1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Пусть вектор-функции а(т) и== ix + j у + kz, r == Irl. Доказать, что:1) \7 (а( т), г) == а( т) + (а' (т), г) ~;Ь(т)дифференцируемы,r ==r2) \7 (а(т), Ь(т)) == ( (а', Ь)+ (а, Ь'))~.r21. Выразить grad u :1) в цилиндрических координатах т, ер, z;2) в сферических координатах т, ер, ф, используя соответствующие орты e r , е'Р' e z и e r , е'Р' еф, касательные к координатнымлиниям.22.Проверить, что векторgrad uне зависит от выбора декартовой системы координат.23.u и vДоказать,чтодлядваждыдифференцируемыхполей24. Найти производную поля u по направлению единичного вектора n == (cosa;cosj3;cOSjl), если r == JX 2 +y2+ Z2, r == (x;y;z):1) u == т; 2) u == 1/т; 3) u == (а, г), а == const; 4) u == f(r).25.
Найти производную поля u == х 2 /а 2 + у2/Ь 2 + z2/ c2 В точкеМ(х; у;z)по направлению радиус-вектора этой точки.26.поля uПустьuиv -дифференцируемые поля. Найти производнуюпо направлению вектораgrad v.27. По какой кривой следует двигаться из точки Мо(Хо; уо; zo),чтобы поле u == х 2 /2 + у2 - Z2 имело наибыстрейшее убывание, если:а) Мо (l; 1; О); б) Мо (l; 1; 1)?28. Найти линии наибыстрейшего изменения плоских полей:1) u == х 2 - у2; 2) u == ху; 3) u == х 2 /2 + у2; 4) u == у2 / х.29.
Найти линии наибыстрейшего изменения трехмерных полей:1) u == х 2 + 2 у 2 + Z2; 2) u == х 2 + у2 + Z2; 3) u == xyz.30. Пусть в звездной *) относительно точки А области П заданогладкое поле u иl\7ul~ с. Доказать, что для любой точки В с Пlu(B) - u(A)1гдеIB - AI -~clB -AI,расстояние между А и В. ДЛЯ выпуклой области доказать справедливость этого неравенства для любых А и В из п.Найти векторные линии поля а(31,32).31.1) a==xi+zk; 2) a==zj-yk; 3) a==2xi+yj;4) a==xi-yj; 5) a==x 3 i+y2j.*)Область называют звездной относительно точки А, если для любой точки Вэтой области отрезок АВ принадлежит области.§ 12.Сffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ30932.1) a==r==ix+jy+kz; 2) а==аli+а2j+азk== const;3) а == f(r)r, r == ix +jy + kz, r == Irl;4) а == [е, г], е == const, r == i х + j у + k z;5) а == (Ь, r )е, Ь и е - постоянные векторы, r == i х + j у + k z;6) a==(z-y)i+(x-z)j+(y-x)k; 7) a==xi+2yj+zk.33.Найти векторную линию поля а, проходящую через точку М,если:1) a==-yi+xj+ck, с== const, М(l;О;О);2) а == х 2 i - уЗ j + Z2 k; М(1/2; -1/2; 1);3) а == xz i + yzj + (х 2 + у2) k; М(l; 1; О).34.Найти векторные линии напряженности магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника постоянного тока.== r найти уравнениещей окружность z == 1, х 2 + у2 == 4.35.Для поля авекторной трубки, содержа36.
Для поля a==j/z - k/y найти векторную трубку, содержащуюкривую у == Z, х 2 + (у - 1)2 + (z - 1)2 == 1.37.Проверить указанные равенства в координатной форме, а также записать их и проверить , используя символс ним (а,j3 -числа, и, а, Ь-\7и правила действиядифференцируемые скалярное и векторные поля):1) div(a а + jЗЬ) == а div а + j3 div Ь;2) div( u а) == (grad и, а) + u div а.38. Полагая r == х i + у j + z k, r == Irl, найти div а, если:1) а==г; 2) а==тг; 3) а==г/т; 4) a==(-xi+yj+zk)/V~x-2-+-y-2;5) а== (6х 2 у 2 - zЗ + yz - 5) i + (4х З + xz + 2)j + (ху - 3xz 2 - 3) k.39.Выразить в координатной формеdiv grad и.40.
Найти:1) di v (u gr ad и) ; 2) di v (u gr ad v ) .41. Найти (r==xi+yj+zk), r==lrl):1) div grad т 2 ; 2) div grad(l/r); 3) div те, е == const; 4) div(f(r)r);5) divgradf(r); 6) div(f(r)e), е == const; 7) div[e,r], е == const;8) div[r, [е, г]], е == const.42. Решить уравнение (г == xi + yj + zk, r == Irl):1) div( и(т)г) == О; 2) div grad и(т) == О; 3) div( и(т)г) == лu(r), л # 3.43. Найти дивергенцию гравитационного поля нескольких точечныхмасс.44.Среда вращается как твердое тело вокруг оси с постояннойугловой скоростью ш. Найти в фиксированный момент времени дивергенцию поля линейных скоростейсреды.vи поля ускоренийwточекГл.3102.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыДоказать, что45.div ане зависит от выбора декартовой системыкоординат.46.47.1) вНайтиНайтиdiv аdiv аплоского поля а в полярных координатах.трехмерного поля:цилиндрических координатах;2)48.
