1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пусть Х == {(хl; Х2): xi+ x~~ 1}, т -соответствующий ему набор точек, Е> о.бы для любого разбиения с мелкостьювыполнялосьнеравенствоlaT(f; вт) если (х==(хl; Х2) ) :разбиение Х, 8 тУказать такое дITI < д> о,-чтои любого набора 8 т11 f(x) dxl < с,Хх Е Х;1) f(x) == sin(pxl + QX2),2) f(x) == ePX1+qx2, х Е Х;3) f(x) == ln(2 + РХl + QX2), Х Е Х, где Vp2 + Q2 < 2;4) f(x)==exi-x~, хЕХ; 5) f(х)==(1+зхi+х~)-1, хЕХ.6.
1) Пусть Х == [а; Ь] х [с; d], F(x) == f(Xl)' Х Е Х, х == (хl; Х2), гдефункция f(Xl) интегрируема на [а; Ь]. Доказать, что F интегрируемана Х и1F(x) dxь=(d - с)Х1f(Xl) dXl.а2) Пусть Х' -измеримое множество в R n - 1 ,х == (хl; ... ; х n ),х' == (хl; ... ; х n -l),Х==гдеf(x') -чтоFnх' х [c;d] с R,F(x) == F(x';x n ) == f(x'),ограниченная и интегрируемая на Х' функция. Доказать,интегрируема на Х и1f(x) dx=(d - с)Х3) Пусть Х' множество в R1,х'Хх Е Х,1f(x') dx'.Х'измеримое множество в R k , Х" -==(хl;... ; xk),х"измеримое== (Xk+l; ... ; Xk+l),== х' х х" == {х == (х'; х") Е Rk+l : х' Е Х', х" Е Х"}.§ 8.Кратный интеграл Ри.мана и его свойстваПусть F(x) == F(x';x") == f(x'), х Е Х, где f(x')и интегрируемая на Х' функция.
Доказать, чтона Х иJF(x) dxМ! (Х")=Х7. 1)FFJf(x') dx'.d],f(Xl)==Хинтегрируема на [а; Ь], функция[а; Ь] х [с;g(X2)d],F(x) == F(Xl; Х2) == f(Xl)g(X2),Доказать, чтоограниченнаяинтегрируема-Х'Пусть функцияинтегрируема на [с;183х Е х.интегрируема на Х иьdJF(x) dx Jf(Xl) dXl Jg(X2) dX2.=Хас2) Пусть Х' - измеримое множество в R k , Х" - измеримоеlмножество в R , х' == (хl; ... ;Xk), х" == (Xk+l; ... ;Xk+l), Х' х Х" ====Х. Пусть функцияцияg(x")ограничена и интегрируема на Х', функf(x')ограничена и интегрируема на Х",F(x) == F(x'; х") == f(x')g(x"),Доказать, чтоFх Е Х.интегрируема на Х иJF(x) dx Jf( х') dx' Jg(x") dx".=ХХ'Х"Сформулировать отрицание критерия Коши интегрируемости8.функции по измеримому множеству.9. 1)Сформулировать критерий интегрируемости1:а) в терминах Е-д; б) в терминах последовательностей;2)доказать равносильность утверждений из а) и б) в п.10.
1)Сформулировать критерий интегрируемости1).11:а) в терминах Е-д; б) в терминах последовательностей;2) доказать равносильность утверждений из а) и б) в п. 1).11. 1) Сформулировать критерий интегрируемости 1У в терминахпоследовательностей;2)12.доказать равносильность утверждения из п.1)критерию 1У.Доказать равносильность определений кратного интеграла Римана в терминах Е-д и в терминах последовательностей.13.14.Доказать критерий Коши интегрируемости функции.Пусть функцияfжестве Х. Доказать, что:8 Т1определена и ограничена на измеримом мно1)для любых двух разбиений Тl(Х) и Т2(Х)~ ВТ2 (f);2) для любой суммы Римана(f)(J"T(f; 8) 8T(f)~(J"T(f; 8)~ST(f);Гл.1842.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралы3) для любого разбиения т(Х)== {X i , i == 1, ...
