1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 30
Текст из файла (страница 30)
8.12).Проекциейпирам идыX'(z)== constнаосьOzСеченияzпирам иды плоскостями z ==Е [О; 4) являются квадраты,41 ==является отрезокми-[О;4].ограниченные прямымиху== 3 - 3z/4,== 3 - 3z/4,ху== 1 - z/4,== 1 - z/4.Иначе говоря, сечениезадаетсяX'(z)неравенствами1 - z/4 ~ х ~ 3 - 3z/4,1 - z/4 ~ у ~ 3 - 3z/4.Вычисляем данный интеграл по формуле(20):Рис.41-Jdz JОх3-3z/44(х+dxу dy+ Z)3 ==43-3z/4X'(z)=-~! dzоJ3-3z/4Jdz J dx Jоl-z/48.12(х+ dyу + Z)3l-z/4CX+3~Z/4)2 - (X+l~3Z/4)2)dx=l-z/44== !2J(о! + 2 +1z/2 )16 - z/22Пример 10. Вычислить интегралы I j=dz == ln 3 - 1.J jj(x;y)dxdy,Xj1) fl(X;Y) == х, Х 1 == {2х ~ х 2 +у 2 ~ 6х, у ~ х};2) f2(X; у) == l/у, множество Х2 ограничено прямымиу==х,у==2х,у==1-х/2,у==4-2х.Агде:Гл.176А1)2.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыМножество Х 1 (рис.сительно осей Ох,8.13)не является элементарным отноОу; переход к повторному интегралу в декартовых координатах требует разбиения Х 1 на несколько элементарныхТ=2cos <рrхРис.Рис.8.138.14множеств.
Введение полярных координат упрощает вид областиа именно (рис.8.14)И1 == { -1Г / 2 ~ ер ~ 1г /4, 2 cos ер ~Используя формулуJJrI1 =Ul2)2JУравненияr ~ 6 cos ер } .получаем(21),cos ер dr dep =7r /46 cos ер=cos ер depr 2 dr =-п /22 cos ерник Х 2 (рис.*),Jлиний,/4J7r2~8-пcos 4 ер dep = 163(91Г + 8)./2ограничивающихданныйчетырехуголь8.15), запишем в виде у/х == 1, у/х == 2, у/(2 - х) == 1/2,уу=4-2ху=2х21f-11'2о1Рис.ох21Рис.8.15-28.16у/(2 - х) == 2.
Заменим переменные по формулам u == у/х, v == у/(2- х), тогда образом Х2 будет прямоугольник U2 (рис. 8.16). Находимх ==*)2vи + v'2uvу == и + v'J == д(х, у) == _ 4uvд(u, v)(и + v)3'IJI==4uv(и + v)3'Рисунок области в старых или новых координатах вовсе не обязателен длярешениязадачивычисленияинтеграласпомощьюзаменыпеременных.Вычисляем§ 8.Кратный интеграл Ри.мана и его свойства12по формуле12 = jjU2: Vv177(21):(и~:)3 dudv = 2 ]1/2U2(u~UV)2== 2! (_1___1_) dv == 21n~.4l+v2+vdvJ12А1/2Пример 11. Вычислить интегралы I j=где:jjj jj(x;y;z)dxdydz,Xj1) 11 (х; у; z) == (х + у2) / J х + у2 + z2, Х1 == { J х 2 + у2 ~ Z ~ а};2) 12(x;y;z) ==1, X2=={(X2+y2+Z2)2~4xyz, x~O, y~O};3) Iз(Х; у; z) == Izl, хз == {(х 2 + у 2 + Z2+ Ь 2 - а 2 )2 ~ 4Ь 2 (х 2 + у 2 )} 22тор;~4) 14(x;y;z)==z, X4=={(X-у)2+(У-Z)2~R2, O~x+Y+z~h}.А 1) Перейдем к цилиндрическим координатам х == r cos ер, у ==Множество интегрирования (конус Х 1 в декартовых координатах, рис.
8.17) в этих координатах задается нера-== r sin ер, z == z.zаРис.Рис.8.17венствами И == {О ~ ер ~ 21Г, О ~ r ~мой (рис. 8.18). Вычисляем интеграл:2п211 ==jJj vr r +2Иzr dr dep dz == j depj dzjZ2ОО==О8.18~ а}, т. е. является призzаr3vrr2dr+ Z2==21Г jK 2 - v2 z3 dz = 7г (2 _ V2) а 4 .36о2)Перейдем к сферическим координатам х== r cos ер cos ф,у====rsiперсоsф, z==rsiпф, где T~O, O~ep~21Г, -1Г/2~ф~1Г/2.Подстановка в заданные неравенства даетт4 ~ 4r З cos ер sin ер cos 2 Ф sin ф,{12r cos ер cos ФПод ред. Л.Д.Кудрявцева, Т.3~ О,r sin ер cos Ф~ О.Гл.2.Посколькуr178Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы~ О,cos Ф ~ О, эта система равносильна следующей:r ~ 2 sin 2ер cos 2 Ф sin ф,{ cos ер ~ О, sin ер ~ о.Из второго и третьего неравенств находим О ~ ер ~ 7г /2.
