1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

Пусть А(г)==LaijXiXj-положительно определеннаяi,j=lr == хl i + Х2 j + хз k. Найти поток поля аГ· (А(г))-З/2 через единичную сферу Irl == 1.квадратичная форма,====72. Указать с точностью дО О(Е З ) приближенное значение потокаполяа:1) из задачи 38,4) через внешнюю сторону сферы с цент­ром (3; 4; О) и радиусом Е;2) из задачи 38, 5) через внешнюю сторону поверхности куба сцентром (1; 1; 2) и ребром длины Е.73.Доказать формулу74.Пусть поле а непрерывно дифференцируемо в [2,(24).вольная область с кусочно гладкой границей,потокrot ачерезJGGG -произ­с [2. Доказать, чторавен нулю.75.

Пусть ограниченная область G имеет кусочно гладкую гра­ницу JG, ориентированную внешней нормалью. Доказать, что потокрадиус-вектора r через JG равен 3JLG, где JLG - объем G.76.Пусть кусочно гладкая границаJGобластиG,ориентированаГл.314Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.нормалью п, С -постоянный вектор.

Доказать, что11 cos(il,C)dS =О.aG77. Доказать формулы: 1) (25); 2) (26); З) (28); 4) (29); 5) (зо).78. Пусть поле u дважды непрерывно дифференцируемо в [2,G - область из [2 такая, что G с [2 и граница JG является поверх­ностью уровня поля и. Доказать, что11111/).udV = ±l\1uldS,aGGгде следует выбрать один из знаков. Объяснить выбор знака.Доказать, что79.111 (\1и, [\1, а])11 (а, \1и, п)dV =dS.aGG80.

Пусть u и а G - область из [2, Gнепрерывно дифференцируемые поля в [2,JG -с [2,кусочно гладкая поверхность,ориентированная внешней нормалью. Доказать, что11 (и а, п)dS =111 (и(\1, а) + (а, \1и))aGПусть81.S -dV.Gгладкая поверхность, ориентированная нормальюп, и пусть замыканиеSчто интегралне содержит начала координат. Показать,11cos~:-;n) dSsесть поток некоторого поля через В.Пусть82.G-ограниченная область с кусочно гладкой границей,ориентированной внешней нормалью п, О ~Доказать, что:1)111 ~~11 cos(r,n)r == (x;y;z),jJj ~ dV == _1_jj3тРIrl.dS;рcos(~r)тР1dS,р #- 3.aGG83.

Пусть ограниченная область G имеет кусочноцу JG, ориентированную внешней нормалью, МО точка G,3а(М) == МоМ /IMoMI ,Вс(Мо ) -r ==aGG2)dV =G,гладкую грани­фиксированнаясфера с центром МО и радиусом Е, лежащая вG,рованная внешней нормалью. Доказать, что поток а черезориенти­JGравенпотоку а через Вс(Мо ).цу84.JG,Пусть ограниченная областьGимеет кусочно гладкую грани­ориентированную внешней нормалью, МО -фиксированнаяСffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ§ 12.точка,315а(М) == M oM/IMoMI 3 .Найти поток поля а черезесли:1) Мо ~ G; 2) МО Е G.85.

В условиях задачи 83 пусть МО Е JG и в окрестности МОграница JG дважды непрерывно дифференцируема. Пусть JG c часть границы JG, лежащая внутри шара IMoMI ~ Е, а П С потокполя а через JG \ aG c . Найти lim п с .JG,с---+О86.Сформулировать аналог теоремы Гаусса-Остроградского дляплоских областей и полей.87.Пустьr-гладкая плоская простая (с.ние которой не содержит начала координат,ничная нормаль к295) кривая, замыка­n - непрерывная еди­Показать, что интеграл Гаусса(.JCOS~' п) dsIестьпоток некоторого поля через88.ластиПусть в условиях задачиG.89.87rесть граница ограниченной об­Вычислить интеграл Гаусса, если:О ~1)(.G; 2)О ЕG.Покажите, что значение интеграла Гаусса из задачиполярному углу,подкоторымвидна криваяrиз начала87равнокоординат.Найти работу поля а вдоль прямой от точки А(Гl) до точки В(Г2)(r == xi + yj+ zk,r == Irl) (90,91).90.1) а==г; 2) a==r/r; 3) a==r/r 3 ;4) а == f(r)r, f(r) - непрерывная функция, r5) а == [с, г], с == const.91.