, N}ni=lгдеw(f; X i ) == supх' ,х"колебаниеIf(x') - f(x")1 -на X i , if== 1, ... , N;EXi4) для любого разбиения т(Х) == {X i , i == 1, ... , N}вТ (f) == inf о"т (f; 8 т ), ВТ (f) == sup о"т (f; 8 т );ВтВт5) 1* (f) ~ 1* (f) ;6) 1* (f) == lim вт (f), 1* (f) ==IT(X) 1---+015.limIT(X) 1---+0ВТ (f)·Доказать, что определение n-кратного интеграла Римана вслучае n[а; Ь] С R1 равносильно определению интеграла Римана от функции одного переменного по отрезку [а; Ь] (см.
[2,§ 6]).== 1и Х==16. Пусть Х Е Rn , JL(X)== о.Доказать, что любая функция, определенная на Х, интегрируема на Х иJЛХ) dxО,=х=(хl; ... ; х n ).Х17.Пусть функцияfинтегрируема на Х, ХО -нулевой меры. Доказать, чтоfподмножество Хинтегрируема на ХJ f(x) dx Jf(x) dx.\ХО и=Х\ХО18.кание,Пусть П-Хизмеримое открытое множество, ПП С Х с п.его замы-Доказать, что функция, интегрируемая на Х,ограничена на Х.19. Доказать, что I*(f;X)==< I*(f;X),если Х==[О; 1] х [О; 1], х==(хl; Х2) Е Х, а:1) f(x) == 1,если хl и Х2 рациональны,f(x) ==О в остальныхслучаях;2) f(x) == 1,если хl+ Х2-рациональное число,f(x) == Ов осталь==(Хl;Х2)),ных случаях.20.Доказать, что функцияfинтегрируема по Х (хесли:Х == [О; 1] х [О; 1]; f(x) == (-1)n приО ~ Х2 ~ 1; f(O; Х2) == 1 при О ~ Х2 ~ 1;1)ЕN,IXll + IX21 ~ 1}; f(x) == (-1)n при 1- -n1 ~IXll + IX21 < 1-1/(n + 1), n Е N; f(x) == О при IXll + IX21 == 1;3) Х == {(Хl;Х2): xi + x~ ~ 1}; f(x) == 1/n при 1/(n + 1) <2) Х == {(Хl;Х2):~1/(n + 1) < хl < 1/n, n< Jxi +x~ ~ 1/n, n Е N; f(O;O) == о.Кратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.21.fДоказать, что функцияинтеграл отпо Х (хf==185интегрируема по Х, и вычислить(Хl;Х2) Е Х), если:1) Х == [-1; 1] х [-1; 1]; f (х) == sign хl Х2;2) Х == {(хl; Х2): О ~ хl ~ 1, О ~ Х2 ~ 1 - хl}; f(x) == (_1)n-lпри 1/2 n < хl + Х2 ~ 1/2 n - 1 , n Е N; f(O; О) == О;3) Х == {(хl; Х2): xi + x~ ~ 1}; f(x) == 1/2 n - 1 при 1 - 1/2 n - 1 ~~ Jxi +x~ < 1-1/2 n , n Е N; f(x) == 1 при Jxi +x~ == 1;4) Х == [О; 1] х [О; 1]; f(x) == l/(ql + q2), если xi == pi/qi, где pi/qi несократимые дроби, Pi Е N, qi Е N, i == 1,2; f(x) == О в остальныхточках Х;5) Х == [О; 1] х [О; 1]; f(x) == 1/(qlq2), если xi == pi/qi, где pi/qi несократимые дроби, Pi Е N, qi Е N, i == 1,2; f(x) == О в остальныхточках Х.22.если (хДоказать, что функция==fнеинтегрируема по Х== (О; 1]х [О;1],(хl; Х2) Е Х):1) f(x) == 1,если хlи Х2-рациональные числа;f(x) ==О востальных точках;2) f(x) == 1,f(x) ==если хl-рациональное число;если Х2-нерациональное число;О в остальныхточках Х;3) f(x) == 1,f(x) ==хl В остальных точках Х;если хl == Pl/q, Х2 == P2/q, где Pl/q и P2/q - несократимые дроби, Рl, Р2, q Е N; f(x) == О в остальных точках Х;4) f(x) == 1,5) f(x) == 1/(Q2q2), если Xi == pi/Qi, где pi/Qi - несократимыедроби, Pi, Qi Е N, i == 1,2; f(x) == 1 в остальных точках Х.23.Указать функцию, непрерывную на измеримом множестве, ноне интегрируемую на этом множестве (для сравнения см.
