1610912328-eeda606df0ae8049acea866ce0c68b12 (824706), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Л.Д.Кудрявцева, т.352рядэтихпредложеносвойствнайтидоказываютдоказательстводляих без162Гл.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыке ха иf(xa) >2.О; тогдаJf(x) dx > о.Х10)Пусть функцияfинтегрируема по Х, X k , k Е N, -довательность таких измеримых множеств, чтоС Х,XkkЕN,тогда== JL(X);lim JL(X k )k-+CXJпослеlimk-+CXJJf (х)dxJf (х)==dxХXk(полная аддитивность интеграла по множествам).11) Пусть функциии 9 интегрируемы по множеству Х полоfжительной меры,меняет знака наin Х inX;множество всех внутренних точек Х,9нетогда:а) существует такое число Л, что.inflП Хf~ л ~Jf(x)g(x) dx л Jg(x) dx;supiп Хfи=ХХб) если к тому же Х -линейно связноемыкание линейно связного множества исуществует такая точка ~ Еin Х,Jf(x)g(x) dxчто=fШХf*)множество или занепрерывна наin Х,тоJg(x) dxХ(теорема о среднем).теоремаЛ е б е г а.Для того чтобы ограниченная на измеримом множестве фУНJliЦИЯ была интегрируема по Риману на этом множестве, необходимо и достаточно,Y'I\множество всех ее точеJli разрыва имело ме1jJ(x)~"'""",,'"111111 ..~""~~ 1;Р(х)~fа-.~~'11Хчтобыру нуль по Лебегу..2.Связьторными1111-ь-х**) .между кратнымиинтегралами.
Наиплоскостимножество Х видаХ=={(х;у): a~x~Ь,~(x) ~ у ~ ф(х)}называютРис. 8.1повэлементарным(13)относительнооси Оу (рис. 8.1). Здесь функции ~ и Ф непрерывны на [а; Ь] и ~(x) ~ ф(х) на [а; Ь].Аналогично определяют множество, элементарное относительнооси Ох (рис.*)8.2).Множество называют линейно связным, если любые его две точки можносоединить непрерывной кривой, лежащей в этом множестве.**)Определение множества меры нуль по Лебегу см.
в задаче 73 из § 7.§ 8.теоремада(13),Кратный интеграл Ри.мана и его свойстваЕсли ФУНJliЦИЯ4.f163интегрируема на множестве Х виэлементарном относительно оси Оу, тоьф(х)11 j(x; у) dx dy 1dx 1 j(x; у) dy.(14)=ХПравая часть ва<р(х)является повторным интегралом, т. е. ре(14)зультатом последовательного вычисления сначала интеграла по упрификсированном х, а затем интеграла по х от получившейся функции.Если функцияf(x;у) непрерывна на мноY'I\жестве Х, то каждый из этих интеграловсуществует. О более общем случае см.Если множествоХ[3].элементарно относительно оси Ох (см. рис8.2),рируемой по Х функцииIIа(у)у) верно ра-"-jЗ(у)о(15)=сМножествоХ,I",,11 лх; у) dx dy 1dy 1лх; у) dx.Х: {3(у)"-,,-венствоd•,~Yто для интегf(x;d,,I••,,,--хIСа(у)элементарноеРис.относи-8.2тельно каждой из осей Ох и Оу, называют элементарным.
Для неговерно каждое из равенствь(14)и(15),ф(х)в частности,d jЗ(у)1dx 1 f(x;y)dy 1 1 j(x;y)dx.(16)=а<р(х)с а(у)Это равенство используют для перемены порядка интегрирования вповторноминтеграле.В пространстве множество Х видаХназывают== {( х; у; z): (х; у)элементарнымЕ Х', а (х; у) ~z ~ jJ (х; у ) }относительно осиЗдесьмножество Х'-~у) на Х'. Аналогично определяют множество, элементарноеjJ(x;проекция Х на плоскость ОхуО z.(1 7)-измеримо, а а(х; у) ~относительно оси Оу или Ох. Множество, элементарное относительно каждой из координатных осей, называют элементарным.теоремада(17),5.Если ФУНJliЦИЯfинтегрируема на множестве Х виэлементарном относительно оси О z, тоjЗ(х;у)111 j(x;y;z)dxdydz 11 dxdy 1 j(x;y;z)dz.=ХХ'Повторный интеграл в правой частиа(х;у)(18)является результатомпоследовательного вычисления сначала интеграла пованных х и у, а затем двойного интеграла по х,11*(18)у.zпри фиксироГл.1642.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыЕсли множество Х' на плоскости Оху элементарно, например,относительно оси Оу, т.