1) а ==•y+z_1_+•z+xJ+1сх+у;~ О;А( -1; О; 3), В(О; -1; 2);2) а == i e Y - z + j e Z - х + k e X - У ; А(О; О; О), В(l; 3; 2);3) a==(yi+zj+xk)/Vx2_y2+z2_x+z; А(l;l;l), В(6;6;6).92. Вычислить работу плоского поля а вдоль кривой (, если:1) а == (х + у) i + (х - y)j; r - часть графика у == Ixl от точки(-1; 1) до точки (2; 2);2) а == (у2 i - х 2 j) / х 2 + у2; r - полуокружность х 2 + у2 == 1 отточки (1; О) дО точки (-1; О) в области у > О;3) а == f(x) i + f(y)j; r - дуга астроиды х 2 / 3 + у2/3 == 1 от точки(1; О) дО точки (О; 1), расположенная в первом квадранте (f(x) -Vнепрерывная функция).93.

Вычислить работу поля а == у i+ zj + х kот точки А(а; О; О)дО точки В(а; О; 21ГЬ):1)вдоль винтовой линии х== а cos t, у == а sin t, z == Ы;Гл.3162)Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.вдоль отрезка АВ ..является ли данное поле потенциальным?Найти по формуле Стокса94.(19)циркуляцию поля а вдоль кон­тура Г, ориентированного по часовой стрелке при взгляде на него изначала координат, если:+ у + z == 1};22) a==(y+z)i+(z+x)j+(x+y)k; r=={4(X +y2)==Z2, х+у++z==l};3) a==x 3 i+y3j+z 3 k; r=={Z==X 2 +y2, z+y==2};4) a==yi-xj+zk; r=={X 2 +y2+ Z2==4, X2 +y2==Z2, z~O};5) a==z2j+x 2 k; r=={y2+ Z2==9, 3z+4x==5};6) a==zxi+xyj+yzk; r=={y2+ z 2==1, x+y+z==l}.95. Для поля а== -yij(x 2 + у2) + xjj(x 2 + у2) найти циркуляцию:1) по окружности х 2 + у2 == R 2, Z == zo, ориентированной противчасовой стрелки при взгляде из точек оси Oz, где z > zo;2) по окружности (х - R)2 + (у - 2R)2 == R 2, Z == zo, ориентация1) а == Z2 i+ х j + у2 k;2Г == {х 2+ у2 + Z2== 1, хпроизвольна.+ xj)j(x 2 + у2) + zk== 1, х + у + z == О},96.

Найти циркуляцию поля а == (-у iокружностиг == {х 2ориентированнойосиOz,где+ у2 + Z2противчасовойстрелкипривзглядеизпоточекz > 1.97. В условиях задачи 64 найти циркуляцию поля v:1) по окружности радиуса R, которая лежит в плоскости,перпен­дикулярной оси вращения, и ориентирована по направлению враще­ния;и2) по окружности радиуса R, которая ориентирована так же, какв 1), но плоскость которой составляет угол а с осью вращения.В условиях задачи98.64примем ось вращения за осьвив ее по вектору угловой скорости. ПустьG -связная область в плоскости Оху с границейпростым замкнутым контуром, ЦOz,ограниченная одно­r-кусочно гладкимцилиндр с основанием-напра­разующими, параллельными оси вращения.

ПустьГ-Gи об­замкнутаякусочно гладкая кривая на поверхности цилиндра Ц, которая взаим­но однозначно проектируется напо Г равна 2шгдеJ1G -Доказать, что циркуляция поляплощадьго токаOz1 (1> О)G.задается как поле вектора напряженности Н. Еслисовместить с проводником по направлению тока, тоН == 21 -у iх21)vМагнитное поле прямого бесконечного проводника постоянно­99.ось. J1G,(.+хj+ у2.Убедиться, что rotH==O (в отличие от rotv из задачи64).Сffалярные u BeffmopHble ПОЛЯ§ 12.3172) Найти циркуляцию поля Н по окружности радиуса R с центромна оси Oz:а) лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oz;б) лежащей в плоскости, которая составляет угол а с осью Oz.3) Взяв такие же, как и в задаче 98, область G с границей (,цилиндр Ц и кривую Г на его поверхности и допустив, что ось Oz неявляется образующей цилиндра Ц, доказать, что циркуляция Н по Гравна циркуляции Н по(.4) Допустив, что О Е G, и взяв окружность с центром О, лежащуювG,доказать, что циркуляции Н поrи по этой окружности равны.5) Доказать, что если контур Г (из 3)) не охватывает ось Oz,т.

