1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пусть функция f(x;y) непрерывна на плоскости R2 ,J J ЛХ; У) dx dy.F(t) =G(t)НайтиF'(t), если:1) G(t) == [O;t] х [O;t], t > О;2) G(t) == {х ~ О, У ~ О, х + у130. Найтиlimt---++CXJ1-/3t 2Jj~Пусть функция1+tu(t;x) =2а1vx + у ,Q(t) == [O·,t]гдех[O·,t].непрерывна на плоскости.
Доказать,f(t;x)что функцияо.dxdyQ(t)131.t}, t >х+а( t-T)J dTоf(T;~)d~Jx-a(t-T)2удовлетворяет волновому уравнению2д uat2д u-а 2 дх 2== f (t; х).Вычислить повторный интеграл:132.х31) JdxJdY-11о2хJx 2 _ y 2J1(JX 2 _ y 2+ Z)dz;3) J dx J dy J (х + У-1х/2х-у+ z) dz.VXY2) J dx J dy JоОх+у2хооX3y 2z dz;Кратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.209В повторном интеграле, заменив порядок интегрирования на133.указанный, расставить пределы интегрирования:va -xа21) J dx2hdy J j(x; у; z) dz, (z; у; х);J-va -x-а2О23-3z/4 2-2y/3-z/22) J dz J dyJj(x; у; z) dx, (Х; у; z);4ооо2-х/22з)JdХ Jо2-у-х/2dyJооl-х1j(x;y;z)dz, (Z;x;y);х+у4) J dx J dy J j(x;y;z)dz, (z;x;y);ооо1х +у 2125) J dx J dy Jооj(x;y;z)dz, а) (x;z;y), б) (z;y;x).о134.
Интеграл J J J j(x; у; z) dx dy dz записать в виде повторногоGили суммы повторных с указанным порядкомуказать1)(y;z;x), б) (x;y;z);У == О, z == О, х + 2у +б)б)б)+ у2,+ 2z 2 ==4х, х== 2,(x;y;z);5) область G ограничена поверхностями z+хиG=={x~O, y~O, 4~z~0, 2x+y~2}, а)(y;z;x),2направо)пределы интегрирования, если:2) область G ограничена плоскостями х == О,+ 3z == 3, а) (х; у; z), б) (z; х; у);3) G == {х 2 /а 2 + у2/Ь 2 + Z2 /с 2 ~ 1} (х; у; z);4) область G ограничена поверхностями у2а)(слеваа) (х; у;{х ~ О,==2(х 2+ у2),Z == 1 +z), б) (у; z; х);z ~ О, х 2 +у2 ~ а 2 , у2 +Z2 ~ а 2 },6) G ==а) (y;z;x),(x;z;y);7) G == {х 2 + у2 + Z2 ~ 2z, х 2 + у2 ~ Z2}, а) (х; у; z), б) (х; z; у);8) G == {у2 + Z2 ~ х 2 , у2 + х 2 ~ 1, х ~ О}, а) (x;y;z), б) (y;z;x);9) G == {(у-1)(х-2) ~ z ~ 2, -х ~ у ~ х, х ~ 1}, а) (x;y;z),(z;y;x).Свести интеграл к однократному или сумме однократных:х~1]1l-uu+v135.1) J d~ J d7] J j(() d(; 2) J du J dv J j(w) dw;оооооо3) J J J j(z) dx dy dz, область G ограничена плоскостями х = 1,G14Под ред.