Первое неравенство имеет решения тогда и только тогда, когда sin Ф ~ О, т. е.О ~ Ф ~ 7г /2. Следовательно,И2 == {О ~ r ~ 2siп2ерсоs 2 фsiпф, О ~ ер ~ 7Г/2, О ~ Ф ~ 7Г/2}.Совершаем замену в интеграле [2 и вычисляем его:I2 =!!!r7r /2! dcp !cos 'Ф dr dcp d'Ф =2И2О2 sin 2ср cos 2 'ljJ sin 'ljJ7r /2!~ ! sin 2ср dcp !cos 'Ф d'ФО2r dr =О7r/27r/23=оCOS7'Ф sin 3 'Ф d'Ф.оcos 2ер ==- замены cos Ф == В.получим [2 == 2/45.Далее первый интеграл можно вычислить с помощью замены== t,а второйВ результате3) Зададимzплоскость,параметрическипроходящую через осьО z: х == r cos ер, у == r sin ер, r ~~ О, ер фиксировано (рис.
8.19).Сечение тора Х З этой плоскостьюопределяется неравенством(т 2------------+ Z2 + ь2_ а 2 )2 ~ 4ь 2 т 2 .Оно равносильно следующим:Рис.Значит, сечениет28.19+ Z2 + ь2- а 2 ~ 2Ьт,(r-b)2+z2~a2.круг радиуса а с центром в точке, где-r== Ь,В этом круге введем полярные координатыЬr -== Р cos ф,Z== Р sin ф,О ~ Ф ~ 27Г.Окончательно совершим замену по формуламх==(Ь+ Р cos ф) cos ер,где р ~ О, О ~ ер< 27Г,== (Ь + Р cos ф) sin ер,< 27Г.уО ~ ФZ== Р sin ф,Прообразом тора является параллелепипедИЗ=={О ~ Р ~ а, О ~ ер< 27Г,О ~ ФНаходим якобиан:J==a(x·y·z)"д(р; ср; ф)==р(Ь+ рсоsф).Вычисляем интеграл:Iз=!!!lрsiП'ФIР(Ь+РСОS'Ф)dрdсрd'Физ=< 27Г}.Z== о.§ 8.Кратный интеграл Ри.мана и его свойства21Та17921Т1 dep 1 р2 dp 1 (Ь + рсоsФ)1 sin ФI dф ==оооа1та21Г1 р2 dp· 21 (Ь + рсоsф) sin Ф dф = 81ГЬ 1 p2 dp = ~ 1ГЬа 3 .=оооСначала введем координаты4)~==x-y,в которых1]==Y-Z,множество интегрирования является цилиндром{~2+ 1]2~ R 2 , О ~ ( ~ h}.Нкобиан этой замены найдем по формулеJ== д(х; у, z) == (д(~, 1], ()1(31)(==x+y+z,д(~,1],()==) -1a(x,y,z)(21):О1-1О1-1111-113Теперь введем цилиндрические координаты~J o ==с якобианом== r cos r..p,1]== r SlП r..p,(== ((32)Т.
Множеством интегрирования в этих координатахбудет параллелепипедU4=={О ~ r ~ R, О ~ r..p ~ 21Г, О ~Нкобиан замены х, у,ИЗ(31)и(32)z( ~ h}.на Т, r..p, ( равен произведениюJ1 . J2== Т/3.находимf 4 (х; у; z) == z == (( -~- 21]) /3 == (( - r (cos r..p + 2 siп r..p) ) /3.Теперь вычисляем интеграл:I4 =111 ~((-r(cosep+2sinep)) .~rdrdepd(=U4=h21ТR~ 1 d( 1 r dr 1 (( ооr (cos ер+ 2sin ер)) dep =hR2; 1 ( d( 1 r dr =ооо== .!!...- R 2 h 2 .
А18При м е р12.Доказать сходимость интегралаI=и найти его значение.1e-(xR2 y2+ )dxdy22А Подынтегральная функция е-(х +у2) положительна. Рассмотрим последовательность множеств G k == {х 2 + у2 ~ k 2 }, k == 1,2, ... ,исчерпывающую R2 . Переходя к полярным координатам, находимkIk =1Gk12*2т2e-(x +y2)dx dy = 21Г 1 е- r dr = 1Г(1 оek2 ).180Гл.Отсюда12.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы== lim l k == п.k-+(X)Как отмечено выше, таков же будет предел идля любой другой последовательности множеств, исчерпывающей R2 .Поэтому интегралсходится и равен п.1А+(Х)При М е р 13.