е. проводник с током, то циркуляция Н по Г равна нулю, а ес­ли Г охватывает осьокружности из п.Oz,то циркуляция Н по Г такая же, как и по2).100. Найти с точностью дО 0(Е 2 ) абсолютную величину циркуляции поля а по окружности (х+у- 1)2 +(у- 1)2 + (z - 1)2 == Е 2 ,Х+z== 3, если:1) а == -1.1 + -1.Jуz1 k; 2)+ -ах101.Доказать формулу:102.Пусть u и а-== - у.1 -vzх.vz-Jk+ v.

;-;Y;;jJху .1) (20); 2) (21); 3) (22).непрерывно дифференцируемые поля в [2,М Е [2. Рассмотрим совокупность содержащих М областейдля которых справедлива формулаJL(G) -объем+(23). Пусть d(G) -GС [2,диаметр,G. Доказать, что:1) gradu(M)==2) rot а(М) ==limlimjJundS;jJ [п, а] dS.(l )d( G) --+0 J-L G(l )d( G) --+0 J-L GaGaG103.

Какие из указанных полей потенциальны в R 3 :1) a==x 2 i+y2j+z 2 k; 2) a==xzi+zyj+yxk;3) а == (ах + у + bz) i + (2х + су + dz)j + (Ьх + dy + cz) k;4) а == у z cos ху i + х z cos ху j + sin ху k?104. Потенциально ли поле Н == 21-yi + xjх2+у2'(х; у)1:(О; О):1) в полупространстве х > О;2) во всем пространстве без оси О z?105. Проверить, что поле Н == 21( -у iно в полупространстве у106.> О,+ xj)j(x 2 + у2)потенциаль­и найти его потенциал.Проверить потенциальность и найти потенциал поля:1) a==(y+z)i+(z+x)j+(x+y)k;Гл.3182) а ==Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.уzi+ zx j + ху k ;1 + X 2y2z 2..3) а == у 1 + XJ + e Z k;== г / т; 5) а == тг (г == х i + у j + z k, r == Iг 1) .107. Пусть f(r), r > О, - дифференцируемая функция.что поле (центральное) а == f(r)r потенциально при r > О+yj + zk, r == Irl).

Найти потенциал а.4)а108.Доказать, что потенциал(г== xi+u непрерывно дифференцируемогополя а удовлетворяет уравнению .6.и109. Доказать, чтодачу 30) относительноДоказать,== diva.если поле а потенциально в звездной (см. за­точки Мо(То) области [2, то его потенциал вточке М(г) определяется формулой1u(г)J(а(го + t(r - го)), г=-го) dt + const.о110.Доказать, что положения устойчивого равновесия частицыF == - grad uв потенциальном силовом поленимума потенциала111.находятся в точках ми­и.Доказать, что потенциальное поле не имеет замкнутых век­торных линий.112 .ли.является ли полеапотенциальным, соленоидальным, ес­(r==xi+yj+zk, r==lrl):1) а == г / r З ; 2) а == г / Т?113 .

.является ли1) а == x(z2 - у2) iполе а соленоидальным, если:- z2) j + z(y2 + х 2 ) k;2) a==(1+2xy)i- y2z j+(z2 y -2yz+1)k;3) a==x 2yzi+ zy2z j -xyz 2 k; 4) а== (-yi+xj)/(x 2 +у2) +xyk.114.ле а==2Доказать, что условиеленоидальности115.+ у(х(34)необходимо и достаточно для со-поля.Найти такую дифференцируемую функциюФ(r)г,г== xi + yj+ zk,r == Irl,Ф,чтобы по­было соленоидальным.116. Поток поля а == г/r З , r == Irl, определенного в области r > О,через сферу r == 1 равен 41Г.

Характеристики

Список файлов книги