1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В таких случаях под интегралом поповерхностипонимают сумму интегралов по ее частям:Sn11j dS L 11j dS=SЕслиf(x;у;(5)i·i=l Siплотность массы, распределенной по поверхносz) -ти В, то интегралы(2), (4)дают массу всей поверхности.Потенциалом в тОЧffе Мо простого слоя, распределенного с плотностьюJL(X; у; z)на поверхностиV(XO;YO;zo) =Sназывают интеграл11p,(x;rY;z) dS,Sгдеr -расстояние между точкой М(х; у;кой Мо(Хо; уо;zo).z)поверхностиSи точГл.2802.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.
Поверхностные интегралы второго рода *) . Пусть поверхностьSзадана параметрически:х== x(u;v),функции х(и;уу(и;v),== y(u;v),v), z(u; v)z == z(u;v),D,(1)D,z'Uz'vВ каждой точке (и;2.Енепрерывно дифференцируемы впричем ранг матрицыравен(u;v)такой поверхности существуют дваv)противоположно направленных единичных нормальных вектора, каждый из которых является непрерывной функцией точки (и;v)поверхности в. Выбор одного из них называют ориентацией поверхности.Если поверхностьSявляется границей ограниченной области, то говорят, что ее можно ориентировать внешней или внутренней (по отношению к этой области) нормалями.
Поверхность в, ориентированнуювнешней нормалью, называют ее внешней стороной, а ориентированную внутренней нормалью,ее внутренней стороной.-Для ориентированной поверхностиинтеграл второго рода.Пустьcos а, cos а,COSr-.1Sопределяют поверхностныйнаправляющие косинусы нормалиx~x~.Jy~y~kz'Uz'vк поверхности (1 ) (см. § 6, (7)). Пусть поверхность S ориентированаединичным вектором нормали (cos а; cos jЗ; cos (), и пусть на поверхностиSзаданы функции Р(х; у;z), Q(x; у; z), R(x; у; z).Поверхностный интеграл второго рода!! Р dy dz + Q dz dx + R dx dy(6)sопределяется через поверхностный интеграл первого рода формулой!! Р dy dz + Q dz dx + R dx dys==!!(Pcosa + Qcosf3 + Rcos"()dS.(7)sЕсли поверхностьт.
е. нормальюSориентирована противоположным образом,(- cos а; - cos jЗ; - cos (),то у поверхностного интеграла изменяется только знак.Для интеграла!! Рs*)динат.dy dz(6)имеет место следующая формула:+ Q dz dx + R dx dy =!!DРx~x~Qyyu:vRz~ dudv.(8)z~в этом и следующих пунктах используются только правые системы коорПоверхностные интегралы§ 11.==в частном случае Ро,==Qо формула(8)281имеет вид11 Rdxdy 11 R(x(u;v);y(u;v);z(u;v)) ~~::~~ dudv.(9)=SDАналогично записывают формулы для интегралов11 Pdydz, 11 Qdzdx.SЕсли поверхностьSзадается явно, то формулаSSПусть, например, поверхностьz == z(x;y),гдеz(x; у) -(9)упрощается.задана уравнением(х;у) ЕD,(10)непрерывно дифференцируемая вDфункция.
Тогда11 R dx dy ± 11 R(x; у; z(x; у)) dx dy,(11)=SгдеDSпроекция поверхностиD -на плоскостьПеред двойным интегралом в формулелиSповерхностьосьюzориентирована(11)z ==берется знак плюс, еснормалями,составляющимиострый угол, и знак минус, если поверхностьzна нормалями, образующими с осьюо.Sсориентироватупой угол. В первом случаеговорят, что интеграл берется по верхней стороне поверхности, вовтором-по ее нижней стороне.Если поверхностьSне представима в виде(10)или(1),но ее удается разбить на конечное число частей, каждая из которых представимав такомвиде,по поверхностиSтоподповерхностныминтеграломвторогородапонимают сумму интегралов по ее частям.3.
Теорема Гаусса-Остроградского. Пусть G Е R3 - элементарная область (см. § 8, п. 2), ограниченная кусочно гладкой поверхностью, и пусть функции Р(х; у;своими производнымидРдх'z), Q(x; у; z), R(x; у; z)aQду'aRazнепрерывны в-G.вместе соТогда11 Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 111 (~~ + ~~ + ~~) dxdydz,=SG(12)гдеS -внешняя сторона поверхности, ограничивающей областьФормулу(12)ее записываютG.называют формулой Гаусса-ОсmроградСJliого.
