1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 48
Текст из файла (страница 48)
1 )~JrPoacJa2+c2; 2) 21ГРО(vГз- ~)a3.4Jrj1oR2а, если а ~ R; а==./2V Ха+ Уа2 + Za;2+ J1, 2R 2), если а :::; R 1 ; 41Г ( ~ + J1,2R2) , если R 141Г (jjl R i + jj2R~), а ~ R 2; а == JХб + У6 + z6.2) 4Jr(J1, l R 1~а~R 2;25. 1):::;а2п jja RlnJR2+(h-z)2+Н-zVR2+ Z2224Jrj1oR (2R )2)1 + - 2 ,если3z5zIzl- Z;.~ R,4Jrj1oR (22z )5R2 ,если31+Izl ~ R.-8п.27.
128/3. 28. 1) -1/24; 2) о.(fl(a) - fl(O))bc + (f2(b) - f2(0))ac + (fз(с) - fз(О))аЬ.1) 4пR З /3; 2) о. 31. 1) -2пR 7 /7; 2) -2пR 7 /105.-пR 4 . 33.8п(а+Ь+с)R З /3. 34. -пR 4 /2. 35. -2п/5.26.29.30.32.36. 1) о; 2) 4паЬс/3; 3) о; 4) 4паЬ/с.37. 1) паЬс 2 /4; 2) 2п(а 2 + Ь 2 )аЬс/5. 38. -ЗпН 4 /2. 39. о.40. -пr 5 /6. 41. (п Н /8 - r /з)т 2 Н. 42. -п /3. 43. -а 4 /3.44. 1) 3аЬс/2; 2) -3а З .
45. 1) 128п; 2) -48п; 3) 56п.46. 1) (а + Ь + с)аЬс; 2) паЬс 2 /2. 47. 1) 3а 5 /20; 2) 12пR 5 /5.48.1) о; 2) пR 6 /3. 50.1) 2а З /9; 2) 2п 2 а 2 Ь; 3) 2п(2а 2 + b2 )lcl/3.51. 1) 12п; 2) п(24 + 7п)/2.52. 1) -пR 4 /2; 2) па 4 /12; 3) -пН 4 /2. 53. о. 54. -R 5 /3.55. о. 57. 2) 4п, если (х; У; z) Е G; о, если (х; У; z) ~ G.61. -паЬ. 62. -аЗ. 63. 1) пvГзR 2 ; 2) 2п. 64. -45а З /8.65. 1) 2v12па 2 sin( п / 4 - <р); 2) 2( а + с)ап. 66. 2па 2 . 67. 2паЬ 2 .68. 3п R 4 /2. 69. -па 2 .
70. о. 71. о. 72. h З .§ 12.Скалярные и векторные поляСПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ1.Скалярное и векторное поле. Пусть П-область в трехмерном пространстве.СJliаЛЯР1-lЫМ полем на П называют числовую функцию u(М), заданную на точках М Е п.BeJlimOp1-lblМ полем на П называют векторную функцию а(М), заданную на точках М Е п.Гл.2962.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыЕсли в пространстве введена какая-либо декартова система координат, то скалярное поле и(А1)или векторное поле а(А1)на Пстановятся функциями координат точек:u(x;y;z),a(x;y;z)~(ax(x;y;z);ay(x;y;z);az(x;y;z)).При выборе другой декартовой системы координат меняются, вообще говоря, координаты точек А1 (х; у;z)на А1 (х'; у';скалярного или векторного поля в точкахu'(x';y';z')~u(x;y;z),z'),но значенияне меняются, т.~a'(x';y';z')a(x;y;z).Множество точек А1, задаваемое уравнением и(А1) ~зываютповерхностью уровня скалярного поляе.const,наи.ВеJliторной или силовой линией векторного поля а называют г ладкую кривую, которая в каждой своей точке А1 касается вектора поля а(А1).
Еслиr~ (х; у;торной линии поля а ~z) - радиус-вектор(ax;ay;a z ), тоdxdydzахауazпеременной точки век(1)(дифференциальные уравнения силовых линий).Пустьr-плоская кусочно гладкая простая*)замкнутая кривая,нигде не касающаяся векторных линий поля а. Поверхность, образованную векторными линиями, пересекающими(,называютBeJlimOp-ной труБJliОЙ поля а.2.СИМВОЛv.циальный символОперации над ПОЛЯМИ. Векторный дифференVназывают набла по обозначающей его букве, атакже символом или оператором Гамильтона.В прямоугольной декартовой системе координатп·vгдеi, j, k -го оператора1ддх+ J·ддуд+ k az'(2)ортонормированный базис.