Найти (Т == Jx 2 + у2 + z2):1) di v а (r ) ; 2) di v (u ( r ) а (r ) ) .49. Проверить указанные равенствав сферических координатах.в координатной форме, а также записать и проверить их, используя символс ним (а,j3 -числа, и, а, Ь-\7и правила действиядифференцируемые скалярное и векторные поля, с1)3)5)6)- постоянный вектор):rot (а а + j3 Ь) == а rot а + j3 rot Ь; 2) rot (u с) == [gr ad и, с] ;rot( u а) == u rot а + [grad и, а]; 4) rot[c, а] == с div а - (с, \7) а;rot[a, Ь] == adivb - bdiva + (Ь, \7) а - (а, \7) Ь;div[a, Ь] == (Ь, rot а) - (а, rot Ь).50. Найти (гры, и(т)== х i + у j + z k, r == Irl,а и Ь-постоянные векто-дифференцируемое поле):-1) rotr; 2) rot(ra); 3) rot((r,a)b); 4) rot(u(r)a); 5) rot(u(r)r).51.
Вычислить rot а в точке Мо , если:1) а == xyz i + (2х + 3у - z)j + (х 2 + Z2) k; Мо (l; 3; 2);2) а == ~ i + Z j + х k; Мо (l; 2; -2).Z52.хуДля любого вектора р векторы [р, а] и а перпендикулярны(если они не нулевые). Верно ли это для векторов[\7, а]53. Найти угол между rot а (М1 ) и rot а (М2 ),1) а == (х 2 + у2) i + (у2 + Z2) j + (Z2 + х 2 ) k;если:и а?М1 (1;2;3), М2 (1;1;-1);2) a==z 3 i+(x 3 +y3)j+xyzk; М1 (1;2;О), М2 (1;12;4).54. Найти:1) rot [с, г], с == const; 2) rot [г, [с, г]], с == const.55.
Проверить в координатной форме:1) формулу (14); 2) формулу (15).56. Равенство rot rot а == grad div а - ~a проверитьв координатной форме, а также записать и получить его, используя символ\7иправила действия с ним.57. Найти rotgrad(ljr).58. Получить формулы:1) \7 (\7, u с) == (с, \7) \7 и, с == const;2) \7(\7, u а) == и\7(\7, а) + (\7, а)\7и + [\7и, [\7, а]]+ (\7и, \7)а ++ (а, \7)\7и;§ 12.Сffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ3113) [V, [Vu, с]] == (с, V)Vu - с ~и.59. Показать, что:1) div[Vu, Vv] == О;2) векторы а == u grad v и rot а перпендикулярны.60. Найти компоненты rot а плоского поля а в полярныхкоор-динатах.61.1) вНайти компонентыrot атрехмерного поля а:цилиндрических координатах;в сферических координатах.2)r Jx2 + у2 + Z2.62.
Найти rot(u(r)a(r)),==63. Записать ~и == div grad и:1) в цилиндрических координатах; 2) в сферических координатах.64. Среда вращается как твердое тело вокруг оси с постояннойугловой скоростью ш. Пусть v поле линейных скоростей точек вфиксированный момент времени. Найти rot v (воспользоваться цилиндрическими координатами).65.В простейшем случае система уравнений Максвелла электромагнитного поля имеет вид~ дЕ == [V Н]сatfLaH---д"Здесь Е и Нженности, Е,О,(V, Н) ==о.векторные поля электрической и магнитной напря-сJL,== const > о.кими, доказать, что Е и2д Е2== -EfLtПусть в областиПолагая все функции достаточно гладН удовлетворяют волновому уравнениюс-д266.== [V, Е], (V, Е) ==tсn~E,д2 нс2-д2== -EfLt~H.введена ортогональная система криволинейных координат (~; 1]; ():хX(~;1];(),==где правые частиe~, е1]' е( --у==Y(~;1];(),Z == Z(~;1];(),непрерывно дифференцируемые функции.
Пустьединичные орты этой системы (векторы, касательные ккоординатнымлинияминаправленныеповозрастаниюe~ -.l е1]' е1] -.l е(, е( -.l e~)ты Ламэ, т. е. H~(==дu1*). Пусть H~, Н1], Н( дх)2) 2 и т. д.д~+ (дд~У ) 2 + (aZд~1) grad и = Hf. д~ ef.2) d·lV*)а==1H~H1]H(+1дuНц д'Т] ец(д(H1]H(a~)д~++1дuН( дС е(;д(H(H~a1])д1]координат,коэффициенДоказать, что:(39)+д(H~H1]a()). (40)д(,Все ортонормированные базисы исходной и вводимой систем координатположительно ориентированы (правые), в частности, якобиан функций, задающих криволинейную систему координат, положителен.Гл.3122.3) rot а ==Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыНl]еl]Н(е(1ддH~Hl]H(д1]д(Нl]аl]Н(а((41)67.