Вычислить интеграл / е- х2 dx.-(Х)А В условиях предыдущего примера возьмем последовательность== {Ixl ~ k, lyl ~ k}, исчерпывающую R2 . Тогдаквадратов D kkl~~I =k2y2/ / e-(x + )dxdy =kl~~ ( / е-Dkх2kdx) ( / е- dy) =у2-k-k=kl~~(je-x2dx)2 =(Х)Отсюда / е- х2 dx =,j1Г. •-k(Je-X2dx)2.-(Х)-(Х)При м е р1) 11 ==14.Исследовать на сходимость интегралы:JjJdxdydzx2+y2+z2~12) 12 ==.(J х 2 + у2 + z2)a 'JjJdxdydzx 2+y2+ z 2<1(J х 2 + у2 + z2)a .А Подынтегральная функция положительна, поэтому можно рассмотреть наиболее удобные здесь последовательности исчерпывающих множеств:C~ = { (1 + 1/k ) 2 < х 2 + у2 + Z2 < k 2} дляG% == {1/k 2 < х + у2 + Z2 < (1 21/k)2}для2),1),k == 2,3, ...Переходя к сферическим координатам, получаем:kl-l/k1) 11k =41ГТеперьl+l/kвидно,>- 21,T~~2'/т. е.
а>существует, если а3,интегралПри м е р15.12пределlim l 1kT~~2·существует,еслиа-k-+(X)3,и не существует при а ~- 2<1,т. е. а11< 3,сходится при а<3,+ у2)2 dx dyR2А Исследуем на сходимость интегралR2Пределlim 12k> 3,2 + у2)21 dxdy,3.расходится прирасходится при а ~Доказать, что интегралI q = / / I sin(x3.k-+(X)и не существует при а ~сходится при аI = / / sin(x 2расходится./l/kчтоТаким образом, интеграла ~41Г2) 12k =3.А§ 8.Кратный интеграл Ри.мана и его свойства181в котором подынтегральная функция неотрицательна. ПустьG k =={X 2 +y2<k 2},k==1,2, ...
;тогда00Какизвестно,== +00,lim l 1kk---:rooинтеграл1интегралJIsinvttlрасходитсяdt+00,кпоэтомуои, значит, интеграл11расходится. Если бы данныйсходился, то сходился бы по теореме и интеграл11.Зна-чит, из его расходимости следует расходимость данного интеграла. АЗАДАЧИ1.Пусть Х=[О; а] х [О; Ь], X ij= [( i -n 1)а;~(i,j) - центр прямоугольника X ij , i, j== 1, ... ,n} - разбиение Х; 8 Тп == {~(i,j),ВычислитьJJ f(x) dx==i:]х [и ~ 1)Ь ;j:],1, ...
, n; Тn == {X ij , i, ji,j == 1, ... ,n}.==как предел сумм Римана СТТп и; 8 T J, есхли (х==(Х1; Х2)):1) f(x) == РХ1 + QX2, Х Е Х; 2) f(x) == Х1Х2, Х Е Х;3) f(x) == ePX1+qx2, х Е Х, pQ i- О; 4) f(x) == pxi + Qx~, х Е Х.2.ПустьХ== [-2; 2]х[-1; 1],прямоугольники прямыми Х1Тn== 2i/n,разбиение-Х2== j /n, i, jнюю ВТ п И верхнюю ВТ п суммы Дарбу отfЕХz.на равныеНайти нижпо Х и их предел1приn -+ 00, если (х == (Х1; Х2)) :1) f(x) == 2Х1 - Х2, Х Е Х; 2) f(x) == e X1 - Х2 , х Е Х;3) f(x) == Х1Х2, Х Е Х; 4) f(x) == xi + x~, х Е Х.3.
Пусть Х == {(Х1;Х2): О ~ Х1 ~ 1, О ~ Х2 ~ 1, О ~ Х1 +Х2 ~ 1},разбиение Т(Х) состоит из четырех равных треугольников, получен-ных разделением Х прямыми Х1== 1/2,Х2== 1/2,Х1+ Х2 ==1/2,набор 8 т состоит из точек пересечения медиан этих треугольников.Найти приближенное значение интегралаJf(х) dx (вычисленияхвести с тремя знаками после запятой), приняв за него:а) сумму Римана о"== O"T(f; 86);полусуммуSверхней и нижней сумм Дарбу и оценить погрешность ~ результатов, если (х==(Х1; Х2)):1) f(x) == 8 Х1 + Х2 , Х Е Х; (2,228);2) f(x) == COSK(X1 + Х2), х Е Х; (-0,203);==Гл.1823) f(x)4) f(x)2.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы== ln(1 + хl + Х2), х Е Х; (0,250);== v!Xl + Х2, Х Е Х; (0,400).Сравнить результаты со значением интеграла, указанным в скобках (с тремя знаками после запятой).4.Выполнить такое же задание, как в задачеХ3, если (х{(Хl;Х2): хl ~ о, Х2 ~ о, xi +x~ ~ 1},====(хl; Х2))разбиение т получено разделением Х на четыре части окружностямирадиусов1/4, 1/2 и 3/4 с центром в начале координат, точка набора 8 т , соответствующая элементу из т, является серединой отрезка,по которому прямаяХ2==хlпересекает этот элемент,и:1) f(x) == vxi + x~, х Е Х; (0,524);2) f(x) == (1 + xi + x~)-l; х Е Х; (0,544);223) f(x) == е- Х1 - Х2 , х Е Х; (0,496).Сравнить результаты со значением интеграла, указанным в скобках (с тремя знаками после запятой).5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