Координатные символы ЭТОддддх'ду'az -символы частных производных-призамене одного ортонормированного базиса на другой ортонормированный меняются по тем же правилам, что и координаты векторов. Самже операторVне меняет своего вида (2)**) .Градиентом дифференцируемого на П скалярного поля И в точкеА1 Е П называют вектор, обозначаемыйgrad Иили VИ и задаваемыйв прямоугольной декартовой системе координат формулойgradИпиv· дU· дUk дuдх + J дх + az '1(3)где производные поля И вычислены в точке А1(х; у; z).
Значение grad И(А1) в точке А1 не зависит от выбора прямоугольной системы координат, т. е. вектор-функцияgrad Иявляется векторнымполем на п.*)**)Простой называют кривую, не имеющую точек самопересечений.Детальнее см. [9, ч. 2].Сffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ§ 12.297Для производной дифференцируемого поля И в точке М по направлению произвольного единичного вектора1верна формуладUm==(I,gradU).(4)Вводя скалярный дифференциальный символ([, V),имеющий в прямоугольной декартовой системе координат видгде1 == (lx; ly; l z),д(1, \7)lx дхравенство(4)дuдIдд+ ly ду + lz дz '(5)записывают в виде== (1, V) и.(6)Градиент поля в точке М направлен по нормали к поверхностиуровня, проходящей через М, в сторону возрастания поля, и его моIgrad ulдульIVulравен наибольшей производной по направлениюв этой точке.Кроме символа(5)используют аналогичный скалярный диффе-ренциальный символ, имеющий в прямоугольной системе координатвид(7)где Ь== (bx;by;b z )- - произвольное векторное поле.
Результат егоприменения к дифференцируемому векторному полю ададада+ Ь у ду + bz дz '(Ь, \7) а = Ь х дх(8)являющийся вектор-функцией, называют иногда градиентом а по Ь.Дивергенцией или расходимостью дифференцируемого на П векторного поля а в точке М Е П называют число, обозначаемоеили(V, а)и задаваемое в прямоугольной декартовой системе коор-динат формулойгде аdiv а.dlva== (ax;ay;a z )да(\7, а)д:+дад;+дад:'и производные вычислены в точкеЗначения числовой функцииdiv а(9)M(x;y;z).в точках П не зависят от выбора прямоугольной системы координат, т.
е.div а --скалярное полена п.Ротором (говорят также--вихрем, ротацией) дифференцируемого на П векторного поля а в точке М Е П называют вектор, обозначаемый rot а или [V, а] (а иногда V х а) и задаваемый в прямоугольной положительно ориентированной (правой) системе координатформулойrot а[V, а]i(aaz _дуда у )дz_j(aaz _дхда х )дz+ k (да удх_дах ) ,ду(10)где а== (ax;ay;a z )и производные вычислены в точкеM(x;y;z).Гл.2982.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыЗначения векторной функцииrot ав точкахn не зависят от выбора прямоугольных систем координат одинаковой ориентации, номеняет знак при смене ориентацииДля записитель,rot аrot асистемы координат.используют такой же символический определи-как и для векторного произведения векторов:rot а[V, а]ijkддддхдуazахауaz(11)При раскрытии определителя по первой строке результатом "умножения" символов второй строки на элементы третьей является дифференцирование, например,ддуФормулы(3), (9), (10)==.
azaazду.определяют над скалярными и векторными полями три основные дифференциальные операции первого порядка-действияVна скаляр или вектор. Для этих операций используют такие же обозначения, как и для произведений вектора наскаляр или вектор, и обладают эти операции такими же свойствами,как и эти произведения.
Но последнееможности перестановки символаVс учетом, во-первых, невоз-с тем скаляром или вектором, накоторый он действует, и, во-вторых, дифференциального характерасимволаV.Операции(3), (9), (10)линейны.Результатом их применения к произведению двух сомножителейявляется сумма двух слагаемых, в каждом из которыхVдействуеттолько на один из сомножителей. После отметки этого сомножителя(здесь будет использована вертикальная стрелка сверху) к получившемуся выражению применимы все те преобразования, что и для векторных выражений. В итоге преобразований символVи отмеченныйсомножитель должны быть совмещены под знаком одной из операций(3), (9), (10), (7).