Иногдав видеII(Pcosa+Qcos(3+Rcosi)dS=S111(~~ + ~~ + ~~)dxdydz,G(13)гдеcosa, cosj3, cos! -к поверхностиs.направляющие косинусы внешней нормалиФормула Гаусса-Остроградского может быть записана в векторной форме (см.§ 12).Гл.2824.кая2.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыТеорема Стокса. Пустьповерхность,контуром Lориентированная кусочно гладS -ограниченнаясоответственно*). Пусть функции Р(х; у; z), Q(x; у; z), R(x; у; z) непрерывно дифференцируемы в некоторой области1Р dx + Q dy + R dzLориентированнымG~ В.
Тогда=Jj(aR _ aazQ ) dydz + (дР_ aR) dzdx + (a Q _ дР) dxdy.az azдуsФормулудх(14)ду(14) называют формулой CmoJlica. Эта формула может бытьзаписана в таком виде:1Р dx + Q dy + R dz 11 ((~: - ~~) cos СУ +=LSaR)cosj3 + (a Q _ дР) cos r ) dS,az+ (дРгде(cos а; cos jЗ; cos () -_дхдх(15)дувектор единичной нормали к поверхности В,направленный соответственно направлению контураL.Формулу(15)иногда записывают в символическом видеcosacos j3дддхдуazРQR1Р dx + Q dy + R dz 11=LScOS rд(16)dS.Формула Стокса может быть записана в векторной форме (см.§ 12).Условимся говорить, что замкнутая кривая ориентирована положительно относительнонекотороговектораа,еслинаправлениенакривой (со стороны, в которую направлен вектор а) противоположнонаправлению движения часовой стрелки, и ориентирована отрицательно относительно вектора а, если направление на кривой совпадает с направлением движения часовой стрелки.ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.[1Вычислить интеграл-V--;X==2==+==d==:==2==+==Z==2 'еслиS -часть цилиндрической поверхностиx==rcosu,y==rsinu,O~и~21Г,z==v;O~v~H.А В данном случае применима формула (2), причем Е == т 2 , G == 1,G ==о.
Поэтому11 V2пНJjS. / х2V*)dS+ у2 + Z2-О оНrdudv == 21Гтlт 2 + v2оdvVт 2 + v2Говорят, что поверхность и ограничивающий ее контур ориентированы соответственно, если наблюдатель, движущийся по контуру И смотрящий на поверхность с той стороны, куда направлена нормаль к поверхности, видит поверхностьслева.Поверхностные интегралы§ 11.==При м ер 2. Вычислить интеграл Iповерхность конуса-А Пусть В121ГТln+нvr2r11Z2 dS, где S -=+ Н2 .Аполная5J х + у2 ~ Z ~ 2.2боковая поверхность конуса, В211тогдаI =2z dS 111+51-его основание;2z dS2.52к первому интегралу применим формулути283На боковой поверхнос-(4).конусаazдхazхJ х 2 + у2 'дуСледовательно,11 Z2 dS111 (х +2=2п11rv2y2)V2dxdy =x2+y2~451Оz == 2,На основании конуса2поэтому второй интеграл равен учетвеПри мер 3.
Вычислить интегралсторона части конической поверхностипой угол с осьюS==81Г(2+ V2).11zdxdy, где S -5Z2==х2+ у2,ОАнижняя<z~ Н.ориентирована нормалями, составляющими туПо формулеz.drd<p = 8V2Jr.Оренной площади основания конуса 41Г2 2 . И так, 1А ПоверхностьЗ(11),взяв в ней знак "минус", сводиминтеграл к двойному, который вычисляем, переходя к полярным координатам:11 z dx dy11= -х2J + у2 dx dy =2п-х 2 +у2 ~H25где S -полусфера х11+ у2 + Z2 == R2,2r dr = -d<pОПри м ер 4. Вычислить интегралы: а)2Н~ 1г нЗ..&О111155Z2 dx dYi б)z dx dYiУ ~ О, ориентированная внеш-ней нормалью.А а) Разобьем поверхностьSна части В1 и В2, расположенныесоответственно выше и ниже плоскости1111551Z2 dx dy =Z2 dx dyz ==+о. Тогда11Z2 dx dy.52Гл.284Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.Поверхности В1z ==костьи В2имеют одну и ту же проекциюо.
Согласно формуле(11)Dна плосполучаемllZ2dxdy=II(R 2 -х 2 _ у2 )dХdУ,SlDzтак как внешняя нормаль к поверхности В1 образует с осьюрый угол;11 Z2 dxdy 11 (R 2 - хSl- у2) dxdy,2= -ост-Dтак как внешняя нормаль к поверхности В2 образует тупой угол сосьюz.Следовательно,11 z 2 dxdyО.=Sб) Как и в случае а), разбивая поверхностьприменяя формулу (11), получаем111111J х11(-J ю - хS2DZ dx dy =Sl2R2 -на части В1 и В2 И-у2 dx dy,2- у2) dx dy.DZ dx dy = -Следовательно,11 Z dx dy 211 J ю - х=SS2 -у2 dx dy=2· ;R3 =2; R3,Dтак как последний интеграл равен объему четвертой части шара радиусаR.АПри м е р5.КВычислить интеграл--jJdYxdz+z ==с SlПdZydX+dXzd Y ,SгдеS -часть эллипсоида== а cos u cos v,хuу==Е [п/4;п/З],ь siп ucos v,v,Е [п/6;п/4],vориентированного внешней нормалью.А Заметим, что функции l/х, l/у,l/zположительные, а углы,образованные внешней нормалью с осями координат,тому К> о.-острые, поэВоспользуемся формулойx~,X v ====-а-а siп u cos v,.cos u SlП v,,Yv(8).
