2.Признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла.
Если на промежутке [а;что(4)Ij(x; a)1+(0)существует функция ср(х) такая,~ ср(х) для всех х Е [а;и для всех а Е Е, и если+(0)+СХ)интеграл J tp(x) dx сходится, то интеграл (1) сходится абсолютно иаравномерно на множество Е.3.Признак Дирихле равномерной сходимости интеграла.Интеграл+СХ)J f(x;a)g(x;a)~асходится равномерно по а на множестве Е, если при каждом фиксированном а Е Е функции j, g, g~ непрерывны по х на множестве [а; +(0) и удовлетворяют следующим условиям:1) g(x; а)---+О при х---+ +00равномерно относительно а Е Е;функция g~(x; а) для каждого фиксированного а Е Е не меняетзнака при изменении х на промежутке [а; +(0);2)3)функцияjдля каждого а Е Е имеет ограниченную первообразную, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