е. имеет видинтеграла отfпо х, У,(13),то вычисление тройногосводится к вычислению трех однократныхzинтегралов:ьф(х)jЗ(х;у)111 j(x;y;z)dxdydz= 1dx 1 dy 1 f(x;y;z)dz.ХПриасоответствующих<р(х)(19)а(х;у)предположенияхтройнойинтегралможетбыть вычислен и как повторный интеграл, в котором порядок интегрирования отличен от указанного в(18), (19).Возможен и другой способ сведения тройного интеграла к повторному.
Пустьпроекция множества Х на ось[ -zсечение Х(рис.Oz, X'(z) плоскостью z == const Е [8.3).ТеоремаПусть измеримы помножества Х в R 3 , [ в R 16.Ж ордануИ X'(z) в R 2для любого z Е [,пусть ФУНJliЦИЯ f (х; у; z) интегрируема на множестве Х, а JliaJli ФУНJIiция от (х; у) интегрируема на множестве X'(z) для любого z Е [.Тогда1f(x;y;z)dxdydz =1dz 1f(x;y;z)dxdy.уХ=Рис.18.3Аналогичноеравенствопри(20)X'(z)соответствующихпредположенияхможно получить, если вместо оси О z выделить другую координатную ось.Равенства, подобные(18)-(20),имеют место и для n-кратных интегралов.3.Замена переменных в кратном интеграле.т е о р е м а 7. Пустьер-*)-Х с R~, И с R~ -измеримые области,отображение И на Х maJlioe, что:-1)2)ер взаимно однозначно на И;ер непрерывно дифференцируемо наЕсли ФУНJliЦИЯинтегрируема наf (х)uинтегрируема на Х, то ФУНJliЦИЯf (ер (u ) IJ (u ) Iи1f(х) dx 1f(cp(u))IJ(u) du.=IХ*)U.Нижние символы х и(21)иu указывают на разные обозначения точек х==(хl;".;х n ) И и==(иl;,..;и n ) изnR.==Кратный интеграл Ри.мана и его свойства§ 8.165ЗдесьJ(u) == д(СР1, ...
,срn) == d et ер '()u ==д(иl, ... ,иn)-(22)дсрnдсрnдиlдиnЯJliобиан отображения ер, заданного непрерывно дифференцируемыми ФУНJliЦИЯМИepi(Ul; ... ; и n ),Xi == epi(U)i== 1, ... , n.(23)Замену переменных можно рассматривать и как переход на мноnжестве Х С R от прямоугольных координат (Хl; ...
; Х n ) К криволинейным координатам (иl; ... ; и n ) по формулам (23).Если отображение задано обратной системой функцийUi ==Фi(Х)Фi(Хl;==... ; х n ),то якобиан отображения в точке и Оi== ф(х О )J(u O) == (д(фl' ... , фn) (хО)) -1д(Хl,==1, ... , n,можно найти по формуле(det 1j1'(x O))-1,... , хn)(24)если ф' (х О ) существует.Для полярных координат на плоскостих== r cos ер,у== r SlП ер,J==Т.В пространстве для цилиндрических координатх== r cos ер,у== r SlП ер,z ==Z,J==т;для сферических координатх== r cos ер cos ф,пример(§ 3,у== r siп ер cos ф,z == r siп ф,J==т 2 cos Ф11).Замену переменных используют как для упрощения подынтегральной функции, так и для упрощения вида области интегрирования.4.Несобственные кратные интегралы.