Так какy~ == ь cos u cos v,z~ == О,,. v, Zv == ccosv,== - ь·SlП U SlПто111Хуzх'иY~z'х'vY~z'vи1аcos и cos vu cosv-а cosu SlП v-а SlПЬЬ11sin и cos vCSln Vcos u cos v-ь siп u siп vОccosv== pcosv,Поверхностные интегралы§ 11.г дераЬ==+ассПоэтому по формулеп/3+Ь285Ьс .аполучаем(8)п/4K==pldulcosvdv==p.!!..-(v12 - !)== k(vI2-1) (аЬ + ас + ЬаС) .•12п/422с24Ьп/6При М е рВычислить интеграл6.11х dy dz + уЗ dz dx + zЗ dx dy,ЗI =5где S - внешняя сторона боковой поверхности конуса~ Z2, О ~ z ~ 1.•Обозначим черезверхности В1==1х2+ у2~интеграл по внешней стороне полной по11конуса, черезоснования В2. ТогдаG:12 11 - 12.
Кинтеграл по верхней стороне егоинтегралуприменим формулу11Гаусса-ОстроградскогоI1 =з111 (х 2 + у2 + Z2) dxdydz.GПереходякцилиндрическимтройной интеграл2п1I1 = 3координатам,оd<pО(r29+ z2)rdr = 1 0 1Г ·оВычислим интеграл по основанию конуса:11 хI2 =Зdydz11+ уЗ dzdx + z3 dxdy =52Аdxdy = 1Г.521 ==Следовательно,При м е рполученныйz11 1dzвычислим-7Г /10 . •Вычислить интеграл7.1(у2 - Z2) dx + (Z2 - х ) dy + (х2=2- у2) dz,Lгде L -кривая пересечения параболоида х 2 + у2 + Z == 3 с плоскостью хуz == 2, ориентированная положительно относительновектора•+ +(1;О; О) .Применим формулу Стокса.
3а поверхность В, ограниченнуюкривойL,примем часть секущей плоскостих+ у + z ==2,щей внутри параболоида. Единичным вектором нормали кправленным соответственно направлению кривойтор (l/vГз; l/vГз; l/vГз). Так как Р2- У ,тоaR-дуaQ- -az== -2(z + у),==у2дР-azдуZ2,aR- -aQ _ дР == -2(удх-дх+ х).Q====L,Z2 --2(хлежаВ,наявляется векх2 , R+ z),==х2 -Гл.286Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.Применяя формулуА=(15), получаем11 (х + у + z)~-11~dS = -sТак как z==2-sх - У на поверхности В, то1+ПО формулеdS.(~= )2 + (~;) 2 = JЗ.находим(4)А = -811 dxdy,DгдеD -Sпроекцияхполучаемт. е.
D -на плоскость хОу. Исключая+ у2 + z == 3,2(х - 1/2)2+ (У -хz из уравнений+ У + z == 2,1/2)2 == 3/2,есть круг радиуса уГ:3!2. Следовательно,11dxdy=~1Г, А=-121Г ..&DЗАДАЧИВычислить интегралы1.11 (х + у + z)(1-13).где:dS,sчасть плоскости х1) S -+ 2у + 4z ==4, выделяемая условия-ми х ~ о, У ~ о, z ~ о;2) S - часть сферы х 22.11 (х2+ у + Z2 == 1,2выделяемая условием z ~ о.+ у2) dS, где:s+ у + Z2 == R 2;1) S -сфера х 22) S -поверхность конуса у'''--х-:''''"2-+у-:' ' "2 ~ z ~ 1.3.11 (хs1) S -2) S 3) S 4) S 4·jJ22+ у2 + Z2) dS, где:+ у + Z2 == R 2;поверхность куба Ixl ~ а, lyl ~ а, Izl ~ а;поверхность октаэдра Ixl + lyl + Izl ~ а;полная поверхность цилиндра х + у ~ т , О ~ Z ~ Н.dSS - поверхность тетраэдра х + У + z ~ 1, х ~(1+х+у)2'сферах х 22S~ о, У ~ о,2z~ о.22Поверхностные интегралы§ 11.11 xyz dS; 11 IxYlz dS; где S -5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