Л.Д.Кудрявцева, Т.3Гл.210у==О,4)z ==111Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.z == х + у;yf(z) dx dy dz, область G ограничена поверхностями z = О,О, У==х,GZ == у, х 2 + у2 == 2х.136. Пусть П == [О; а]1)111 (х + у2 +111 (х + y)e 2х [О; Ь] х [О; с]. Вычислить интегралы:Z2) dxdydz; 2)п3)X У111ze X sinydxdy dz;пdx dy dz.п137.1)Вычислить интегралы:11111111ооxyzdxdydz, п = [0;1] х [-1;1] х [0;1];пппп1112)l(x y + y z+zx)dXdYdZ; 3)о138.1)ооsin(x+y+z)dxdydz.оВычислить интегралы:111sin(x+y)sinzdxdydz, П -призма {о:::::;х:::::; ;, о:::::; у:::::;п1г~ 2' x-y~z~x+y};111 (х + 2у +======3) 1113z) dx dy dz, П -2)птями УО,zО,z2,х+ у == 2,призма, ограниченная плоскос2х-у+ 2 == О;(xy)2dxdydz, П = {о:::::; х:::::; у:::::; z:::::; 1}.п139.Вычислить интеграл111f(x; у; z) dx dy dz, если:G1) f(x; у; z) == у, G - пирамида, ограниченная плоскостями х == О,У == О, z == О, 2х + у + z == 4;2) f(x; у; z) == (1 + х + у + z)-з; область G ограничена плоскостями х + у + z == 1, х == О, У == О, z == О;3) f(x; у; z) == х + z, область G ограничена плоскостями х + у == 1,х - у == 1, х + z == 1, z == О, х == О;4) f(x; у; z) == х 2 - z2, область G ограничена плоскостями у == -х,z == х, z == у, z == 1;5) f(x; у; z) == ху, область G ограничена поверхностями х 2 + у2 ==== 1, z == О, z == 1, х ~ О, У ~ О;6) f(x; у; z) == xyz, G - часть шара х 2 + у2 + Z2 ~ 1, лежащаяв 1 октанте;7) f(x;y;z) == Jx 2 +у2, область G ограничена поверхностями х 2 + у2 + z2, Z == 1;§ 8.8) J(x;уХ==у;Кратный интеграл Ри.мана и его свойстваz) == ху2х3,== О;9) J(x; у; z) == xyz,== у2, Z == ху, z == о.х, х140.== 1,211область G ограничена поверхностямиz == ху,zобласть G ограничена поверхностями уПусть измеримая областьGх2 ,симметрична относительно координатной плоскости Оху, а функция111==J нечетна поJ(x;y;z) dxdydz =z.Доказать, чтоО.G141.Пусть измеримая областьGсимметрична относительно координатной оси Ох, а интегрируемая напаре переменных (у;z),т.
е.111J(x;-у;Gфункция-z) == - J(x; у; z).J(x;y;z) dxdydz =Jнечетна поДоказать, чтоО.G142.Пусть измеримая областьчала координат, а интегрируемаяпеременных, т. е.J( -х;-у;G симметрична относительно нана G функция J нечетна по тройке-z) == - J(x; у; z).111143. В интеграле 111 f(х; у;J(x;y;z) dxdydz =Доказать, чтоО.Gz) dx dy dz перейти к сферическимGкоординатам1)и записать его в виде повторного,если:G=={a2~x2+y2+z2~4a2, у?О};2) G == {х 2 + у2 + Z2 ~ R 2, У ? О, z ? О, х + у ? О};3) G == {х 2 + у2 + Z2 ~ R 2, х 2 + у2 ? 3z 2};4) G == {х 2 + у2 + Z2 ~ 2az, х 2 + у2 ? z2};5) область G ограничена поверхностями z == х 2 + у2, Х == у, х == 1,у==О,z ==о.144.
Вычислить интеграл111J(x; у; z) dx dy dz, перейдя к сфеGрическим координатам, если:1) J(x;y;z) == Jx 2 + у2 + Z2, G == {1 ~ х 2 + у2 + Z2 ~ 8};2) J(x;y;z) == x/(R 4 +(X 2 +y2+ Z2)2), G == {X 2 +y2+ Z2 ~ R 2,х? О};3) J(x;y;z)==X 2 +y2- z 2, G=={1~x2+y2+z2~4, Х?О, у?О};4) J(x; у; z) == yz + zx, область G расположена в 1 октанте и ограничена поверхностями у == х, х == О, z == О, х 2 + у2 + Z2 == R 2;5) J(x;y;z)==z/(JX 2 +y2+ Z2), G=={X2+y2+Z2~R2, z?? (h/a)Jx2 + у2};6) J(x;y;z) == Jx 2 + у2 + Z2, G == {х 2 + у2 + Z2 ~ z}.145.14*Свести интеграл к однократному:Гл.2121)111Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы2.f(Jx 2 +у2 +z2)dxdydz,J + у2 ~ Z ~ J 2 -G == { х 2G2) JjJf(Gz)dXdYdZ,Jx 2 + у2~ R 2 }.G=={Z2~X2+y2, X2+y2+Z2~111Вычислить интеграл146.х 2 - у2};f(x;У; z) dx dy dz, перейдя к циGлиндрическим координатам,если:1) f(x;y;z)==X 2 +y2+ Z2, G=={X2+y2~R2, O~x, O~z~H};2) f(x; у; z) == х + у + z, область G ограничена поверхностями х 2 ++ у2 == 1, z == О, х + у + z == 2;3) f(x;y;z)==X 2 +y2, G=={(X2+y2)j2~z~2};4) f(x; у; z) == z - х + у, область G ограничена поверхностямиау == Z2 + х 2 , у2 == Z2 + х 2 , а > о.Показать, что при переходе к обобщенным сферическим ко147.ординатамх==ат== Ьт sin ер cos ф,J == аЬст 2 cos ф.cos ер cos ф,якобиан отображения равен148.