ПустьG -открыnтое множество в R . Последовательность открытых измеримых множеств G k , k == 1,2, ... , называют исчерпывающей множество G (ис00черпаниемG), если:1) G k С G k +1 , k== 1,2, ... ; 2) U G k == G.Далее будем рассматривать такие функции наk=lкоторые ин-G,тегрируемы на любом открытом измеримом множествечтоn == G.О п р е Д е л е н и е.вающихGмножествnтаком,Пусть для любой последовательности исчерпыGk , k== 1,2, ... ,limk---:rooсуществует пределJ f(x) dx,GkГл.1662.Кратные, ffриволинейные и поверхностные интегралыне зависящий от выбора последовательностиGk , k== 1,2, ... ;этот предел называют несобственным интегралом отзначаютj f(X) dx ==limk-+CXJGа функциюfгласнослучаеfнаf(x) dx,Gи обо-(25)Gkназывают интегрируемой в несобственном смысле наG.j f(x) dx, употребляемый часто для про-Если символ интегралаизвольныхjfтогдаGив том числе и для неограниченных, определен со-G,(25), то его называют- расходящимся.сходящимся интегралом, в противномСходящиеся несобственные интегралы обладают свойствами линейности, аддитивности по множествам, сохраняют знак неравенствапри интегрировании, для них справедлива в обычном виде формулазамены переменного и т.fЕсли функцияд.неотрицательна наG,то для любой последова== 1,2, ...
, исчерпывающей G, существует конечныйили бесконечный предел lim j f (х) dx, и он не зависит от выборательностиGk , kk-++CXJGkпоследовательностиGk , k== 1,2, ...Иначе говоря, для неотрицательных функций при исследовании на сходимость несобственного интеграла и вычислении его значения достаточно использовать какую-либоодну последовательностьисчерпывающихПризнак сравнения.
Пусть О ~сходимости интегралаj ЛХ) dx,j g(x) dxf(x)~g(x)наG.Тогда изследует сходимость интегралаа из расходимgсти интеграла~OCTЬ интеграламножеств.j g(x) dx.j f(x) dx следует расходиGGj f(x) dxНесобственный интегралщимся, если сходится интегра~jназывают абсолютно сходяlf(x)1 dx.Gj f(x) dx сходится,Теорема 8. Если кратный (n ~ 2) интегралто он и абсолютно сходится.GПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИПри м е р1.Найти с погрешностью не болеезначение интеграла1 ==1!Хгде Х-квадрат [О;1]х [О;1].dx 1 dx21 + 0,25 ХIХ2'0,1приближенное§ 8.Кратный интеграл Ри.мана и его свойства1671* ==А Искомое приближенное значение возьмем равным(ВТ++ 8 т ) /2,где ВТ и 8 т -~ (ВТ-на8 т )/2.
Разбиение т получим делением данного квадрата Хравных квадратов прямымискольку 8 т ~n21 ~ Вт,Х1Числоnсуммы Дарбу от данной функции по Х. Подля погрешности справедлива оценкаХ2== i/n,== j/n,11 - 1*1 ~i,j == 1, ... ,n -1.определим из условия(ВТ-< 0,1.8 т )/2(26)Нетрудно установить, что на каждом квадрате разбиенияхX ij == [(i -l)/n;i/n]== (1 + 0,25 Х1Х2)-1М.. ==+ (i - 1) (j - 1) )для данной функции !(Х1; Х2)== ( 1 +ffiijij )4n 2i,j == 1, ...
,n,[(j -l)/n;j/n],-1'(11,)4n 2-1•По теореме ЛагранжаM ijг де ~==-mij(~1; ~2)= -дfдf)( дх!Ш + дХ2 Ш1некоторая точка квадрата-+ ~2)(1 + 0,25 ~1~2)-2ции (~11n = 4n (1X ij .~1Исследование функна экстремум в этом квадрате показывает, что она имеет максимум в граничной точке ~1i, j == 1, ... , n.+ ~2+ 0,2566)2 'Значит, для любых== i/n,~2== j /n,i, j == 1, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