После этогоСимвол V может встречатьсяметку можно снять.в выражении не раз, создавая дифференциальные символы второго и более высоких порядков.Для скалярного символаdiv grad(V, V)V2(12)вводят обозначение ~ и называют его оператором Лапласа или лаnласuа1-l0М. Легко надеть, чтолuUСимвол-==[V, V],п2vU==d·lVgrad2Uд u== дх 22д u2д u+ д у 2 + az 2 •(13)как нетрудно проверить, нулевой, что естественнос точки зрения векторной алгебры.
Имеемrot gr ad u == [V, V и] == [V, V] u == О,di v rot а == (V, [У" , а]) == ([V, V] , а) == о.(14)(15)§ 12.Сffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ299Циркуляция и поток векторного поля. Пусть а3.рывное векторное поле в области [2, Гнепре-кусочно гладкая ориентиро-ванная кривая в [2. Линейным интегралом от а ПО Г (работой ПОЛЯвдоль Г) называют интегралj (а, dr) = j ах dxгЕсли Г+ ау dy + a z dz.(16)гзамкнутая кривая, то этот интеграл называют ЦИРffУ-ляцией ПОЛЯ а ПО Г.Пустьn -S - кусочно гладкая ориентированная поверхность *) в[2,единичный вектор нормали к поверхности, задающий ее ориентацию,n== (cos а; cos;3; COS [).nнаправленииПотОffОМ веffторного ПОЛЯ а черезвназывают интегралjj(a,n)dS= jj(ахсоsа+аусоs,В+аzсоsr)dS.S(17)SИнтегральные формулы.
Пусть4.Sцируемое скалярное поле в [2, Гнепрерывно дифференu -кусочно гладкая ориентированная-кривая в [2 с началом А и концом В. Тогдаj (grad и, dr) = j (V'u, dr) = и(В) ги(А).(18)гЕсли кривая Г лежит на поверхности уровня поля и, то работаполяgrad uПусть аS -ти [2,нормаливдоль Г равна нулю.непрерывно дифференцируемое векторное поле в облас-кусочно гладкая ориентированная единичным векторомnповерхность в [2 с краем дВ, ориентированным согласованно с ориентацией поверхности(формула(14) § 11Тогда по формуле Cmoffca(§ 11) .с учетом формулы(10))f adr= jjn.rotadS= jj(n,[V',a])dS.asS(19)SТаким образом, циркуляция поля а по краю поверхностипотоку ротораполяаn -единичный вектор.
В плоскости, проходящей через М перпендикулярно п,рассмотрим те ее областикоторые содержат М и для которых верна формулаd(S) -диаметр,J1S -rot n а == (rot а, п) -limd(S)-+Опроекцияj15J-Ladr.(19),*)Обозна(20)asrot ана вектор п.При тех же предположениях о поверхностиле(19).В,площадь В. Справедлива формулаrotna(M) ==Здесьравначерез эту поверхность.Пусть точка М Е [2,чимSВ,что и в формудля непрерывно дифференцируемых полей а и u верны фор-в этом параграфе рассматриваются поверхности, ограниченные как множествавпространстве.Гл.3002.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралымулы11 [[п, \1], а] dSf [а, dr],= -(21)asS11 [п, \1и] dS f udr.(22)=asSПустьG JG,границейограниченная область,GС [2,с кусочно гладкойориентированной внешней нормалью п.Гаусса-ОсmроградСJliого с учетом обозначенияПо формулеимеем(9)11 (а, п) dS 111 div adV 111 (\1, а) dV,=(23)=aGGGт.
е. поток поля а через границу области равен интегралу от дивергенции поля а по этой области.Пусть точка М Е [2, рассмотрим совокупность содержащих М областейG с [2, для которых справедлива формула (23). Пусть d(G) -диаметр,J1G -объемG.Тогдаdiva(M) ==limld( G) --+0 J-L GПри тех же условиях на областьа,что и в формулеuидляи верны формулы(25)11 nudS,111\1udV =111 (\1и, \1v) dV =11 и(п, \1v) dS - 111 иaGG(26)aGG/).VdV,(27)G111 (и /).v - v /).и) dV =11 (и \1v - v \1и, п) dS.(28)aGGG(23),aGG111 l\1ulv11 [n,a]dS,111[\1,a]dV =(27), (28)(24)dS.aGG,непрерывно дифференцируемых полейРавенстваJJ (а, п)называют формулами Грина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