Пусть Gралы:1)х2аJjJ ( 2== {x2ja2+y2jb2+z2jc2+ у2Ь 2 + Z2с2 )dx dy dz;JjJJстsin Ф~ 1}. Вычислить интег2) JjJ (х 2G3)z ==у+ у2) dx dy dz;Gх2у2Z2аЬс1 - - 2 - - 2 - - 2 dx dy dz.G149. Пусть (ха; уа; za) Е R,О< R < R a ==((х-хо)23=={х 2+ у2 + Z2~G== 2; 2)аXG ==R 2}.Вычислить интеграл JjJ1) аJ 5 + У5 + z5,== 3; 3)а== 4; 4)dxdydz+ (у -ауо)2+ (z -zo)2)a/ 'если:21: 2,3,4.у к а з а н и е. Можно воспользоваться поворотом системы координатипереходом к цилиндрическим координатам.Вычислить интеграл111f(x;У; z) dx dy dz, используя подходяGщую замену(150-152).150.
1) f(x;у;z)х ~ О};2) f(x;у;z) == z,область G ограничена поверхностямиR 2Z2§ 8.Кратный интеграл Ри.мана и его свойства213== h 2(x 2 + у2),Z == h, h > О;3) j(x;Y)==X 2 _ y2, G=={x2+y2+z2~a2, y~O, z~O};4) j(x; у; z) == Vy2 + Z2, область G ограничена поверхностямиу2 + Z2 == R 2, У + х == R, у - х == R, R > О;5) j(x;y;z)==x+z, G=={X2+y2+Z2~R2, Z~VX2+y2;6) j(x; у; z) == xyzj(a 2 + х 2 + у2 + z2)3, G == {х 2 + у2 ~ а 2 , у2 ++z2~a2, x~O, y~O, z~O};7) j(x; у; z) == vx 2 + у2, область G расположена в 1 октанте иограничена поверхностями z == О, У == О, х 2 + у2 == а 2 , az == х 2 _ у2,а> О;8) j(x;y;Z)==Z2, G=={X2+y2+Z2~R2, X2+y2+Z2~2Rz};9) j(x; у; z) == IxYljx 2, G == {vx 2 + у2 < z <х 2 - у2}.151.1) j(x;y;z) ==xyzj(x 2 +у2 +Z2)3/2, G== {(х 2 +у2 +Z2)3/2 ~~ 4ху, х ~ О, У ~ О, z ~ О};2) j(x;y;z) == zvx 2 +у2, G == {х 2 +у2 ~ 2х, О ~ z ~ у};3) j(x;y;z) == xz 2, G == {(3х - 4)2 ~ у2 + Z2 ~ х 2 };4) j(x;y;z) == z, G == {з(х 2 + у2) ~ Z, 1- х 2 - у2 ~ z}.152.
1) j(x; у; z) == 1j((x + у)(х + у + z)), G == {1 < х < 2, 1 <<x+y<3,1<x+y+z<5};2) j(x; у; z) == (х 2 - y2)(Z + х 2 - у2), G == {х - 1 < у < х, 1 - х << у < 2 - х, 1 - х 2 + у2 < z < у2 - х 2 + 2х };3) j(x;y;z) == xyz, G == {х < yz < 2х, у < zx < 2у, z < ху < 2z};4) j(x; у; z) == х 2 , область G ограничена поверхностями z == ау2,z == Ь у 2, У > О, z == ах, z == {Зх, z == h, где О < а < Ь, О < а < {З, О < h;5) j(x; у; z) == xyz, область G расположена в 1 октанте и ограничена поверхностями mz == х 2 + у2, nz == х 2 + у2, ху == а 2 , ху == Ь 2 ,У == ах, У == {Зх, где О < а < Ь, О < а < {З, О < m < n.153.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