Пользуясь формулами (39)-( 41), получить выражения дляgrad и, div а, rot а:1) в цилиндрических координатах; 2) в сферических координатах.Найти поток поля а через ориентированную нормальюностьnповерхS (r==xi+yj+zk, r==lrl) (68,69).68. 1) а == ах i + ayj + a z k, где ах, ау, a z == const, S - круградиуса R, лежащий в плоскости (г, п) == d;2) а == г, S - внешняя сторона конуса Jx 2 + у2 ~ Z ~ h;3) а == г, S - внешняя сторона поверхности цилиндра х 2 + у2 ~~ R 2 , О ~ Z ~ h;4) а == r / r З , S - внешняя сторона сферы х 2 + у2 + Z2 == R 2;5) а == f(r)r, S - внешняя сторона сферы х 2 + у2 + Z2 == R 2.+++а == (х - 2z; х3уz; 5х у); S - противоположная началу координат сторона плоского треугольника с вершинами (1; О; О),69.
1)(О;1; О), (О; О; 1);2) а == (X 2;y2;Z2); S -внешняя сторона полной поверхности пи+ у + z == 1,== О;3) а == (у2; х 2 ; z2); S - часть внешней стороны цилиндра х 2 + у2 ==== а 2 , расположенная в первом октанте между плоскостями z == О иz == а, а > О;4) а == (О; у2; z); S - ограниченная часть внешней стороны параболоида z == х 2 + у2, отсеченная плоскостью z == 2;5) а == (х; у; Jx 2 + у2 - 1); S - часть внешней стороны гиперболоида х 2 + у2 - Z2 == 1, заключенная между плоскостями z == О и z ==== vГз;6) а == (у; z; х); S - часть внутренней стороны цилиндра х 2 + у2 ==== R 2 ; расположенная в области х > Izl;7) а == (3х; -у; -z); S - часть внешней стороны параболоида х 2 + у2 == 9 - z, расположенная в первом октанте;8) а == (ху; yz; zx); S - часть внешней стороны сферы х 2 + у2 ++ Z2 == 1, расположенная в первом октанте;9) а == (xz; yz; Z2); S - часть внешней стороны сферы х 2 + у2 ++ Z2 == 9, расположенная в области z > 2;10) а == (х; у; xyz); S - часть внешней стороны цилиндра х 2 ++ у2 == R 2, расположенная в области х > lyl и отсеченная плоскостьюz == О и параболоидом z == х 2 - у2;11) а == (ху - у2; -х 2 + ху + 2х; z); S - часть внешней стороныцилиндра х 2 + у2 == 1, отсеченная конусом Z2 == х 2 /2 + у2.рамиды, ограниченной плоскостями хх== О,У== О,z§ 12.Сffалярные u BeffmopHble ПОЛЯSНайти поток поля а через поверхность70.313непосредственно илипо теореме Гаусса-Остроградского, если:1) а==lyl < а, IzlХ З i + УЗ j< а;2) а == (z - У) i+ zЗ k,+ (х -S -z)jвнешняя поверхность куба+ (У -х)k; S -полная внешняя поверхность тетраэдра, ограниченного плоскостями х- z== 1,У3) а====О, х==Ixl < а,+ У + z ==1,х+У -О;++у2 Z i - yz2 jх(у2Z2) k; S2ность цилиндра у2Z2 ~ а , О ~ х ~ а;+-полная внешняя поверх4) а == 2х i + 2у j - z k; S - полная внешняя поверхность конусах 2 + у2 ~ Z ~ Н;5) а == (х + z) i + (У + x)j + (z + У) k; S - внешняя поверхностьJтела х 2 + у2 ~ R 2 , О ~ Z ~ У;6) а == х 2 у i + ху2 j + xyz k; S - внешняя поверхность тела х 2 ++ у2 + Z2 ~ R 2, Х ~ О, У ~ О, z ~ О;7) а == х 2 У Z i + ху2 Z j + ху Z2 k; S - часть внешней стороны эллипсоида х 2 / а 2 + у2 / ь 2 + Z2 / с 2 == 1, расположенная в первом октанте;8) ах2==хЗ i+ у2 + Z2 ==+ УЗ j + zЗ k;R 2, Z ~ О;S -половина внешней стороны сферы(zn - уn) i + (х n - zn)j + (уn - х n ) k;ней стороны сферы х 2 + у2 + Z2 == R 2 , Z ~ о.а9)==S -половина внешз71.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