достаточноеусловие интегрируемости ).24.fПусть функцияДоказать, чтоfнепрерывна на открытом множестве Х.интегрируема на любом измеримом множествележащем строго внутри ХXi,(в том смысле, что каждая точка за-мыкания Х 1 является внутренней для Х).25.Пусть функцияfнепрерывна на открытом множестве Х идля любого измеримого открытого множества Х 1 , лежащего строго(см. задачу24)внутри Х,Jf(x) dx=О.ХlДоказать, что26.f(x) ==О на Х.Доказать, что функция, равномерно непрерывная на измеримом множестве, интегрируема по этому множеству.27. 1)Пусть функцияfопределена на измеримом по Жорданумножестве Х и множество всех ее точек разрыва имеет положитель-Гл.1862.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыную меру Жордана.
Доказать (не используя теорему Лебега), чтоfне интегрируема по Риману на х;2)указать интегрируемую на множестве Х (измеримом по Жордану) функцию, множество точек разрыва которой (лежащих в х)не является множеством меры нуль по Жордану.Указать функцию, определенную и неограниченную на мно28.жестве Х положительной меры Жордана, но интегрируемую на х.29. 1)Пусть множество Хизмеримо, функцияfопределенаи ограничена на его замыкании Х и интегрируема на х. Доказать,fчтоинтегрируема на Х иJf(x) dx Jf(x) dx;=х2)хуказать функцию, определенную на замыкании Х измеримогомножества х, интегрируемую на х, но не интегрируемую на х.Пусть Х30.цияf-измеримое множество, Хинтегрируема на х.
Доказать, что-fJf(x) dx Jf(x) dx.его замыкание, функинтегрируема на Х и=х31. 1)Пусть функциихfи9 определены и ограничены на измеримом множестве Х и различны лишь на множестве жордановой мерынуль. Доказать, что еслиfинтегрируема на х, то иJg(x)dx Jf(x)dx;на Х иуказать функциитве х,чтоf32.fхиg,определенные на измеримом множесразличающиеся лишь на множестве меры нуль, но такие,интегрируема на х, аПусть функцияf9не интегрируема на х.интегрируема по множеству Х,множество всех внутренних точек Х, Х 1 -воинтегрируема=х2)9in Х, Х2== Х \Х 1 . Доказать, чтоfin Х -измеримое подмножестинтегрируема на Х 1 и на Х 2 иJf(x) dx Jf(x) dx + Jf(x) dx.=х33.ХlХ2Указать множество Х положительной меры и функцию, определенную и неограниченную на Х, но интегрируемую и на Х, и налюбом измеримом подмножестве Х.34.Указать непересекающиеся множества Х 1 и Х 2 положительной меры и функцию, интегрируемую на Х 1 и на Х 2 , но не интегрируемую на Х 1 U Х 2 (см.
свойство35.g,3)).Указать множество Х положительной меры и функциинеограниченные и интегрируемые на Х и такие, что:fиКратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.1)произведение2) inf Ig(x) >интегрируемо на Х;о и частное1хво1 .91871/ 9интегрируемо на Х (см. свойст5)).Указать:36.измеримое множество Х и определенную на нем1)1111функциютакие, что функцияинтегрируема на Х, атегрируема на Х (см. свойство 7));не инмножество Х положительной меры и интегрируемую неогра2)ниченную на Х функциюна Х иI1такую, что функция37.интегрируемах1иПусть функции9интегрируемы на множестве Х, непрерывны в его внутренней точке ха и I(Ха)Доказать, что< g(xa),l(х) ~g(x),х Е Х.Jf(x) dx < Jg(x) dx.х38.111Jf(x) dxl ~ JIf(x)1 dx.хи11Функцияхнепрерывна и интегрируема на множествеJf(x) dx > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
